Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 34
Текст из файла (страница 34)
! Ах ! 1) АхсО, — м-+ —; 2) х=1, — м1 — Ьх,' 3) х=! н Ах<0, х — Ах х х' ' !+Ах 1 — и!-О Ьх. 1 — Ьх Формулы для приближенного вычисления синусов и тангенсов мальж углов: 14. Найти приближенные значения: 1) (4,012)з; 2) /1,006; 3) 1/1,004. (3 1) Полагая в соотношении (10.4) х=4, Ах=0,012, получим (4,012)э= =(4+0012)эм4э+2 4 0012=16096м16,1 (точный ответ 16,096144). 2) Полагая в соотношении (105) х=1, Ах=0006, получим /1,006= = /1+0006м1+0006/2=1,003. 3) Полагая в соотношении (10.6) х=1, Ах=0,004, получим 1/(1+0,004)= 1 — 0,004=0,996. ° 15.
Вычислить аш12'. О Так как 12'=00035 рад, то о1пО 0035=0 0035. По таблице натуральных значений синуса находим Ип12'=00035. ° 16. Найдите приближенные значения степеней: 1) (9,06)'; 2) (1,012)з; 3) (9,95)з; 4) (1,005)'о; з! (0,975)~. 17. Найдите приближенные значения корней: 1) '/Т012; 2) /25 16; 3) /24,84 4) /101 5) /99 5- 6) ю/103 18. Найдите приближенные значения величин: 1) 1/0,99; 2) 1/9,93; 3) 1/(1,004)з.
19. Вычислите: 1) з!п42'; 2) з)п2'06', 3) 181'12'; 4) 183'18'. б 5. ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО СПОСОБУ СТРОГОГО УЧЕТА ПОГРЕШНОСТЕЙ При вычислениях нередко возникает необходимость знать границы допущенной погрешности промежуточных вычислений и окончательного результата. Такой способ ведения приближенных вычкслений называется способом строгого учета погрешностей. Для этого необходимо знать, как вычисляются граиицы относительных погрешностей алгебраической суммы, произведения, степени, корня и частного.
Ю. Доказать, что относительная погрешность произведения не превышает суммы относительных погрешностей ее сомножителей. О Пусть дана функцяя у=ив, где и=/(х) н о=ф(х), Прологарифыируем ее и найдем дифференциал: Так как абсолютная величина суммы не превышает суммы абсолютных величин слагаемых: — = — + —, или а(ио)= — + †.' ° П. Доказать, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
О пусть дана функция у=и/о, где и=/(х) и о=9(х). прологарифмировав и взяв дифференциал от функции у=и/о, получим Еу 4и 4о 1пу=!пи — 1по, — = — —. о и о Так как абсолютная величина разности не превышает суммы абсолютных величин уменьщаемого и вычитаемого, то — — — + —, или а — = — + — . ° 22. Доказать, что относительная погрешность степени равна относительной погрешности основания, умноженной на показатель степени. О Пусть дана функция у = х". Прологарифмируем ее и найдем дифференциал: 4к Относительная погрешность равна а(х") а —. х з к э Частные случаи, '1) л=2, а(х )=2 —; 2) л=З; а(хэ) 3 —. ° х' х 23.
Доказать, что относительная погрешность корня равна ртносительной погрешности подл оренн ого числа, деленной на показатель степени корня. О Пусть дана фувхция у =" / х. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал: 1 4у 14х 1пу=-1пх; — =- —. л у л к 1 4х Отлосительная погрешность равна а (т/ х) =- —. я х 1 4к Ча ные случаи; 1) л=2, а(,/х)=- —; 2) л=З, афх)=- — ° 2 х' ' ~ 3 к' 24. Найти относительную погрешность числа х при вычислении зтого числа по его логарифму у=18х.
О Пусть 1йх бмл вычислен с погрешностью Ьу, тогда цри нахождении цо нему числа х будет допущена погрешность Ах. Относительная Ах ~огрешносп чиси х равна —. Так как абсолютная погрешность логарифма х Лх Ьум0,4343 —, то х Ах Ау х 0,4343 Таким образом, относительная погрешность числа х цри вычислении его по его логарифму ие зависит от значения числа х, а зависит только от ногрешностн, с которой был найден логарифм числа х.
° 25. Найти относительную погрешность точности отсчета на логарифмической линейке со шкалой 250 мм, О Долустим, что нри установке визира или отсчета со шкалы наибольшая погрешность составляет О,! мм. Найдем абсолютную цоэрешиость логарифма числа. Вся шкала логарифмической линейки длиной 250 мм соответствует числу, логарифм которого равен единице (1810=1). Следовательно, на 0,1 мм шкалы абсолютная погрешность логарифма числа будет в 250 раз меньше, т.
е. Лх Ау=0,1/250=0,004. Так как Ау=0,4343 †, то х Ах Ау 0,004 — ге = ' м0,00092 ш0,001 0,1%, х 0,4343 0,4343 т. е. относительная погрешность точности отсчета составляет 0,154 (в любой части шкалы). Ф 26, При измерении прямоугольного поля нашли его длину и=60 м и ширину о=23 м. Погрешность при измерении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины 0,2 м. Определить границы погрешности, которую мы допускаем, принимая площадь прямоугольника равной 60.23=1380 мз, н относительную погрешность, допущенную нри вычислении площади. О Имеем )4и!с0,3, )й>!<02.
При наихудших условиях )йи)=0,3, )ае!=0,2. Найдем абсолютную погрешность нроизведениа: й(ие) ели+иле=23 0,3+60.0,2=18,9ьз!9 (мз). Это наибольшая величина абсолютной погрешности, которую мы можем допуеппь, лринимаа площадь участка равной 1380 ма. Округляя погрешность в сторону увеличения и принимая ее равной 20 м', найдем границы погрешности лри вычислении нлощади. Таким образом, плошадь не превосходит 1380т20= 1400 (м ) и не менее 1380-20= 1360 (м ). (й) 41 Относительную цогрешносп вычислим по формуле е(ие)=1 — ~+ — ~, т. е.
186 0,3 0,2 1 2 а(ие)= — '+ — '= — + — м0,014=1,4/о. 60 23 200 230 Итак, относительная цогрешность не превышает 1,4'А. ° 27. Для нахождения плотности тела определены его масса щ,=484 г и масса вытесненной нм воды шз=62 г. Абсолютные погрешности Лт, 0,5 г и Лез=0,4 г. Найти относительную погрешность при вычислении плотности тела. О Так как у=ш,(тм то ! — ~ = ~ — '~+ — ~ = — '+ — 'ш0 00103+ О 00645 О 00748 ьз 07 /е.
° у~ (ш,~ тз~ 484 62 28. Найти относительную погрешность, допущенную при измерении объема куба, если ребро равно 12,5 см. Абсолютная погрешность Ах=0,05 см. О Полагая 4х=0,05 см, имеем 4х 0,05 15 е(х )=3 — =3 — '= — ш0,012=1,2%. ® х 12,5 1250 29. Найти относительную погрешность, допущенную при вычислении длины стороны квадрата, если площадь квадрата равна 37,7смз. Абсолютная погрешность Ах=0,05 см.
О Обозначив длину стороны квадрата через у и площадь через х, получим: у= /х= /37,74х=0,05; 1 0,05 0,05 а(,„I 37,7) =- — '= — 'ш 0000663 ш 0,1%. ° 2 37,7 75,4 30. При измерении площади параллелограмма нашли его основание а=70 см (Ла=0,4 см) и высоту А=48 см (Ай=О,З см). Определите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади параллелограмма. 31. Даны два приближенных числа 82,6 и 64,8. Найднте относительную погрешность их частного.
32. Найдите относительную погрешность, допущенную при измерении площади квадратной комнаты, если взято округленное значение стороны, равное 6,4 м (абсолютную погрешность принять равной 0,05'м). ЗЗ. Найдите относительную погрешность, допускаемую при вычислении длины стороны квадрата, если площадь квадрата равна 68,5 смз. 8 6. СМЕШАННЬИ ЗАДАЧИ 34. Найдите дифференциалы первого порядка следующих функ- и;нй: 1) у е" зщх; 2) у=а"е*; 3) у=е" //2к; 187 з -зг.
е" е" +1 4) у=(е"-е "); 5) у= —; 6) у= — „ в' — 1' е* 35. Вычислите приближенные значения прирапгеннй функпии: 1) у=зш2х при х=п/б и Ахт002; 2) у=1пх' при х=20 и Ахт0,01; 3) у=агсвпх при х= /3/2 и Ахт002. Зб. Вычислите приближенные значения функцг/й: 1) /(х)тхэ+ +хз+х+1 при х=0001; 2) /(х)=хл — 1 при х=-33; 3) /(х)т =х/,,/хз+3 при х=1,1.
37. Найдите относительную погрешность при вычислении величины, заданной уравнением: 1) у=ха при х=10 и Ах=0,01; 2) у=х' при х=З и Ахт0,02. Зй. Составьте формулы для вычисления относительных погрешностей функций: 1) у=з)пзЗх; 2) у=18гх. 39. Составьте формулы для вычисления относительных погрешностей функций: 1) у=еа"**; 2) у=Зля.
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант Глава 11 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ б 1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 1. Основные формулы ииттрароваввв. Функция Г(х) называется перваабразпой длв функции у"(х) в промежутке а<х<Ь, если в любой точке этого промежузка ее производная равна у (х): Г'(х)=У(х)= дГ(х)=У(х) дх, а~х<Ь. Отыскание первообразной функции по заданной ее производной у" (х) или по лифференпиалу,/'(х) дх есть действие, обратное дифференцированию,— интегрирование. 188 1) Вычислите дифференциал функции у=)псов' х при х = я/4 и дх=о 01.
2) Вычислите относительную погрешность функции Р=(4/3) лйэ при Д=ЗОО и гИ=О,З. 3) Найдите приближенное значение приращения функции у=ха-хз при х 2 и Ах 001. 4) Найдите приближенное значение функции ф(х) =х'-х'+х-3 при х=З.ОЗ. 5) Вычислите приближенное значение величины 1/0,998. !) Вы жслите дифференциал функлгщ у=1пг82х при х=я/8 и г(г 0,03. 2) Вычислите относительную погрешность функции у=ха при х=750 и дх=0,5. 3) Найдите приближенное значение приращения функции у=2 /х+4 при х=25 и Ах 0,01.
4) Найдите прнбляжевное значение функции ф(х)=Зхз-хз+5х — 1 при х=3,02. 5) Вычислите приближенное значение величины (1,02)". а)/'(х) дх=г (х) дх, )г"(х) г/х =г (х). Зь. Неаледеленпый иктеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопргделеикыз интегралов этих фуякций.' ((ф(х) +9(х)~г/х=(у(х)г/х+(ф(х)г/х. 4в.
Постоянный мпожюпель подьвопегральиого выражения можно выносить за знак неопределенного иптвграла: ) и/'(х) дх=а)г (х) дх. 5э. Если ) у(х) дх= Г(х) + С и и = ф (х) — мобая известная функция. имеющал непрерывную производную, та )у (и) ди=Г(и) +С. Основные формулы интегрирования (табличные интегралы) (д =к+С; г хю+! х" ах= — +С (пы' — 1); и+1 Г ах — =1и!х!+С; х ! ! а* .
а" дх= — +С; !па ) в*ах=в"+С; 1 ил х г/з = — соз х+ С; ) соз х г/х = пп х+ С; ! г/» з !Ох+С созе х ! дх —., =-сгйх+С; ипз х (11.2) (11.3) (1 1.4) (11.5) (1 1.6) (1 1.7) (1 1.8) (1 1.9) 189 Совокупность первообразных для функции г (х) или для дифференциала г (х) дх называется неопределенным интегралом и обозначается символом )з (х) ах. Таким образом, Зг/'(х) г(г=Г(х) +С, если а (Г(х) +Сз1=/'(х) ах. Здесь |(х) — подынтегральная функция; у (х) дх — подынтегральное выражение; С вЂ произвольн постовнная. Приведем основные свойства неопределенного интеграла. 1в.
Неопределенный иктеграл от дифферекциала функции равен этой функции плюс праизвалькая паспюяпкая: ) аГ(х)=Г(х) +С. 2ь. Дифференциал неопределенного интеграла равен падыктегралькаму выражению, а производная неопределенного интеграла равна падынтггральнай фрикции: (11.10) (!1.12) =1п !~~з/хг Хая ! +С; ~ г 2 /ха~да ггх, х =агсцп — +С; /ат — тг 4) ) 2(Зх-1) 4х=) (18х~-12х+2)йх 18)х Нх-12)хЫх+2(Ых=бхз-бхз+2х+С. Гх +Зх +4х Г 1, 3 5) ~ 4х=~(хзЧ-Зх+4)Ых=~ хг4хЧ-3 хдхЧ-4 арх -хз+-х х х ха+ 4х+ С. ® 2. 1)' х ~ г(х; 2) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
