Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 47
Текст из файла (страница 47)
О П А — событие, состоящее в том, что наудачу взятое число О усть иВ кратно 3, а  — в том, что оно кратно 5. Найдем Р(А+В). Так как А и совместные события, то воспользуемся формулой (16.14): Р(А+ В) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ). Всего имеется 90 двузначных чисел: !О, !1, ..., 98, 99. Из вих 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события А); 18 — кратнымн 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6 — кратнымп одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению собмтия АВ). Таким образом, Р(А)=30/90 1/3, Р(В)=18/90 1/5, Р(АВ)=6/90=1/15, т. е.
Р(А+В) 1/3+1/5 — 1/!5=7/15=0,467. й! 40, В юникс в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной. 263 41. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих н 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным нлн красным. 42. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5„либо тому н другому одновременно. 8 4. ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема умножения вероатяостей везаввсииых событий. Вероятность совместного появления лвух независимых собьпий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) =Р(А) Р(В). (16.18) Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле Р(А,А,...А„)=Р(А,).Р(А,)...Р(А„).
(!6.19) Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Ввроянтоонь совместного появления двух завигзгмых событий равна нроизведению одного из ннх на условную вероятность второго.' Р(АВ)=Р(А).Р„(В)=Р(В) Р,(А). (16.20) 43. В одной урне находятся 4 белых н 8 черных шаров, в другой — 3 белых н 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. О Пусть А — появление белого шара из первой урны, а  — появление белого шара из второй урны. Очевидно, что собьпня А и В независимы.
Найдем Р(А)=4/12=1/3, Р(В)=3/12=!/4. По формуле (16.!8) получим Р(АВ)=Р(А) Р(В)=(1/3) (!/4)=!/!2=0083. ® 44. В ящике находится 12 деталей, нз которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. О Введем следующие обозначения: А — первая взятая деталь стандартная;  — вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, сосгааяяет Р(А) = 8/1 2 = 2/3.
Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стаидартной перваа деталь, т. е. условная вероятность события В, равна Рл(В)=7/11, Вероятность того, что обе детали окажутся стапцартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий; Р(АВ) = Р(А) Рл(В) =(2/3) (7/1 1) = !4/33=0424. ° 45.
Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата зта вероятность равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один нз автоматов не потребует внимания рабочего. 46. В урне находятся 6 шаров, нз которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми. 47.
В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что трн наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными. 8 5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА Пусть события (гипотезы) В„Вз, ..., В„образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например Вь событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Рв(А). Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А; Р(А)=Р(В~)'Рк(А)+Р(Вг) Р (А)+...+Р(В„)'Р (А), (!62!) где Р(В,)+Р(В )+...-1-Р(В)=1, Формула (1621) называется формулой полной вероятности.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В,, Вз, ..., В„, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быль переоценены по формуле Байеса (формуле вероятности гинотез): Рл(В,) Р,(А) Рл (Ю л (16.22) где Р„(В,) — вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило собьпие А; Р (А) — условная вероятность события А после наступления события Вь а Р(А) находится по формуле полной вероятности (! 6.2!).
48. На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от нх общего количества, на втором — 35% н на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором — 80% н на третьем — 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта? О Введем следующие обозначения: В, †дета изготовлена на первом станке, Вз — на втором станке и Вз — на третьем стапке; событие А †дета оказалась первого сорта. Из условия следует, что Р(В,)=0 4, Р(В,)=0,35, Р(В,)=0,25, Ра (А)=0,9, Рв (А)=0,8 и Рв (А)=0,7. Следовательно, Р(А)=Р(Вз)'Рв (А)+Р(Вз) Ра (А)+Р(Вз).рв (А)= =04 09+0,35 0,8+0,25 0,7=0,815. Э 49.
В первом ящике имеются 8 белых н 6 черных шаров, а во втором — 10 белых н 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар, Известно, что вынутый шар — черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик. О Введем обозначения: В, — был выбран первый ящик; Вз — был выбран второй ящик; А — при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут черный шар. Тогда Р(В,)=1/2, Р(Вз)=1/2. Вероатносп извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет Р (А)=6/14=3/7.
Вероятность извлечения черного шара после того, как аыббаи второй ящик, равна Ра (А)=4/14=2/7. 1 265 По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался черным: Р(А)=Р(в>).Р, (л)+Р(в,) Р, (А)=(!/2) (3/7)+(!/2) (г/7)=5П4. Искомая вероятность того, что черный шар был вынут из первого ящика, вычисляется по формуле Байеса: Р >В,> — ' —  — -=О.б. ° Р(В>) Р (А) (!/2) (3/7) 3 Р(А) 5/14 5 50. В урну, содержащую три шара, положили белый шар, после чего из нее наугад вынули один шар.
Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым,' если ' все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету) равно- возможны. 51. В ящике сложены детали: 16 деталей с первого участка, 24 — со второго и 20 — с третьего. Вероятность того, что деталь, изготовленная на втором участке, отличного качества, равна 0,6, а для деталей, изготовленных на первом и третьем участках, вероятности равны 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества. 52. На двух автоматах производятся одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер.
Производительность первого автомата втрое больше производительности второго. Первый автомат в среднем производит 80% деталей первого сорта, а второй †9. Взятая наудачу с конвейера-деталь оказалась первого сорта. Найдвте вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом. 53. Имеются три партии деталей по 30 шт. в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй н третьей партиях соответственно равно 30, 25 и 20. Из произвольно выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной.
Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали были извлечень! из третьей партии, 8 б> ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИИ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются лезаолсимыми относительно собьтгия А, Вероятность того, что в л независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события /! равна р (где 0<р< 1), событие 4 наступит ровно /с рвз (безразлично, в какбй последовательности), находится по формуле Бернулли: РЯ= р>Ч" "=С~р"Ч' >, где д=! — р.
(16.23) л! /с! (л — /с)! 54. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах. (7 Здесь л=б, «=4, р=0,8, 4=0,2. По формуле Бернулли находич> б! Р (4) = (0,8)л '(0,2)" (0,2)е ~ = — (0,8) (0,2) =0,24б. й! 4!(б — 4)! ' ' 4!2! 55. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найдите вероятность трех попаданий пря четырех выстрелах.
56. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет три? 57. Прн обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают, с дефектами. Какова вероятность того, что каждые две детали из 30 взятых на проверку окажутся с дефектами? 8 '7. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 55. Решите уравнения. 1) — '=110; 2) — '=42; (л+ 2)! (/с+ !)! л! ' (/с — 1)! 3) 8Сз~+>— - 5С$л(з' 4) 13С$л =8Съ+>' 5) С,з= — С,",сз. !5 (л — 1)! (л — 1)! 59.
Решите неравенства: 1) <20; 2),,'>30. (л — 3)! ' (л - 3)! 60. Число сочетаний из л злемеатов по 4 относится к числу сочетаний яз л+2 элементов по 5, как 5:18. Найдите и. 61. В ящике находятся 6 белых и 1О черных шаров. Наудачу вынимают одновременно два шара. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся черными. 62. В урне находятся 6 белых и 4 черных шара. Вынимают один за другим два шара. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся черными. 63. В урне находятся 15 белых и б черных шаров. Из нее вынимают наугад один шар, снова возвращают его в урну я шары перемешивают. Затем вынвмиот второй шар.
Найдите вероятность, что оба вынутых шара белые. 64. В первой урне находятся 10 белых и 2 черных шара, а во второй — 4 белых и 8 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? 65. На отдельных карточках написаны буквы «ю>, «л», «о», «е», ссч». После перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Вычислите вероятность того, что из этих букв составится слово «число». 66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
