Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 37
Текст из файла (страница 37)
х Использовав результат предыдущего примера, окончательно получим 2 18' « 184 «2!х= — — !вх+х+С. ° 3 83 !) ( э х,!х. О 1) ) яп «22«=1в)п хв)п«2!х=)(! — сов «)в)п«22«. Положим совх=и; тогда — япх)т«=262 н, следовательно г э сов' х в!и х)!«= — (1 — и')962= — и+ — +С= — совх+ — +С.
3 3 ! 2 совзх / ) соззх ! яп х)!х 1 =. 18«2!(18«) — — =-тязх+1п!созх!+с. э сов х 2 84. 1) )з)п5«в(пЗ«9/х; 2) )сов4«сов«)/х; 3) )з!п7«совЗ«г/х. 1Г 17'! О 1) яп5«в!пЗ«гтх=- (сов2х — сов8«)2!х=-~ -зш2х — — яп8х +С= 23 1 1 = — яп 2х — — яп 8х+ С. 4, 16 17'1, 2) сов 4хсов х2!х=- (сов Зх+сов 5х) 2!« -~ — яп Зх+ — в)п 5х +С= 23 2т,3 1, 1 =- яп Зх+ — яп 5х+С. 6 !О !у 3) яп7«сов3«92«=- (яп4«+з(п10«)22«=-~ — -сов4х — — сов!Ох + 23 2~, 4 10 1 1 + С = — — соз 4х- — сов !Ох+ С. ° 8 20 Найдите следующие интегралы: 85. 1) )в!пз«9/х; 2) ) в)п4«т/х. 86. 1) ) свйз«)/х; 2) )с!84«Дх„ 87. 1) ) сова х)/х; 2) ) в(пвхт/х; 3) 1совв хт/х; 4) )'с!Ез «2/х. 88.
!) 1' в!и Зх ап х т/х; 2) ) соз 5х сов Зх 4/х; 3) )в)п4«совЗ«)/х. й 7. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 89. Найдите ф цию, производная которой у' зтп 2х-хе э .+1 з!и х)!х 90 Найдиге ~ —, если при х=я(2 значение первообразной функции равно 2, 204 91. Составьте уравнение кривой, проходящей через точку инт алы: 95. е"""сов х /ев'"+1 )/х. Най е следуюш;не ХЗ 9!Х / з 98. )в!пзхсовзх)(х. 99.
)в!п5«сов«с(х, ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант Найдите нвтегральс П вариант Найдите интегралы; )) ~ 2) ~ х +хэ/х+,/х х /х ( 9 — 9 /2 з/хз -н2 92«; х /х — + — „Их; ))~ 2) ) 9) ~ (4в!п' х сов х — соз х) )тх. в)п х соз х 4) Найдите уравнение кривой, проходяп!ен через точку А (л(3; 1/2), если угловой коэффициент касательней к кривой в каждой ее точке равен япх. 5) Точка движется прямолинейно с ускорением а=бт+6.
Найдите закон движения точки, если в=О в момент времени 1=0, а в момент времени 1=3 с скорость в=40 м/с. 4) Составьте уравнение кривой, проходящей через точку (-2; 8), если угловой коэффициент касательной в любой точке касания равен 2х — 4. 5) Скорость прямолинейного движения точки и Зтз+бт — 4. Найдите закон движения точки, если за время г=2 с она прошла путь 8 м. Глана 12 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ Пусть функция Ях) определена на отрезке и<«~Ь. Разобьем этот отрезок на и частей точками а<хе <х, <х, «...х,=Ь, выберем на каждом элементарном отрезке х,,<х<х, произвольную точку 82 н обозначим через 205 А (я/3; 2), если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен соз(х/2).
92, Скорость прямолинейного движения точки задана формулой с=зш 21. Наущите закон движения точки, если в момент т=я/б она находилась на расстоянии 0,75 м от начала отсчета. 93. Точка движется прямолинейно с ускорением а=(-6!+24) м/с*. В момент времени т=! с ее скорость в=!5 м/с, а пройденный путь в=20 м. Найдите 1) закон изменения скорости точки; 2) закон движения точки; 3) ускорение, скорость и путь в момент т=З с; 4) момент времени, когда скорость точки будет наибольшей. Ях)бух= Р(х) =Р(Ь) — Яа) !« равен разности значений нервоойразнай нри интегрире ванин.
т. е. олргделенный интеграл верхнем и нижнем ирвдегах Вычислить следующие 1 з определенные интегралы: 2 3) ) (хз+2х+1) 2)х. -1 1. 1) ) хгХх; 2) ) х 2(х; О По формуле Ньютона — Лейбница получаем 1 х'!' 1 1 1) д = — ! 1=-('-О')=-; о 1 хз1 1 19 2) хзгхх= — (31 2з) 3 3 3' 3) (х +22+!)дх= -х -!.хг+х = — 21+21+2 — -( !)г+ 2 -1 +(-1)1+( — 1) =9. ° ! е 2. 1) е" 11х; 2) х -1 1 20б йхь длину каждого такого отрезка. гуинеграаыгай суммой для функции у'(х) на отрезке а~х~Ь называется сумма вина Х з (чь)2 хь з (чг)~~21+.х(22)г хз+""+з (2«2)г«х Онредвгвнным интегралам от функции у(х) на отрезке аа',х4ь называетая предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремитсв к нулю: ь у(х) дх= !пп 2, у'(41) охь.
«б«;бь Для любой функции Х(х), непрерывной на отрезке а<х<Ь, всегда существует определенный интеграл ! у"(х) Их. Для вычисления определенного интеграла от функции у"(х) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл Г(х), служит формула Ньютона — Лейбница: ь 1 ег г3 1) е" Их=в" ~ =е'-е '=в== -1 1"2Хх 1' 21 ~ — =1пх1 =!не-!п1=1-О=1. Е Х 1 «Хз «12 д 3. 1) совхгХх; 2) ~ вхпгх «/б «гб -«11 !и' к и 1 1 О 1) совхгух=в!пх~ =вгп — яп-=1--=-; 2 б 2 2' иб «12 4,) 2, 3 гх 3 «11 'зд 1 4.
1) —; 2) -1 о гзиз дх 1./згг Х3 к Хг О 1) — =агсяпх~ агсяп — вгсвгп(-1)=3 — ( — 2)= 6 .' ХТ х' (1 2 3 -1 1 Г дх 1' и 2) ~ — 1=ага!Ох~ =агсвй1-агс!ОΠ— О=- ° !+х о 4 4 в Вычислите следующие определенные интегралы: 2 2 3 5. 1) ) хгг)х; 2) )хзб(х; 3) )хбг)и. о з о б. 1) ) (4хз-ЗХ'+2х+1)г(х; 2) ) (х" +2х)2)х. 2 — ! 1 нз б г. 21 ~ —,; 21 ( — „21 нз нз о в 27 ( дх «.
21 ) гггрг«гг 1 —; 3/„' 1 в б в 12 )(,/; ' )г«22 207 9, 1) ) ег«г/х; 2) ) ез«ь/х. 1 о 6 1 э 2 х * 2) — „' 3) —; 4) з о 2 1 «/4 «!2 11. 1) ) э/пхь/х; 2) ) соэхв/х; 3) ) (соэх — эгпх)ь/х. — «/4 - «/2 «/4 «/4 12. 1) ) соэ2хь/х; 2) ) э!п4хь/х; 3) ) соэ(х/2)ь/х. «/4 «!э 13. 1),; 2) о «/е «/э «/4 14, 1) —,—, ь/х; 2) — г-21пх 4/х. «/б — «/4 «'Т/г з 3 /1 — хг /9 — хг /4 ' хг" ° 'э «з 24з 16, !) —; 2) —; 3) 8 2.
!3ЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ При вычислении определенного интеграла методом замены переменной ь (способом подстановки) определенный янгеграл !/(х)ь/х преобразуется с помощью подстановки и = ф (х) или х = ф (и) в определенный интеграл относительно новой переменной а. При этом старые пределы интегрирования а и Ь заменяются соответственно новыми пределами янтегрированяя и и !3, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: а=ф(а), !З=ф(Ь). Из второй подстановки новые пределы янтегрированяя находятся путем решения уравнений а=ф(а) и Ьфф(1!) относительно а и (!. Таким образом, имеем ь в в [ / (х)/х =) / [ф («Д ф'(а)ь/н=[ /9(а) /а.
208 17. Вычислить определенные интегралы: з 2 1 1) (2х — 1)з ь/х 2) ~ 3) (2х э+ 1)4 х г г/х; /5х — 1 г о ай/з 4) /4-9хг 4п/з ! з ( ) ! «э(э ! 12„1+ !1«хг,ух «4,/а=- — = — (3 — ! )=8 —. 6~ 6 5(! 30 15 е 1 2 4) Преобразуем подкоренное выражение 4 9х 4 [! (Зх/2) 3 Поло жим Зх/2=а, откуда !/х=(2/3)ь/и. Найдем новые пределы интегрирования: и„=(3/2) ( /2/3)=,/2/2, и,=(3/2) ( /3/3)= /3/2. Следовательно, ,гэ/з «з!г 2 ! 1, ь/и /4-9«г 3 2 ) /! цг 'т!3 lг!г 1 ~~нг 1( /3, ч/22) !(я я~ я 2,/ 31,3 4у 36 =-а!саши =- агсяп — агсйп — ~=-!/-.— 4= —. ° Вычислите с помощью подстанонок следующие определенные интегралы: ! 18.
1) (4 — х)э!/х; 2) 4 о з з э 1х !«. !! ) ьь*-!о; г! ) //ь-'ту««ь! )' —. 1 О !) Введем новую переменную интегрирования с помощью подста- новки 2х — 1=и. Дифференцируя, имеем 2ь/х=сйь, откуда «/х=(1/2)а!и. Нахо- дим новые пределы интегрярования.
Подставляя в соотношение 2х-1=и значения х=2 и х=З, соответственно получим и,=2.2 — 1=3, =2.2 — 1=3, и =2 3 — 1=5. Следовательно, э 5 (2х — !)з ь/х=- иэ «/и=- — (54 3 ) 68 2~ 2 4(э 8' г з 2) Положим 5х — 1=а; тогда 5Нх=!ги, ь/х=(!/5)«!а. Вычисляем новые пределы интегрирования: и„=5 1 — 1=4, а,=5.2 — 1=9. Поэтому 2 2 9 — (5х-1) 1!гь/х=- и 1!гь/и=-и!!г =-(9 ! -4 ')=-. 1 " 2 г 2 , г ,!г 2 1 ! 4 3) Положим 2хэ+ 1 = и; тогда бх 2«/х = ь/а, 2 гаьх= (!/6) «/и. Вычисляем ном м прелы!ы интегрирования! а 2 !! + ! !, и 2 12+ =2 12 ! =3. Таким образом, 2В.
Ц (хг — 1)зхгух; 2) -г О 2 '2 гз 32еЗхг+1,( (х +1)' '5 ! «/2 2« «Ь.О ! 3'*!-1 в«2) ! /Г *е е*. О З«~2 аз «/2 «!3 ) ~ пцхегх ~ созхьгх 1 5глгегг 3-сОзх' ) 2+51цх' 1 !+сО65 О О «!2 й(6 г 1/2 23. Ц ( еа" соахьгх; 2) )емхь!х; 3) ) Зе"'хгг)х. О О О ~6 й «!3 24. Ц пп2хей; 2) зцз-егх; 3) '3!и Зх — гбг. в/12 О 2в/9 «ей йгг2 йаз л~ Х 25. Ц соз 2х — -)!Ь)х; 2) ~ со33хйс; 3) ! Соз-ь)х.
б/ 4 еяб вгг6 2«ЕЗ й/б «/22 « ц х . 2) ~ "х . 3) ~ е)х С05*2Х ) СО5 ЗХ ! С05 (Х)З) «!6 О я!2 я!9 й/22 й 27. Ц вЂ”,,; 2),,; 3) дгб О Уг запг 2%3 З ггв 2В.Ц ';2) ~;3) ,„У9-2к,) /43хг,/ геЗ вЂ” тхг зп 3!3 «3) 2 3 '3/4 Ебиб зы 29. Ц „2) „3) 324 1/2 $ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ если функция а(х) н О(х) н вх производные и'(х) н а'(х) непрерывны в промежутке а~х<Ь, то формула внтегрнровання по частям для определенного интеграла имеет внд 2!О (иебе=ив!» — (Оа)ь е * 30. Вычислить !'х1вхебе. е г О Положим и=!пх, ебг=х4х; тогда ди= —, и= —.
Следовательно, х' 2' х' 1' !Г 6!х хбз хбх«« — !пх1 — ~ х 2 2 1, 2~ х ф 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛОВ Формулы прямоугольников: г Ь— Уе)х (УО+Уг+Уг+" +У -г)! л Ь Ь вЂ” а УИХ (Уг+Уг+Уз+" +У). л (12.!) (!2.2) Формула трапеций: Ь ,УО+У Уегт ( — +Уг+Уг+ -+У -г л (, 2 Формула параболических трапеций (формула Снмпсона): ь и Ь-а Уе)х ЬГУО+Уг«+4(УЬ+Уз+" +Угя-г)+2(уз+У«+- +Угя-г)3 бв е 1 егх 33.
Вычислить по формуле Симпсона ~ —, приняв л=2. ~ !+х' О 21! 62 ! !4 62 62 =8!л4 — — хг~ 8!ц4 — -4+ — =8Ь34-4 —. ° 2 4 ~, 2 4 4 Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите опрееленные интегралы. г в!2 г 31. Ц (агсз)пхегх; 2) ) хсозхб)х; 3) )хагсгйхегх. О О О е г 32. Ц ) 1пг хгх; 2) ) хе *ебх, 1 О О Имеем 1 | ( 1-0 !+хг= 6 2 !ус+У«+4(уг+Уг)+2угг.
« Рис. 68 Рис. 67 «!13 213 Т'к "'" У=у(х)=1/(!+х') У.=У(0)=1, у,=/(1/4)=!6/!7 у =/(!/2)=4/5 Уг=/(3/4)=16/25, у«=/'(1)=1/2, то ~ т ж Вх 1! ! /16 161 41 — — ~!+-+4( — + — )+2 — ~=078539. 1+хг 12~ 2 1,17 25) 5 ~ о Точное значение интеграла есть к/4=0,78540; относительная погрешность а=0,00127%. ° 34. Вычислите приближенно определенные интегралы: 1) — по формуле прямоугольников (12Л) (п««10); 1 Ъ 2) ! — по формуле трапеций (и=10); 1 «гг 3) хяпх11х по формуле прямоугольников (12.2) (и=12); о «гз ( 3!пх 4) ~ — г/х по формуле трапеций (п=б); «!13 «13 3!Пх 5) — г/х по формуле Симпсона (2~=6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
