Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 45
Текст из файла (страница 45)
г/г 8 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОР!1ДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с пастаянными коэффициентами называется уравнение вида ,!г —,+р — +чу=О, (15.!) г(хг дх где р и а — постоянные величины. Для отыскания общего решения уравнения (!5.!) составляется характеристическое уравнение г э+рг+ а = Е, (! 5.2) у=в (Сг сов)!х+Сгйп(!Х) 44.
Решить уравнение — -7 — +10У=О. г/ у г/у г/хг дх О Составим характеристическое уравнение и найдем его коряк г'-7г+1Е Е; г,=2, г,=5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (!5.3) запишется так: У=С,е'*+Сгв'*.
° дг 45. Найти частное решение уравнения — 5 — =О, если у 1 и агхг ду — = — 1 при х=О. г/х 253 дгу г/у которое получается ю уравнения (!5.!) заменой —, — и у на соответ- ,~„г' гх ствующие степени г, причем сама функция у заменштся единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнеши (15.!) строится 'в зависимости от корней г, н г характеристического уравнения (15.2).
Здесь возможны три случая. 1 с л у ч а й. Корни г, и г, — действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения (!5.!) имеет вид У=С,во*+С в'г*. (!5.3) П случай. Корни г, и г,— действительные и равные: г,=гг=г. Тогда общее решение уравнения (!5.1) записывается так: у=(С, +Сгх)е'*. (15.4) П1 с луча й. Корни г, и гг — комплексно-сопряженные; г, = а+!!й г,=п — ()!. В этом случае общее решение уравнения (!5.!) записывается следующим образом: (!5.5) О Составим характеристическое уравнение г' — 55=0, откуда «,=О, гг 5. Так как корни харвктерисгического уравнения действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид У=С,ео'*+С,е»*, т.
е. у С,+С,е»". для нахов»живя искомого частного решения нужно определить значения постоянных С, и Сг. Подставив в общее решение значения х=0, у=1, получим 1=С,+Сг. Продифференлнровав общее решение и подставив в полученное выражеу 5». ние значения х=0, — = -1, имеем — =5С,е»*; -! =5С». Отсюда находим: 1/х ' 1»х Сг=-1/5, С, 1 — С,=б/5. Таким образом, искомое частное решение имеет вид у=б/5 — (1/5)е»*. ° 46. Решить уравнение — 8 — +16У=О. 1/х 5/х О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: гг-82+16=0; г,=г,=4. Характеристическое уравнение имеет равные действительные корни; по»тому согласно формуле (15.4) общее решение данного дифференциального уравнения записывается в виде у=(С,+С,х)е»*.
° 4 7. Найти частное решение уравнения у +8у'+16У=О, есди у=1 н у'=1 при х=О. О Так как характеристическое уравнение г'+8г+16=0 имеет равные действительные корни г,=г,=-4, то общее решение данного дифферен- циального уравнения записывается в виде у=(С,+С,х)е»"=С,е»" +С,хе»*, Дифференцируя общее решение, имеем у'=-4С,е»*+С е "* — 4С,хе "*. Подставив начальные данные в выражения для у и у', получим систему уравнений 1=С,ее+С 0 ео (! =С», 1»» — 4С»ео+Сгео — 4С» 0 ео )1= — 4С,+С, откуда С, =1 и С,=5.
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у=е»*+5хе»" йг 48. Репппь уравнение у»-бу'+25У=О. О Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: гг-бг+25 0; г,=3+41, г»=З вЂ” 4» здесь п=З, 8=4. Так как.гаРактеРистнческое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня, то общее реше»ше дифференциального уравнения согласно формуле (!5.5) записывается в виде у=ег*(С,соз4х+Сгз»п4х).
° 49. Найти частное решение уравнения у" — бу'+13=0, если у=1 и у'=5 при х=О. О Поскольку характеристическое уравнение гг-бг+13=0 имеет комплексно-сопряженные корин г,=3+21 и г»=З-26 общее решение данного дифференциального уравнения записывается так: у =е»* (С, со» 2х+ Сг зш 2х). д ифференцируя общее решение имеем у'= Зе»*(С, соз 2х+ Сг ма 2х)+е»" (-2С, йп 2х+ 2С» соз 2х) = = е»* (ЗС, сог 2х+ 3 Сг 51п 2х — 2С, ап 2х+ 2С, соз 2х) = = е»" БЗС, + 2С») соз 2х+ (ЗС» — 2С,) ил 2х).
Подставим теперь начальные данные в выражения для у и у'. 1= '(С, О+С»а(ло), 5 ео 1(ЗС» + 2С») со»О+(ЗСг 2С») з1п О), (5 = ЗС»+ 2Сг откуда С, =1 и С,=1. Таким образом, искомое частное решение имеет вшг у=с»*(соз2х+з»п2х). ° Решите уравнения: сгг 50 !) У.! у — 6У=О; 2) у"-8у'+15У=О; 3) у" +5у'+6=0. 5/хг»/х 51. 1) — 9 У=О; 2) — +3 У=О; 3) — — =О. ~2 4 /г 1 /2 / /х»,У ' 0 2 1 ' /хг 4к 5/'у 52 У 1) — — 9У=О; 2) — — !6У=О; 3) — 2 У=Π— 2- — *,/ г 53.
Найдите частные решения уравнений: 5/гу 5/у 1) — — 1=0; У=2 и — =0 при х=О; гу ~у /у 2) — 2 У-ЗУ=О; У=8 и — =0 при х=О; ,/, г 42 3) — + — 20=0; у — и — =0 нри,х= . — — у —, =о. ,/хг 42 ' 5 4х 54. Решите уравнения: /2 !) 5» У вЂ” 61/у+9У=01 2) У +2У +У=О; 3) у" +10у'+25У=О. 55. Найдите частные решения уравнений: 1) у" — 10у'+25У=О; у=2 и у'=8 при х=О; 2) у"+бу'+9У=О; У=1 и у'=2 при х=О. 56. Решите уравнения: 1) у"+9У=О; 2) — 2 — +5У=О; 3) у +4у'+7У=О. 51 у с»у 5/хг»/х 57. Найдите частные решения уравнений 255 1) у"+9У=О; у=1 н у'=-6 при х=н/3; 2) у"-4у'+5у О; у=1 и у'= — 1 цри х=О.
б б. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ Найдите частные решения дифференциальных уравнений: 58. й-хс(бгй=О; э=2 при г=п(2. 59. (1-У)г!х+(1+х)г(У=О; У=З при х=1. 60. (1-х')с(у=хуггх; у=1 при х=О. 61. х~е(у+(х — 1)уггх=О; У=1 при х=1. лу 62. — - 2у -4 = О; у = — 1 при х = О. 4х г!у ! 63. — +у= — „,' у=5 при х=О. г(х е* и'г ! й й 64. —,=-- —; к=2 и — =1 при 1=1. й' гй' й лпу Ау г!у 65.
— +2 — ЗУ=О; у=4 и — = — 4 при х=О. ьг г ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Глава 16 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ б 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ Группы, составленные нз каких-либо элементов, называются соединениями. Различают три основных вида соединений; размещения, перестановки и сочетания.
Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются хомбинаторпымп. Раздел математики, занимающийся их решением, называется ксмбипаторпксй. 1. Размещеняя. Размещениями из л элементов по гп в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком нк расположения. Число размещений из и элементов по т обозначается символом А„" и вычнсляетсн по формуле А„"-п(л — !)(и — 2) ... [и — (гп — !)).
(!6.1) 2. Перестановки. )Уереспгаповкамк из и элементов называются такие соединения из всех п элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов. Число перестановок из л элементов обозначается символом Рм Перестановки представляют частный случай размещений из п элементов по и в каждом, т. е. 1 вариант П вариант Р„= А„"= л (л — 1) (п — 2) ...3.2. ! Найдите частные решения диф- ференциальных уравнений: 1) 4ху 4х=(хг+ !) «(у; у=4 при х=!. 2) у'+4у — 2=0; у=1,5 при х=0. Найдите частные решения диф- ференциальных уравнений: 1) (х'+1)г(у=луг(х; у=2 при х= /3. 2)у'=4У-2; у=1,5 при х=0. г(гг 3) — бе+8; э=12 и — — -5 Агг й или Агу Ау 4) — — — 2у=о; Ах' г(х Ау У=З и — =0 прн х=0. г(х г( у г(у 5) — 6 — +13=0; Ахг ггх г(у У=З и — =! ! при х=0.
г(х АР С"„= — ", Р„' (16.6) 256 ,!гг 3) — =бе — 4; г=5 и й' й — бпри г 2. й А'у 4у 4) — + — бу= 0; г(хг Фх Ау У=5 и — =0 прн х=О. Ах Ау 5) — — 4 — +13 0; Ахг Ах Ау у 2 и — =1 при х О. Ах Р„=! 2 3...(п — 1)и. (16.2) Число всех перестановок нз и элементов равно произведению последовательных чисел от ! до л включительно. Произведение ! 2 3... (л — 1)л обозначагот символом и!.(читается «п-факториалэ), причем полагают 01=1, 11=!. Поэтому равенство (!6.2) можно переписать в виде Р„=п!. (16.3) Используя формулу (16.3), формуле (!6.1) можно придать вид Р„ л! (16.4) Р (и — гп)! При решении задач часто используется равенство А„"~ ' =(л — пг) А„". (16.5) 3. Сочетаивя, Сочетаниями из и элементов по гп в каждом назьгваются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из и элементов по гя обозначается С„. Оно находится по формуле которую можно записать также в виде !7 — 3!62 и! СР= т!(и-ш)! (16.7) п(п — 1) ... (и — (т — 1)1 (16.8) Кроме того, прп решении задач используются следующие формулы, выраипкппие основные свойства сочетаний: С„=С"„" (0<т~п) (16.9) (по определению полагают С„"! и Сп=1); С"„+С„"' =С„,'. (! 6.!О) О Согласно формуле (16.1), получим: 1) А4ю=10'9'8'7=5040! 2) А„"+2 — — (и+4)(п+3) ... (и+4-(и — 2 — 1)) =(и+4)(п+3) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
