Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 39
Текст из файла (страница 39)
31. Скорость движения точки изменяется по закону о=(Зсг+ +2с+1) м/с. Найти путь, пройденный точкой за !Ос от начала движения. О Согласно условию,/(с)=3сг+2с+1, с,=о, со=10. По формуле (136) находим со з= ((Зс'+2с+1)4С=(со+со+с!ого 10з+!Ог+!О=!110(м), ° о 32. Скорость движения точки и=(91'-81) м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду, С! Согласно условию, у(!)=9г'-8г, О=3, В=4. Следовательно, г=)(9П-8!)А!=[Зкз — 4сз)1=83 (м).
41 з 33. Скорость движения точки с=(121 — Зг') м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. (3 Скорость точки равна нулю в момент начала движения и и момент остановки. Определим, в какой момент точка остановится; дла этого решим уравнение 121 — 3!а=0, Откуда г(4-!)=О, В=О, !з-— 4. Теперь по формуле (13.6) находим 4 з=)(!2! — ЗП)41=[6!з — !з)че — 32(м) й! о 34. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью е=(бг'+21) м/с, второе — со скоростью с=(41+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с7 О Очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 а 5 и =)(6!з+2!) г(1= [2!ъ+!ху= 275 (м), о 5 аз=[(4!+5)я!=[2!'+5!) ,э=75 (м).
е з1 — аз=275 — 75=200 (м) !й! 35. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью с=(Згз — бг) м/с, второе— со скоростью е (101+ 20) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет нх встреча? С! Согласно условию, тела начали двигаться из одной и той же точки, поэтому расстояния, пройденные ими до встречи, равны. Найдем законы движения каждого из тел: з =)(3!з — 6!)г(! !э 3!з, з )(10!+20)А! 5!а+20 П остоянные интегрирования при начальных условиях !=О.
а=О равны нулю. Встреча этик тел произойдет при условии г,выз, откуда !з — 3!з= 5!а+206 иля !з — 8П вЂ” 20!=О. Решим зто уравнение: 1(! з — 8! — 20) = О, т. е. В =О, !з=-2, !з=!О. Таким образом, встреча этих тел произойдет в момент !=!Ос. любог Подставив значение !=1О в равенство, определяющее закон движ ния е бого из тел (нанрнмер, первого), найдем расстояние, пройденное каждым телом до встречи: з,=з,=!О' — 3 10з 700(м). ° 36. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью с=(39,2-9,81) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела, 220 О Тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени г, когда е=О, т.
е. 392-9,8!=О, откуда 1=4 с. По формуле (!3.6) находим з=[(392 — 98!)А! [392! 49!а)8=784(м). ° о 37. Скорость движения точки с =(бг з+ 4) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения. 38. Скорость движения точки е =(21+ йг з) м/с, Найците ее путь за 2-ю секунду.
39. Скорость движения точки е=(181 — Зг') м/с. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. 40. Скорость движения точки е=(241 — бг") м/с. Найдите: 1) путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения; 2) путь, пройденный точкой за 3-ю секунду; 3) путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. 41. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой.
Первое тело движется со скоростью и= Згз м/с, второе — со скоростью е=(бгз+ !О) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10 с7 42. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью е=(Зг'+41) м/с, второе — со скоростью е=(61+!2) м/с.
В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? 43. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью е = (29,4-9,81) м/с. Найдите наибольшую высоту подъема тела. 8 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ Работа, произведенная переменной силой у"(х) нри перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=Ь, находится по формуле А = ) Ях) Ах. При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: Р= йх, (13.8) гд4 Р— сила, Н; х — абсолютное удлинение нружияы, м, вызванное силой Г, а й †коэффицие пропорциональности, Н/м.
44. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе Р. Вычислить работу силы Г при сжатии пружин(4 на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,0! м нужна сила 1О Н. С! Так как х=0,0! м при Р=10 Н, то, подставляя зти значения в равенство (!3.8), получим !(!.=!с 0,01, откуда к=!000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение !г, находим Р=!000х, т.
е. Ях)=!000х. Искомую работу найдем по формуле (13.7), полагая а=О, 6=0,04: о.оч А= ) 1000х4х=500хз(о,еч 08(Дж) ° е 22! 45. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 и? О Используя равенство (138), имеем 50=001/с, т, е.
/2=5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а= О 22 — 02 =002 (м), Ь = 0,32 — 02 = =0,12 (м). Теперь ~о формуле (13.7) получим оп я х2 0'2 А= 5000х4/х=5000— 2 0.02 0,02 =2500(0 0144-0 0004) =2500 О 014=35 (Дж). ° 46. При сжатии пружины на 0,05 и затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м? О Зная величину сжатия вружнны (0,05) м н произведенную прн этом работу (25 Дж), воспользуемся формулой (!3.7): 0,02 х2 !0,2 25= /2х2/х=/2 — =О,ОО!25х, 2 0 0 откуда )2 25/0,00125=20000(Н/м).
Теперь по этой же формуле находим 0,2 х21., О О! А= 20000хАх=20000 — =.20000' — =100 (Дж). ° 0 0 47, Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж? О Так как известны величина растяжения пружины (0,04 м) н произведенная прн этом работа (20 Дж), то, используя формулу (13.7),. имеем 0,04 х2 0,04 20 /2х 2/х /2 — = 0,0008 к, 2 0 0 откуда х 20/0,0008 = 25 ООО (Н/м). Пусть х,— величина растяжения пружины, соответствующая произведенной прн этом работе в 80 Дж. Тогда х'1* 80 = 25 000х 2/х= 25 000 — 1 = 12 500х2„ 0 откуда х22 =80/12500= !6/2ЯЮ; х, =4/50=0 08 м. ° 48.
Цилиндр с подвижным поршнем, площадь поперечного сечения которого о кв. ед., заполнен газом. Считая, что при увеличении объема газа в цилиндре соблюдается закон Бойля— Мариотта р!' /с сопя!, вычислить работу, произведенную силой давления газа при увеличении его объема от Уо до 1; (температура газа поддерживается постоянной). 222 О Пусть х (м) — расстояние, пройденное поршнем (рнс. 83). Предположим, что прн изменении х на малую величину Ах испытываемое поршнем давление останется неизменным; прн этом объем У изменится на величину АУ. Тогда работа ЬА силы давления на отрезке 2/х выразится приближенным равенством ЬА яяр8 2/х.
Так как р=/2/ !' н Ых=АУ, Рнс. 83 8 ЬУ ЬА и — ЬУ=А —, 8 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ, ПРОИЗВОДИМОЙ ПРИ ПОДНЯТИИ ГРУЗА 55. Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны. (3 Выделим на глубине х горизонтальный слой высотой 2/х (рнс. 84). Работа А, котору2о надо пронэвестн, чтобы поднять слой воды весом Р на высоту х, равна Рх.
223 Заменив приращения АУ н АА дифференциалами 2/У и 2/А, получим 2/У 2/А =/2 —. !' Проинтегрировав это равенство в пределах от Уе до У„найдем А = х 1п (У, / У ). ° 49. Пружина растягивается на 0,02 и под действием силы 60 Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м? 50.
Под действием силы 80 Н пружина растягивается на 0,02 и. Первоначальная длина пружины равна 0,15 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м? 51. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,1 м. Сила в 20 Н растягивает ее на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,12 до 0,14м? 52. При сжатии пружины на 0,05 и совершается работа 30 Дж.
Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,08 м? 53. Для сжатия пружины на 0,02 м необходимо совершить работу 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу 100 Дж? 54. В цилиндрическом сосуде объема У = 0,2 и' заключен атмосферный воздух при нормальном давлении Р =101325 Н/м'. Воздух сжимается поршнем до объема 0,05 мз. Какая работа производится при этом, если температура воздуха поддерживается постоянной? (го) Рис. 84 Рис. 85 Л ч,г Д--х) Ах. д 'гг ЬР=9807п Н вЂ” х) ггх 225 15 — 31ат Изменение глубины х на малую величину Ах вызовет изменение объема У на величину АУ=пггАх и изменение веса Р на величинуо ггР=9807пггг/хг при этом совершаемая работа А изменится на величину АА=9807пггхдх.
Проинтегрировав зто равенство при изменении х от 0 до Н, получим и А=) 9807пг хг/х 4903пггнг=4903п 0,25 2'=4903п (Дж), ° о 56. Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать воду из резервуара конической формы с вершиной, обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основаник конуса Я=1 м, высота конуса 2 м. О Выделим на глубине х горизонтальный слой высотой Ах (рис.
85). Работа А, совершаемая на поднятие слоя воды весом Р, зависит от высоты его подъема' х. Изменение глубины х на малую величину Ах вызовет изменение объема У на величину О У= пг ~Ах (') (элемептарный слой принимаем за цилиндр ввиду малости г/х; г — радиус основания слоя). Выразим г через переменную х н постоянные й и Н. Из д подобия треугольников АОС и АОгВ имеем жй=(Н вЂ” х);Н, откуда г= — х Н й х (Н вЂ” х) = й — х, Подставив значение г из последнего равенства в Н выражение (о).
получим Вес /гР слоя воды в объеме ЬУ (плотность воды ! 000 кг/мг) составляет Прн измсненин Р на величину /гР совершаемая работа А изменится иа величину и Так как плотность воды равна 1000 кг/м», то вес воды в объеме 1 мз составляет 9,807 1000=9807 Н. Поэтому вес г/Р слоя воды в объеме АУ равен 9807пггАх. гг о/А=9807п Н--х) хАх. Н ) Проинтегрировав равенство (о') при изменении х от 0 до Н, получим и и А= 9807п д--х) хАх=~9807пдг~ х — — + — )Ах= Н) ~ (, Н Н) о о г Гхг 2хг хо )и 9807 =9807пгг ~ — — + — ~ = — и/7 Н . г г ~ 2 3Н 4нг)о 12 Подставив числовые значения Д и Н, находим 2г А=9807к 1г — =3269п (Дж) ° 12 57.
Прямоугольный резервуар, основанием которого служит квадрат со стороной 3 м, а высота равна 2 м, заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвестн, чтобы выкачать воду из резервуара. 58. Цилиндрический резервуар с радиусом основания 2 м и высотой 3 и заполнен водой. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду иэ резервуара. 59. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать воду из ямы, имеюгцей форму конуса (с вершиной на дне), высота которого Н=1 м, а радиус основания Я=2 м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
