Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 42
Текст из файла (страница 42)
— з Е чгг2+ Е,/21 2) ' 2 8 3. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ !$1$11=г, Гг=!$1!'!Бв! агй(г,гв)=Е1+грг Таким Образом, ири умножении двух комилвксиых чисел, заданных в тригонометрической форме. их модули иврелгиожаются, а аргуывигиы складываются. Частное комплексных чисел г,=г,(созгр,+Енпгр,) и гз=гз(созгрг+ +ЕБЕОЕБ) нахоДитсЯ по фоРмУле Г,(созгр,+1$1пгр,) г, = — [соя(гр, -грг)+ Ейп(гр, -грг)1, Гз (СОБ ггг, +1$1П чгз) Г, (14.7) т. е. ! г11 Гг !гг! $1 — — агй — = Ег- Ег. Таким образом, ири делении комллеисиых чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычшпаются. Для возведения комплексного числа г(созгр+1$1пгр) в иГю степень используется формула [Г(Сохо+!а(пяг)!"=Г"(совияг+1$1пияг), иыХ, (14.8) которая называется формулой Муавра.
Для извлечения корня и-й степени из комплексного числа г(со$49+ г нп гр) используется формула гр+2кй, гр+2к1191 ,"9 9 99+6 91 / [ — 99 . 9в91 и и где БЕà — арифметический корень, Ег О, 1, 2,...,я — 1. 235 1. Трвънометрнческая форма комплексного числа.
Пусть г=!а+Ы!= = /аз+61 — модуль, а гр — одно из значений аргумента комплексного числа а+Ьг; Так как из соотношений (14.3) вытекает, что а=гсовгр, Ь=ГБ(игр, то а+Ы=г(созгр+Пгпгр). (14.5) Таким образом, любое комплексное число а+ЬЕйО можно записать по формуле (14.5), где à — модуль, а, гр — одно из значений аргумента этого числа. Верно и обратное утверждение: если комплексное число а+ЬЕ представ- лено в виде (14.5), где г>0, то г=!а+ЬЕ!, гр=агя(а+Ы). Представление комплексного числа в виде г = 1'(соз Е+ ! нп йг), где Г>0, называется Гирагоиомвтричвской формой записи комплексного числа.
Для представления комплексного числа з а+Ы в тригонометрической форме необходимо найти: 1) модуль этого числа; 2) одно из значений аргумента этого числа, В силу многозначности агяв тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна. 2. Действия иад иомплеиснымн числами, заданными в трвгояометриче- ской форме. Произведение комплексных чисел г, =г,(созгр, +гяпгр,) и Бг=г,(созрз+Ыгпоз) находитсЯ по фоРмУле Гг(совег+1$1пег) Гг(совез+Езгпев)=гггг(СОБ(ег+грв)+1$!П($91+ев)), (14.6) 29. Представить в тригонометрической форме следующие числа: 1) 2; 2) бю; 3) -2+2 /Зф 4) 2 — 2ю; 5) —,уЗ вЂ” ю. О !) Здесь а 2, Ь=О, г=2.
Так как вектор, изображающий число 2 лежат иа положительной нолуоск Ок, то главное значение аргумента юр= 0 ю следовательно, 2 = 2 (соь О+ ю в!и О) илн 2 2(сов2л/с+И!п2юй), /с~Х. 2) Здесь а=О, Ь= 5, г=б. Поскольку вектор, изобрахсающий число бю, лежит на положительной полуоси Оу, главное значение аргумента юр-я/2 поэтому бю=б [сов(л/2)+И!п(л/2Ц 61=6 [соь(л/2+ 2к/с)+ и ьию (к/2+ 2юй)), /ся Х. 3) Здесь а= — 2, 6=2 /3, г=4. Точка. изображающая число г, леьснт в П четверти; !8ср 2 /3/(-2)=- /3, ср 2юс/3.
Значит, -2+2 /Зю=4 [соз(2к/3)+свюп(2к/ЗЦ -2+2 /Зю'=4 [соь(2к/3+2кй)+юьюй(2л/3+2юйЦ, /сяу. 4) Здесь а= 2, Ь= — 2, г= 2 /2. Точка, изображающая число г, лежит в 1Ч четверти; юйюр= — 1, ею= — к/4. Поэтому 2 — 2ю'=2ь/2 [гов( — к/4)+ ю'ьюи(-к/4Ц 2 — 2ю 2 /2 [соь( — я/4+2юй)+ювш( — л/4+2л/сЦ, /сяУ 5) Здесь а= —,/3, Ь= — 1, г=2. Точка изображаюощая число г, лежит в ю 1П четверти; Юйср=!//3, юр= — 5л/б, тогда — /3 — ю 2 [соь ( — 5к/6)+юьш ( — 5к/6) ) или — /3-1=2 [сов( — 5к/6+2юй)+юь!и(-5я/6+2я/сЦ, /сяХ. | 30, Представить в алгебраической форме числа: 1) а= 2 (соз 2к+ ю вюп 2к); 2) г=,,/2 [сов(Зк/4)+! в[и (Зк/4)).
Сю 1) Подставив значения сов 2я=1, в!и 2к= О в данное равенство, получим г=2(1+гО)=2. 2) Имеем г= /2 [сов(Зя/4)+юь!п(Зк/4Ц,/2 [- /2/2+ю( /2/2Ц= — 1+ю'. ° 31. Найти произведение 2 [сов(к/б)+/вюп(к/6Ц 3 [соз(к/12)+юз!п(к/12)). О По формуле (14.6) получим 2 [соь(я/6)+юяп(л/бц 3 [соз(к/12)+юяп(к/!2ц=2 3 [сов(л/б+к/12)+ +юв!п(я/б+л/12)]=6 [сов(к/4)+юяп(к/4Ц=6 [( г2/2)+ю(,,/2/2Ц= = 3.,/2+ Зь„/2.
° 32. Выполнить деление: 10 [соз (Зк/4) + ю вш (3/к/4) ]; 2 [сов (юс/4) + /вш (к/4) [. О По формуле (14.7) находим !О [соь(3к/4)+юьт(Зл/4));2 [сов(л/4)+ювню(я/4Ц= =(10/2) [соь (Зл/4-л/4)+ !ьш (Зя/4-л/4) ) = 5 [сов (к/2)+ ю вш (л/2Ц = =5(0+Ю)=5ю. чг 3. Возвести в степень: 1) [соз (к/6)+ ю вш (к/6) ]ь; 2) [3/2- 3 -(,/З/2) )".
О 1) По формуле Муавра получим [сов(к/6)+И1п(к/6))в=сов [6 (к/бц+!яп [б (л/бц=совл+юяпк= = — !+ю 0= — 1. 2) Представим данное число в тригонометрической форме. Здесь а= 3/2, Ь= — /3/2, т. е. г=,/(3/2)ю+( — х/3/2)г,~3. Точка, изображающая данное число, лежит в 1Ч четверти, поэтому юйюр=( —,,Югз/2):(3/2)= — ь/3/3, т.
е. юр= -л/6. Итак, 3/2 — ( /3/2)ю'= /3[сов[ — я/6)+юь!и(-к/6)]. Следовательно, [ /В[сов(-л/6)+И!и( — я/6)])'ь 3 [соь( — !О к/6)+!яп( — 10 к/6)]= Зь [сов(5к/3) — 1в!п(5л/3)] = Зь [сов(5к/3-2к) — 1 вою(5к/3 — 2к)]= = 243 [соь (к/3)+ ю ь(п (к/3)] = 243 [1/2+ ю(х/3/2)] = 121,5 (1+ ю /3). ° 34. Применяя формулу Муавра, доказать справедливость сле- дующих тождеств сов 2ср = сов'ср — вюп'юр; яп 2ф 2 яп ср сов ср; созЗф=бсовзср-Зсозср; вшЗср=Зяпср-4з!пзф, О Полагая в соотношении (14.8) г=1 н л 2, получим (соьср+ЮЯлср) =соь24ю+Юз!п2ср, или сов'юр+ 2ю сов юр в!и ср — вюпг ср = соь 2юр+ ювга 2ср. Из условия равенства двух комплексных чисел следует, что сов 2юр=соььюр — йлюср; яп2ср=2ь!псрсовср.
Аналогично, полагая в соотношении (14.8) г=! и л=З, имеем (соь юр+ ю яп ср)' = сов Зср+ юь!и Ззю, 237 соььср+31соь'ср в!и ср — 3 ппьсрсоь р — !ып~ср=соь Зяг+ сын Зср. Из условия равенства двух комплексных чисел следует: соь31р=созьср-3ыптсрсоьср соььср-3(1 — соььср)сов ср=ясозьср — Зсоьср; пп 392 = 3 созьср пп ср- пптср = 3 (1 — пптяг) пп Чг — 21пьзг = 3 пивг — 4 ппьф. ° 35. Извлечь корни из комплексных чисел 1) /с'; 2) '/1. О 1) Представим число ! в тригонометрической форме: 1=0+1 1= =сов(я/2)+1зсп(к/2).
По формуле (149) получим 21= /1= соь(к14)+1ып(к/2)=сов К/2+2яя 1, К/2+2К/С +сз1п 2 2 =сов(я/4+я1с)+1ьа(к/4+к/с), /с=О, 1; если /с=О, то с~=сов(к/4)+!в!о(я/4)=,,/2/2+(,/2Д)11 если /с=1, то 2, =сов(к/4+я)+!пп(я/4+я)= -соь(к/4) — Нш(к/4)= — 2/2— -( 12/2)1. 2) Представим число! в тригонометрической форме: 1=соьО+!ыпО. По формуле (14.9) находим О+2кй . О+2яй 21=~/! = созО+1з!пО =сов +Н1П 3 =сов(2к/с/3)+сын(2к/с/3), /с=О, 1, 2; если /с=О, то те=соьО+1'пп0=1; если /с=1, то т,=сов(2к/3)+!па(2к/3)= — 1/24( /3/2)1; если !с=2, то тт=соь(41с/3)+1'пп(41с/3)= — 1/2 — ( /3/2)1'. Зб.
Представьте в тригонометрической форме комплексные числа: 1) 311 2) — 1+с; 3) 1 — !,,/3; 4) /3 — 1'; 5) 2/3/2 — (1/2)1; 6) -3+41. 37. Представьте в алгебраической форме числа: 1) 5 [соь(к/2)+ +сзсп(к/2)]; 2) 4 [соь(-к/3)+1ь!и(-к/3)]; 3) созк+сзшк; 4) 2 [соь(к/4)+1з!п(к/4)]; 5) 3(соьО+1ьт0). 38. Найдите произведения: 1) 3 [соь(к/8)+!ь!п(к/8)] [соь(5к/24)+!ь1п(5к/24)]; 2) 2 [соз(к/3)+!з!п(н/ЗЦ 5 [соз(-к/4)+сь!ц(-к/4)]; 3) (соь5+!з!пз! (соь2+1'ьш2); 4) [соь(2к/3)+1з!п(2к/3)] [соз( — к/2)+сьш(-к/2)]; 5) 4(соь 10'+сзш 10') 2(соз 35'+сзсп 35'); 6) [сов (5к/6) +1ь!и (5к/6) ] [соз (2к/3)+се!ц (2к/3) ]. 39.
Выполните умножение, используя тригонометрическую форму комплексного числа: 1) ~-+- !)~ ††~; 2) (1 +1,,/3)(- 2-2ь,/3); 3) (1+1)(3+31ч/3); 4) (6+21' /3)(-3-3!); 5) (5+ 51)(сов! 5'+свис 15') 6) 3 [соь( — и/8)+!ин(-и/8)]'(3+ч/31), 238 40. Выполните деление в тригонометрической форме: 1) 3 [сов (Зк/4)+ссйп (Зк/4) ]: [соь (к/2)+ с ь!и (тс/2) ]; 2) (соь210'+сзш210'):(сов150 +!ып !50'); 3) [соь(-к/3)+!з!п(-к/3)]1 [соь( — к/6)+!з(п(-к/6)]' 4) (соз150'+сьсп!50'): [соз(-120')+сзтп(-120')]. 41. Возведите в степень: 1) ~ — -!); 2) ~2~сов -+!з!и — д; 3) (соз35'+!ьсп35') о ° о -12 2 2/' ~ ~ 8 8/]' (!+;)ь (1 !)ь 42. Вычислите: 1) (1-1)"+(1+!)'2; 2) (1+;)в, (1;)ь ' 43.
Извлеките корни: 1) 1/-1; 2) 4/ — 1; 3) з/1; 4) 4/4; 5) 4/ — 2+21 /3; 6) 4/1 8 4. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА Степень с* с комплексным показателем т=х+1у определяется ра. венством е'= йш 1+- Можно доказать, что е'=е" (сову+1'в!пу), т. е. е*+н=е (сову+Ищу), (14.10) В частности, при я=О получается соотношение ен=созу+!ьюу, (14.11) которое называется формулой Эйлера.
Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении — вычитаются, при возведении в степень — пере. множаются. Показательная функция имеет период, равный 2я1, т. е. е* 2 =е', В частности, при 2=0 получается соотношение есм= !.
Тригонометрическую форму комплексного числа 2 г(созср+снп ср) можно заменить локазаглельлой формой: т = ге~'. (14.12) Умножение, деление, возведение в целую положительную степень н извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданнык а показательной форме, выполняются по следующим формулам; Г,Е141 Г ЕЧ2=21 Г2Е1141+421; (14.!3) — = — Е "41-42 1; (14.14) Г2ЕЮ2 Г2 (гс'1)"=г"ес"4; (14.15) 239 ,"„/ге"=~/г е " (/2=0, 1, 2,...,л-1). (14.16) Формула Эйлера (14.11) устанавливает связь меясду тригономесрическими функциями и показательной функцией.
Заменив в ней у на зр и на — зр, получим еб'=сове!+12|ля!, е бз=совзр-1япср. Складмвая и вычитая эти равенства, получим совср=(ебс+е б')/2, (14.17) нпср=(еб' — е а)/(21). (14. 18) Эти две простые формулы, также называемые формулами Эйлера и выражаюсцие тригонометрические функции через показательные, позволяЮт алгебраическим путем получить основные формулы тригонометрии. 44. Найти: 1) есиб; 2) ем; 3) ез+'". Сз По формуле (14.11) получим: 1) еьзб Мзсов (я/4)+ сяп (зс/4) = /2/2+!( ./2/2); 2) е =е" 1' ' *'"+'"' ""'з=е "!=сов~ — я)+П|п(-я)= — 1; 3) по формуле (!4.10) получим е +!"=е (соби+саик)= — е'. 48 45.
Найти: 1) сов!; 2) сов(1 — 2). О По формуле (14.17) получим: .2 2 е! +е ' е '+е е'+! 1) сов1= 2 2 2е ен' О+е '" " есбс+е ' ' 1 2) сов(1 !)- — — — (е(сов!+и!а1)+ 2 2 2 ! +е '(сов( — 1)+1яп( — 1)]=-(асов!+е/в|п!+е 'сов!— 2 1,, е'+1, е' — 1 — е '12|и 1] =- 1(е+ е ' ) со в 1+ 1(е — е ! ) яп 1] = — сов 1+ ! — яп 1 йр 2 2е 2е 46, Показать, что для комплексного переменного г справедливы форм!уды: 1) вшзг+совзг=1; 2) вш2г=2япгсовг; 3) сов2г= ° 2 =сов г-яп г. О 1) Возведя обе части равенств (14.17) и (14.18) в квадрат и затем почленно складывая нх, получим (еа+е-*)2 (е*! — е *')2 еза-1-2+с-2* ез*з+2 — е сов!2+вспзг + 4 — 4 4 1. 2) Перемножив левые и правые части равенств (14.17) и (14.18), получим еа+е *' еа-е *' ез*' — е за 2в|пгсов2=2 .
= =яп2я 2 21 21 '3) Возведя обе части равенств (!4.17) и (14,18) в квадрат и почленно их вычитая, получим (с*с+с-*!)2 (е ! е-.с)2 сов!2-япзг= 4 -4 езе~р2+е 'а+е"' — 2+е за еза+е за сов 22. 4 2 47. Представить в показательной форме числа; 1) гбб22; 2) гбб — 1+с'. О 1) Здесь а=О, Ь=2, 2=2, бр=я/2.
По формуле (14.12) получим 7 саз 2) Здесь а= — 1, Ь=|, 222 зс/2, 18ср= — 1, ср=зя/4. По формуле (14.12) имеем г= /2е'"'12. ° 48. Представив числа г,=1+2' и г2=1-1 /3 в показательной форме, вычислить: 1) гсвг; 2) г,/гз; 3) гб; 4) б/гз. О Для числа г,=1+1 имеем: а=1, Ь=!, г= /2, ср=я/4, т. е, 2, /2еисб. Для числа г =1 — 1 /3 имеем: а=1,.Ь= — ./3, 2=2, ср — к/3, 2е- ьсз 1) По формуле (14.13) находим 2,22 /2езиб.2е ис'=2 /г2е 2) По формуле (14.14) получим г! ч е я бяб-с- мз! т з„б! 2 22 2е нсз 2 2 3) По формуле (14.15) имеем гб=( /2е"12)б=8е'з".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
