Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

90). При этом действительные числа изобрюкаются точками оси абсцисс, которую называют дейетвителысай осью, а чисто мнимые числа — точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами (а; Ь) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(О; 0) и концом в точке М(а; Ь). Поэтому комплексное число а+Ы можно изобразить в виде вектора ОМ=г с началом в точке г=О и концом в точке г=а+Ы. Из геометрической интерпретации комплексного числа вытекают следующие свойства.

1", Длина вектора г равна (г!. 2'. Точки г=а+Ь! н г=а — Ьс симметричны атнасительно действительней аси. 3'. Точки г и — г симметричны ептоаипельна тачки г=0. 4'. Числа г, +гз геометрически изображается как веюпар, построенный не щнмилу сложения векторов, соответствующих точкам г, и гз (рнс.

91). 5 . Расстояние между точками гс и гг равно (г,— гз! (Рис. 92). Угол !р между действительной осью Ох и векторам ОМ, отсчитываемый от положительного направления действительной осн, называется с-гг Щ е+Ы г! Рис. 90 Рис. 91 Рис. 92 аргумеюпам комплексного числа г=О (см. рис. 90). Если отсчет ведется против движения 2;5/ часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по движению часовой стрелки,— отрицательной. ;й) Аргумент !р комплексного числа г=а+Ы записывается так: ср=агйг или ср=агй(а+Ы). (14.2) Для числа г=О аргумент не определен.

Рис. 93 Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно; любое комплексное число гФО имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2к. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка — к<!р<п называется главным значением аргумента. Из определения тригонометрических функций следует, что если ср= =ага(а+Ы), то имеют место равенства сов ср=а/ /Р+Ьз = а~г, з(п йг=Ь/ /аз+да =Ь/г.

(14.3) Справедливо и обратное утверждение, т. е. есин выполняются оба равенства (14.3), то !9 =ага(а+Ь1). Таким образом, все значения аргумента ср можно находить, респая совместно уравнения (14.3). Значения аргумента комплексного числа г='а+Ь/ФО можно находить и так; 1) определить, в какой четверти находится точка г=а+Ы (использовать геометрическую интерпретацию числа г=а+Ы); 2) найти в этой четверти угол ср, решив одно из уравнений (14.3) или уравнение (14.4) ейср=Ь/а; 3) найти все значения аргумента числа г по формуле агйг=ср+2к/с, /стУ,. 1.

Построить радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: 1) г=2; 2) г= — 3; 3) г=Зс; 4) г= — 2с) 5) г=2+Зс. О 1) М (21 0)1 2) М ( 3' 0)! 3) Мз (01 3)1 4) Мв(0' — 2)! 5) М (2 3) (рис. 93). ° 2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: -2+5сх-3!у=9!+2х-4у. О Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части данных комплексных чисел: — 2+(5х — Зу)с=2х-4у+9!. Теперь, используя равенство комплексных чисел, составим систему 2х — 4у= -2, 5х-Зу=9, решив которую получим х=З, у 2.

° 3. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: 1) г= с; 2) г= — 5!; 3) г= 1 + с; 4) г =2- 21. 231 О !) Здесь а=О, Ь 1. По формуле (14.!) получнм ю=,/03+1~=1; ф=к/2, так как ве«тор, нзображаюшяй данное число, лепят на положнтельной полусон Оу. 2)2 55= — 5; 4 5)-5) 5', )р= — к/2, так как вектор, изображающий данное число, лежит на отрицательной полуоси Оу. 3) Здесь а=1, Ь=1 (точка, изображающая данное число, лежит в 1 четверти); т= /1т+1г= /2; г юкюр=Ь/а=1; юр=к/4. 5) 2 2.

Ь= — 2 ))7 5 ) = 225)-2) =2 2; 45 5) — 1; )р= — к/4. йю 4. Найти все значения аргумента комплексных чисел: 1) г=-4; 2) г=1-3. О !) Здесь а= — 4, Ь=О; находим агй( — 4)=л+2я/ю, /юмХ. 2) Здесь а=1, Ь= — 1; находим аюк(1-1)= — л/4+2к/ю, /юмХ. ° 5. Постройте радиусы-векторы, соответствующие комплексным числам: 1) г=2 — 31; 2) г= — 2+3!; 3) г= — 2-33'; 4) г=,~2+,~Ъю'; 5) а=2 —,,ю)31. 6.

Даны числа: 1) г=З+ю'; 2) г=З вЂ” ю; 3) г= — 3+1; 4) г= — 3 — ю'; 5) 3; 6) — 3; 7) — 1; 8) ю. Назовите числа, сопряженные н противоположные данным. 7. На координатной плоскости дан круг с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис, 94). Какие числа соответствуют точками А„Аг, А„А4, Аз, Ае, лежащим в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в этот круг7 8.

Дана точка, изображающая число — 3+ 23. Какие числа изображают точки, симметричные данной относительно; 1) действительной оси; 2) мнимой оси; 3) начала координат? 9. Наидите действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 1) 9+2/х+4/у=103'+5х — бу; 2) 2/х+3/у+ +17=3х+2у+180 3) 5х — 2у+(х+у)1=4+53. 10.

Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, най- ! дите х и у из соотношений: 1) хг — 5(х-1)+4ю=ую — 1; 2) --4у1=4. х 11. Найдите действительные значения х, при которых справедливо равенство (хг+1)ю+З=х(х — 23) — 2х. 12. Найдите модуль и главное значение аргумента коь/плексных чисел: 1) г=З; 2) г=-3; 3) г=31; 4) г= — 31; 5) г= — 2-2ю'; 6) г= =1+1 /3; 7) г=1-ю ююЗ; 8) г=- 3+8 13. Чему равен аргумент: 1) чисто мнимого числа; 2) любого отрицательного числа; 3) любого положительного числа; 4) нуля? 14. Аргумент комплексного числа а+Ью равен ф. Чему равен аргумент числа а — Ью? 15. Найдите множество точек координатной плоскости: 1) модуль которых равен 2; 2) аргумент которых равен Зп/4.

232 16. Найдите все значения аргумента комплексных чисел: 1) г= = — 1+0 2) = /3 — Ь б 2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ Над комплексными числами производятся такне же.действня, как н над действительными числами. Действия сложения н умножения даны в определении комплексного числа (см.

1 1). Рассматривая вычитание н деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению н умножению, получаем правила вычитания н деления комплекснмх чисел: (а) фЬ, !) — (аг+ Ьг!)= (а)-аг)+ (Ь) — Ьг)ю'; а,+Ь,! а,аг+Ь,Ь3 агЬ,— а, г — Ь аг+Ьг! аг+Ьз аг+Ьг з г + г г 17. Выполнить действия: 1) (4+2ю)+(1+53); 2) (3+51) — (6+3!). О 1) По правилу сложения комплексных чисел получим (4+2!)+(1+ 55)=(4+1)+(2+ 5)ю'= 5+7!. 2) По правнлу вычнтання комплексных чнсел получим (3+ 5!) — (6+ 3 )) = (3 — 6)+ (5- 3) ю'- — 3+ 26 Сложение (вычнтанне) комп- р лексных чисел сводится к сложенню (вычнтанню) векторов, нзображающнх зтн числа.

Действия над заданными векторами. нл- 43 люстрнруются геометрически рнс. 95,а, б. ° 18. Показать, что спра- р ведливы равенства 4 4« .4)5+ 1 ю 343+ г а/ 343+3 ю ю,де Рнс. 95 О Так как Р= 1 то юз=й ю= — 2 1'=ю ю =( — 1)( !)=! .3 г, 5 .з, г .з 5,; 34 = — 1, Р = — 1, Р = 1, .... Следовательно, получаем четыре чередующнхся аа 42 2 4473 42+з 19. Вычислить 1) 1'4 2) !33; 3)'133; 4) (-1)в; 5) ( — 3)7. !24,4 4 !. 2.

м 4 4+2 5 3);)з 4 ззз;з Ь 4) (;)3 ,.3,4 г 1, 5) (;)7;7 !2+3;3 ( ю) ю ° 20. Выполнить действия: 1) 21 31; 2) (2 — Зю)(2+33); 3) (5 — 41)х х (3+ 2ю). О !) 2! 32=бр= — 6; 2) (2 — Зю)(2+32)=4 — 9Р=4+9=13; 3) По правилу умножения комплексных чисел получим (5 — 4!)(3+2!)=!5 3 — (-4) 21+![5.2+3( — 4)1=23 — 2!. 233 Можно произвести умножение но правилу умножения многочленов; (5-4!)(3+2!) !5+101-121+8=23-2Е.

41 21. Выполнить действия: 1) —; 2) —.; 3) —,; 4) —.. 2 ! 1+1 2 — 31' Згл !+1' 1-1» 4+5! 2 2! 2! 2 . О 1) Умножив делимое и делитель иа 1, получим — = —,= — = — 11 31 Зб1 — 3 3 2) Умножаем делимое и делитель на множитель, сопряженный делителю: ! ! — ! 1-1' 1 — г ! 1 1+г' (1+!)(1-Е) ! — Ез ' 2 2 2 ' 3) .— .,—, 6 !+г' (1+!)(!+О !+2+В 22 1 ; (1 !)(! + 1) ! Ег 2 2-3! (2 — 3!)(4-51) 8 — !01'-121+!511 — 7-22! 7 22. 4+51' (4+51)(4-5!) !6+25 41 41 4! 22. Вычислить (1+Е)$. Сг Используя соотношение (!+г)г 21, получим (1+!)Б=[(1+Е)13» -(21)4 — ЕЫ»=!6, йг 23, Выполните действия: 1) (3+г)+( — 3-81); 2) (5 — 41)+(7+4Е); 3) (-6+21')+( — б — 21); 4) (0,2+0,11)+(0,8-1,11); эЕ (2-31)+(5+61)+( — 3-41); 6) (1-г) — (7 — 31) — (2+Е)+(6-21). 1) 1$1 гзо 1 гзс.1;зв 1 1$4.

2) г 1 гз+гз+14+!в. 3) !+!!в+!БЕ+!БЕ+141; 4) !'Ез гз гч; 5) —,+-,; 6) в+ зв+ зв' 25. Выполните действия: 1) — ЕьЕ5 4! „Е5; 2) (5 — 3!) '211 3) (3+41)(3-4г); 4) (5+31)(2-51); 5) ( — 2-г)(1+г); 6) 4+21+( — 1+6!)(6 — !); 7) (3 — 21)(5+4!)-71+1; 8) ~- — 1)1-+-г); 9) (0,2 — 0,3г)(0,5+0,41). (3 3 )13 3)' 1 ! ! — 1 3-21' 26. Выполните действия: 1)-; 2) — 3) —; 4) —; 1 — !' 1+г' 1+31» (! — 21)(2+1) 2+31' (3+21)(2 — !) а+Ы ; 7),,; 8) —.; 3 — 2г' (4+ г)(2-21)' (2+ 3!)(1+ 1) а — Ы' +Ь -Ьг 27. Разложите на комплексные множители: 1) т'+и'1 2) 4т'+ Ьв +9лз; 3) — + —; 4) т+и; 5) 2+ ГЗ; 6) 1+$(пза; 7) 3. и в .„, СО В„. ЗС,В„Е вг[-9~;,Гвг 91Е 9 +-г'); 5) (1+!); 6) (! — г'); 7) [ — з.

Характеристики

Список файлов книги