Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В! 2 ' о 2 1= — 9+ (5/3) хс — 3+ (5/3) ус , 2= 1+ 5/3 ' 1+ 5/3 откуда хс — — 7, ус=5, т.е. С(7; 5). ° 56. Вычислите координаты точки С вЂ” середины отрезка АВ, если: 1) А(5; — 4) и В( — 1; 2); 2) А(6; — 3) и В(-2; -7). 57. Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:5 (от А к В).
Концами отрезка служат точки А(2! 3) и В(10; 11). Найдите точку С. 58. Отрезок, концами которого служат точки А(3; — 2) и В(10; — 9), делится точкой С в отношении 2:5. Найдите точку С. 59. Отрезок, концами которого служат точки А(-5; — 2) и В(4; 2,5), разделен в отношении 3:4:2 от А к В.
Найдите точки деления. 60. Концом отрезка служит точка А( — 3; — 5), а его серединой — точка С(3; -2). Найдите второй конец отрезка — точку В. 61. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки: 1) А(7; — 4), В(-1; 8) и С(-12; — 1); 2) А(-4; 2), В(2; б) н С(0; — 2). 62. Концами отрезка служат точки А ( — 8; — 5) и В(10; 4). Найдите точки С и Ю, делящие этот отрезок на три равные части. 63.
Точка С(З; 5) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=З:4. Найдите начало отрезка — точку А, если его концом служит точка В( — 1; 1). 64. Точка С(-2; 1) делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=2:1. Найдите конец отрезка — точку В, если его началом служит точка А( — 10; 5).
65. Отрезок задан точками А( — 4; 7) и В( — 3; 5). Найдите на продолжении отрезка АВ такую точку С, чтобы АВ:ВС=1:7. 66. Отрезок задан точками А( — 5; — 2) и В(-1; О). До какой точки С нужно его продолжить, чтобы АВ:ВС=2:5? б 6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла мехщу ними. Скалярное произведение векторов а и Б обозначается символом а Ь. Таким образом, по определению, а Ь=! а !.!Б! сов(а, Б).
(17.!2) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному иа проекцию другого вектора по направлению первого: а Ь=! а /пр;,Ь=! Ь ! прхаТ (17.13) Скалярным квадрмиам вектора а называется скалярное произведение а а. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а а=а' (!7.14) Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов а и Б является равенство нулю ах, скалярного произведения: 279 (атгО, БтьО, а .Ь 0) чьалй (17.15) Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов а и Ь состоит в выполнении соотношения а Ь= х! а | |Ь ! (17.16) (при этом знак плюс соответствует случаю аЦБ, а знак минус — слу аю а!1Б).
— ч Скалярное произведение векторов а (х,;у,) и Ь(х /уг) выражается через их координаты по формуле а Ь=х,хг+у,у,. (!7.17) Угол между двумя векторами а=(х„у,) и Ь (х; у,) находится по формуле (17.181 280 Л„ х,х, +у/уз ч/""~+у~ь/хг+уг /г г/г г' Из этой формулы следует, что если векторы а и Ь перпендикулярны, то х,хг+у,у,=О. (17.19) -Л- 67. Векторы а и Ь образуют угол (а, Ь)=60'. Зная, что |а |=6, |Ь )=3, вычислить (2а+Ь) (2а-ЗЬ ). О Используя формулы (17,!2) и 117.14), получим (2а аЬБ) (2а-ЗЬ)=4гг- — 6 |а||БЗ соз60"+2|а!!Б|соз60'-Зьз= ,1,6г 6.6.3.05+2 6.3,05 3,3г 81 68. Най~и скалярное произведение векторов а=( — 3; 2) и 'Ь =(4; 3).
О По формуле (17,17) получим а Б=(-3) 4+2 3= -6. ф 69. Вычислить угол между векторами а=( — 4; 3) и Ь=(3; -4). О По формуле (17.18) находим Пà — 4ГЗ+3 (-Ч П а — 0 36; я Е-ьз;г. ° (| ~гт~ур,~г'Ч-т тг.пр г ...р л т р р: Ч -(-г;г! Б=(4; 6); 2) с=(3/4; — 1/5) и а=(4/3; 5); 3) р=( — 2; 5) и /7 =(3; 1). О По формуле (17.19) находим: 1) а Ь=( — 3) 442 6=0, т.
е аАЬ; 2) с Ы= 3/4) (4/3) + (- 1/5) 5 = О, т. е. с Ь7; 3) р 9= — 2) 3+5 1= — ! тгО, т. е. рЩ ф 71. Найти работу силы Г на перемещении з, если | 7 |=3, |з |=8 и (Р, з)=60'. -Л О Работа А вычисляется по формуле А=В г= |р! |г ! соз(р, г), где Р— вектор действующей силы, г — вектор пути. Имеем А=З 8 соз60' =12(ед. работы). ф 72. Векторы а и Ь образуют угол 120'. Зная, что |а |=4, |Ь !=5, вычислите (2а — ЗЬ)г.
73. Векторы а и Ь образуют угол 150'. Зная, что |а |=2, |Ь!=3, вычислите (а+ Ь) 4а. 74. Найдите скалярное произведение векторов: 1) а=(2; 4) и Ь=(4; 1); 2) с=(1/2; 2/5) и а=(2/3; 5/6). 75. Даны точки А( — 2; 4), В(3 — 6), С(4; — 2) и /3(1; 5). Вычислите скалярное произведение АВ. С/7. 76. Найдите скалярное произведение векторов: 1) й= — 2Б+ 5т и Ь=З/' — 4/'; 2) АВ и ВС, если А(1; 3), В( — 2; — 4) и С(4; — 3).
77. Вычислите угол между векторами АВ и СК если А(3; 1), В(7; 4), С(3; 2) и /3(6; 6). 78. Найдите косинус угла между векторами а+Б и й — Б, если а=(2; 3) и Ь (1; 1). 79. Проверьте, перпендикулярны ли векторы: 1) а=( — 3; 5) и Ь=(5; 3); 2) с=(2; — 4) и тт'=(-4; — 2); 3) р=( — 3; — 4) и д=(5; 11. 80. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы вектор а+Ь был перпендикулярен вектору а — Ь? 81. Вычислите работу, производимую силой Г=(2; — 1), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М(1; — 2) в положение Л/(5; — 5). б 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 1. Параллельный перенос осей координат.
Пусть имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены. Тогда между координатами одной и той же точки в этих системах имеет место зависимость х=х +х, у=у,+ум (17.20) где х и у †координа точки в исходной системе; х, и у, — ее координаты в новой системе; х, и у †координа нового начала О, относительно исходной системы (рнс. 1151. 2, Преобразование координат ври повороте осей без взмевевня начала координат. Пусть х и у †исходн координаты, а †уг поворота, х, и у, †координа той же точки в новой, повернутой системе координат (рис.
116). Тогда х=х,соза — у,нпа, у=х,ила+у,соза (1 7.21) 117.22) х, =хсога+унпа, у,= — хипа+усова. 82. Координаты точки в новой системе х,=З и у,= — 1, а координаты нового начала при сохранении направления осей хо=2 и ус= — 3. Найти координаты точки в исходной системе. й /хе.'уг! хг Ь х Рис. 115 Рис. ! 16 281 О Па формулам (17.20) получим х=х,+хо=3+2=5, у=у,+уо — — -1+( — 3)= — 4.
° 83, Координаты точки в исходной системе х= — 4 и у=2, а координаты нового начала при сохранении направления осей ха=3 и уо —— — 1. Найти координаты точки в новой системе координат. О Па формулам (17.20) находим х,=х-хо= -4 3=-7 у~ =у уо=2 — ( — 1)=З ° 84. Относительно двух систем координат хОу и х,О,у„имеющих одно и то же направление осей, известны координаты некоторой точки: ( — 2; 3) и ( — 7; б).
Найти координаты начала каждой из этих систем относительно другой, О Полагая х= — 2, у=з л х, = — 7, у, =6, ла формулам (17.20) получим -2= -7+ха, 3=6+уа, т. е. ха=5, уа — — — 3. Координаты нового начала в системе хОу тахавы: 0(5; — 3). Поменяв местами х я х,, у л у, в формулах (17.20), получим -7= — 2+хая 6=3+уоа т. е. ха,= — 5, уг,=з. Координаты нового начала в системе х,О,у, таковы: 0,( — 5; 3). ° 85. Дана точка М(-2 /3; 4). Найти координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол 60' без изменения начала координат. О Па формулам (17.22) получим х,= -2,/Зсаз60'+4з(п60', у, =2 /Ззш60'+4саз60', т.
е. х,= /3, у,=5. ° 86. В системе, повернутой относительно исходной на угол 45', дана точка ( — 2; 4). Найти координаты этой точки относительно исходной системы. О Па формулам (17.21) получим х = — 2 саз 45' — 4 ош 45', у = — 2 пп 45 + 4 сиз 45', ..
х=-з,/2, у=,/г. Е 87. Координаты точки в новой системе х,= -2 и у,=4. Найдите координаты этой точки в исходной системе, если при сохранении наппавления осей начало координат перенесено в точку: 1) ( — 3; 5); 2) (4; -2); 3) (-1; -3); 4) (2; 1). 88. Координаты точки в исходной системе х=,— 2 и у=-3. Найдите координаты этой точки в вовой системе, если прн сохРанении направления осей начало координат перенесено в точку: ц (з; г); 2) ( — з; 2); з) (з; -г); 4) ( — з; — г). 89.
Относительно двух систем координат хОу и х,0,у„имеюпгих одно и то же направление осей, известны координаты некоторой точки: ( — 4; 7) н (-8; 3). Найдите координаты начала каждой нз этих систем относительно другой. 282 90. Две системы координат имеют одинаковое направление осей. Первая система координат относительно второй имеет начало в точке ( — 3; 5). Найдите координаты' начала второй системы относительно первой. 91. Дана точка М(х; у). Как изменятся координаты этой точки, если за ось абсцисс принять ось ординат н за ось ординат — ось абсцисс? 92. Дана точка А(4; -2). Найдите координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол: 1) 45'1 2) 30'. 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
