Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 40
Текст из файла (страница 40)
60. Вычислите работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму полушара с радиусом Я=1 м. 61. Вычислите работу, совершаемую при выкачивании воды из наполненного доверху котла, имеющего форму параболоида вращения (с вершиной внизу). Глубина котла Н=1 м, радиус основания Я=2 м. й 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ Значение силы Р давления жидкости на горизонтальную площадку зависит от глубины погружения х этой площадки, т. е. от расстояния площадки до поверхности жидкости.
Сила давления (Н) на горизонтальную площадку вычисляется по формуле Р = 9807 85х, где 8 — плотность жгщкости, кг/мг; 5 — площадь площадки, м'1 х — глубина погружения площадки, м. Если площадка, испытывающая давление жидкости, не горизонтальна, то давление на нее различно на разных глубинах, следовательно, сила давления на площадку есть функция глубины ее погружения Р(х).
62. Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20 м и высотой 5 м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза). О На глубине х вылепим горизонтальную полоску шириной Ых (рнс. 86). Сила 'давления Р на стенку шлюза есть функция от х. Изменение глубины х на малую Рис. 86 величину Ах вызовет из- менение силы давления Р на малую величину ЬР. Продифференцировав переменную Р, получим приближенное значение (главную часть) 57Р приращения ЬР.
Находим приближенное значение силы давления воды на зту полоску: АР=9,8078хАЯ=9807х 2ОЬх. Но АРжАР. Интегрируя АР прн изменении х от О до 5, получим 5 (5 Р=9807 ° 20)хо(х=9807 (Охз~ =245(ВВН) ° о о 63. Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапедин с основаниями а и Ь(а>Ь) и высотой Ь. О Пусть заштрихованная полоска расположена на глубине х (рис. 87) н имеет размеры у н 4(х. Приближенное значение силы давления воды на зту полоску составляет АРгехуйх=АР. Выразим переменную у через х и размеры трапеции а, Ь и Ь. Из подобия треугольников А))Е н АФМ имеем УУЕ:Ь(М=АЕ:АМ. Так как ВЕ=(а — ЬУ2, Ь5М=(у — Ь)72, АЕ=Ь н АМ=А — х, то, подставив этн значения в пропорцию, получим а — Ь Ь а — Ь вЂ” = —, откуда уча — х, у — Ь Ь вЂ”.х Ь Следовательно, я — Ь ~ АР=х а — х~Ых.
Ь Интегрируя АР при изменении х от О до Ь, находим р,х " Ьх А„= ' ' Ь, Ь('+хо) ° о 64. Треугольная пластинка с основанием 0,2 м и высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давлении воды на пластинку. О Выделим на глубине х горизонтальную полоску шириной (рнс. 88). Изменение глубины х на малую величину аьх вызовет изменение силы давления Р на малую величину АР.
Площадь полоски АЯ=удх. Из подобия треугольников АВС н ЮЕС имеем у:02=у:04, откуда у=05х. Следовательно, Ь5= 0,5хдх. Элементарная сила давления (Н) составляет АР = 9,80 76х АЕ = 9807х. 0,5хйх = 4903,5х* гул. 226 Рис. 87 Рис. 88 Интегрируя АР цри изменении х от О до 0,4, получим О,а 5~0,4 Р=4903„5 зА =4903,5 — 1 = (634,5 О,4'= 104,6(Н). ° 3 о 65. Вычислите силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 2м и высотой 4м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки. бб. Вычислите силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму равнобедренной трапеции.
Верхнее основание трапеции, совпадающее с уровнем воды, равно 4,5 м, а нижнее основание равно 3 м; высота стенки 2 м. 67. Треугольная пластинка с основанием 0,4 м и высотой 0,6 м погружена в воду вертикально, так что основание ее находится на поверхности воды.
Вычислите силу давления воды на пластинку. 68. Цилиндрнческнй стакан наполнен маслом. Вычислите силу давления масла на боковую поверхность стакана, если высота его А=0,08 м и радиус основания г= 0,04 м. Плотность масла 900 кг(мз.. 69. Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычислите силу давления ртути на боковую поверхность стакана, если высота его 0,1 м и радиус основания 0,04 м. Плотность ртути 13 600 кг/мз.
70. Вычислите силу давления воды'на дно и стенки аквариума, стороны основания которого 0,8 и 0,5 м, а высота 0,3 м. Аквариум доверху наполнен водой. 8 б. ДЛИНА ДУГИ' ПЛОСКОЙ КРИВОЙ Пусть плоская кривая АВ (рис. 89) задана уравнением у=у"(х) (ажх~Ь), причем у'(х) н у" (х) — непрерывные функции в промежутке а<х<Ь, Тогда дифференциал 58 длины дуги АВ выражается формулой «- 1+( — 7 а, «-„ггь7уо. 5'Ауь ь ),Ах( а длина дуги АВ вычисляется по формуле, ь ь а=ьа-~«т~пуаа а гле а и Ь вЂ” значения независимой переменной х в точках А н В. (!3.9) 227 Если кривая задана уравнением х 9(у) (с<у~зО, то длина дуги АВ вычисляется по формуле з-з,дз!З'щи, озго) где с и зз †значен независимой переменной у в точках А и В.
Рис. 89 71. Найти длину окружности ха+уз =гг, 0 Дифференцируя уравнение окружности, имеем ззУ з!У Х гх+гу- — =О; — = —. з!х ' з/х у По формуле (13.9) вычислим длину дуги четверти окружности, взяв пределы интегрированна от 0 до г: ! /4= 1+ — 27х= — з/х= о о о Г ззх, х!' — =гагсип -1 з/г — х "о /г г о Длина окружности равна С=4Е=4(кг/2)=2кг. ° 72. Найти длину дуги параболы у= хг/2 между точками 0(0; О) и А ( /3; 3/2).
з/у 0 Дифференцируя уравнение параболы, получим — =х. Вычислим зух длину дуги: гз 1 ~лз з-) чтло=(-* 'озз~-ьз,~,'*' л) гзз~ .1. ° ~2 2 о 73. Найти длину параболы у'=4х между точками 0(0; 0) и (5/4," /г5). 0 Для вычисления длины дуги применим формулу (13.10), т. е. за 1 Их 1 аргумент примем переменную у.
Находим х=-уг; — =-у; следовательно, 4 'о!у 2' от зт 1+ -'у,~,=-',/4+. г,~ = о о !г! !оз =-~-у,„/у~+4+2!п(у+ /уз+4)~ ж2,44 (ед. дл.). ° 212 Найдите длины дуг следующих линий: 74. Параболы у=ха между точками 0(0; О) и А( /3/2; 3/4). 79. Параболы у=4-хг между точками ее пересечения с осью Ох. 228 76. Параболы у'=х между точками 0(0; О) и А (3/4; /3/2).
77. Полукубической параболы у'=х' между точками 0(0; 0) и А(4/3; 8 /3/9). 78. Полукубической параболы 9уг =4хз между точками 0(0; 0) н А(3; 2 /3). 79. Цепной линии у=(е"+е ")/2 между точками А(0; !) н В(1/2; (езгг» е-ззг)/2) 80. Цепной линии у=а(е"'+е "')/2 между точками А(0; а) и В(а; а(е +1)/(2е)).
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Глава 14 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА $1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Комплексными числами называются числа вида а+Ьб где а и Ь вЂ” действительные числа, а число 0 определяемое равенством ! = — 1, называется 2 мнимой единицей, если для этих чисел понятна равенства и действия сложения н умножения определены следующим образом: 229 1 вариант !) Скорость движения точки о=(322-22 — 3) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 2-ю секунду. 2) Вычислите работу, произведенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,0! м нужна сила 10 Н.
3) Вычислитеработу произведенную при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,02 м была затрачена работа 40 Дж. 4) Вычислите работу, произведенную прн выкачивании воды из резервуара цнлзщдрической формы (К=г м, Н= ! м), наполненного доверху водой (вес воды в объеме 1 м' приблизительно равен 9807 Н). 5) Вычислите силу давления воды на вертикальную площадку, имеющую форму треугольника с основанием 5 м и высотой 3 м. Уровень воды совпадает с вершиной треугольника.
11 вариант 1) Скорость двюкения точки о=(362-1222) м/с. Найдите путь, продленный точкой от начала движения до ее остановки. 2) Вычислите работу,произведено!ую при растяжении пружины на 0,05 м, если для растяжениа ее на 0,02 м нужна сила 40 Н. 3) Для растяжения пружины на 0,03 м необходимо проювестн работу 12 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, затратив работу 48 Джг 4) Вычислите работу, произведенную при выкачивании воды из резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с основаниями 3 и 4 м и высотой 2 м, наполненного доверху водой (вес воды в объеме 1 м' приблизительно равен 9807 Н). 5) Вычислите силу давления воды на вертикальную площадку, имеющую форму треугольника с основанием б м и высотой 2 м.
Уровень воды совпадает с основанием треугольника. 1) два комплексных числа а, +Ь,1 и аз+Ьзс называются равными, если а,=аг и Ь, Ьг; 2) суммой двух комплексных чисел а, +Ь,с' и а, +Ьгс' называется комплексное число (а,+аз)+(Ьс ч-Ьз)1; 3) произведением двух комплексных чисел а,+Ь,1 и аз+Ь,! называется комплексное число (а,а,— Ь,Ь,)+(а,Ьг+а,Ь,)1. Запись комплексного числа в виде г=а+Ьс' называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Действительное число а называется действительной частью комплексного числа г а+Ь1, а действительное число Ь вЂ” мнимой частью. Любое действительное число а содержится в множестве комплексных чисел, его можно записать так: а=а+О с. Числа О, 1 и с' записываются соответственно в виде 0=0+0 1, 1=!+О 1 и с'=0+1 1. При а=О комплексное число а+Ьс' обращается в чисто мнимое число Ьс'. Комплексное число а — Ь1 называется комплексно сопряженным с числом а+Ы и обозначается г, т. е.
Р=а+Ьс'=а-Ьс'. Комплексные числа вида а+Ьс и — а — Ы называются противоположными. Модулем комплексного числа г=а+Ьс' называется число /аз+Ь'. ~г(=(а+Ы!=. 1а +Ь . (14.1) Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число: !г(аО, причем !г!=О тогда и только тогда, когда г=О. Комплексное число г=а+Ы можно изображать точкой плоскости с координатами (а,' Ь) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
