Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 53
Текст из файла (страница 53)
П . Прямая, проходящая через точку ( — 5; 1), отсекает иа оси О отрезок Ь=б. Составить уравнение этой прямой. У нве 18.9 коо н 13 Исхомая прямая пересекает ось Оу в точке (О; 6). Подставив в р ( . ) ордннаты точек А (-5; !) л В(0; 6), получим лсхомое уравнение у авне- 6-1 у — 1= — (х+5), илн х — у+6=0. ф О+5 51. С . Составить уравнение прямои, проходящей через точки А (2; -3) и В( — 1; 4). О По условию, хл —— 2, хв= — 1, ул = — 3 л уз=4. Подставив зтн значения в уравнение (18.9), получим 4+3 у+3= — (х-2), нлл 7х+Зу — 5=0.
° 8 6.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Если даны две пересекающиеся прямые А,х+В,у+ С, =0 н Азх+Взу+ +Се=0, то для вычяслення координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых. 61. Найти точку пересечения прямых Зх-4у+11=0 и 4х — у-7=0. О Решив систему уравнений Зх — 4у+ 11 О, 4х †у †, получим х = 3 в у= 5, Следовательно, (3; 5) — точка пересечения этих прямых. ° 62. Даны уравнения сторон треугольника: х+Зу — 3=0, Зх— 11У-29 =0 н Зх-у+ 11 =О.
Найти вершины этого треугольника. О Для вычисления координат вершин треугольника необходимо решить трл системы уравнений: ( Зх-11у-29=0, Зх-у+ ! ! =0; х+Зу-3 О, Зх- ! !у-29= 0; Зх — у+11=О, х+ЗУ-З=О. Решение первой системы х=б, у= — 1, второй х= — 5, у= — 4 и третьей х= — 3, у = 2. Следовятелъно, вершннамн треугольника служат точки (6; -1), ( — 5; — 4) л ( — 3; 2). ° 63. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору й=(4! -3) и проходящей через точку пересечения прямых х+11у— -27=0 и бх-7у-16=0.
55. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки: 1) А ( — 1; — 1) и В ( -2; — 2); 2) А (3; 0) н В (О; 4). 56. Составьте уравнения сторон треугольника, вершинами которого служат точки: 1) А (-3; -2), В (1; 5) и С (8; -4); 2) (-1; -3), (3; 5) и (4; 0). 57. 1) Треугольник задан вершинами А ( — 3; 4), В ( — 4; -3) и С(8; 1). Составьте уравнение медианы А/3. 2) Треугольншс задан вершинами А (2; 5), В ( — б; -4) и С(б; — 3). Составьте уравнение медианы Взу.
58. Найдите угол наклона к оси Ох прямой, проходящей через точки А ( — 3; -3) и В(2; 1). 59. 1) Прямая проходит через точки А ( — 1; — б) и. В(7; 2). Найдите отрезки, отсскаемые этой прямой на осях Ох н Оу. 2) Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через положения А (12; — 1) и В (3; 2). В какой точке она пересечет ось Оу7 60. 1) Прямая, проходящая через точку ( — 4; — 1), пересекает ось Оу в точке (О; 3). Составьте уравнение этой прямой. 2) Прямая, проходящая через точку ( — 2; 4), отсекает на осн Ох отрезок а=2. Составьте уравнение этой прямой.
295 О Находим точку М, пересечения ланных прямых: ( х+11у — 27=0, еь(к=5, у=2); Мт (5; 2). — + Составив скалярное произведение векторов л=(4; — 3) н М,М = =(х — 5; у-2) в координатной форме н производя упрощения, получаем искомое уравнение: й МтМ =(4; -3)(х — 5; у — 2)=Оеь4(х — 5) — 3(у — 2)=О<ь4х — Зу — !4=0. ° 64. Найдите точки пересечейия прямых: 1) у=Зх и х+у+4=0; 2) х — 2у — 8=0 и х+у — 2=0.
65. Найдите вершины треугольника, если его стороны заданы уравнениями: 1) 4х+Зу+20=0, бх-7у — 16=0 и х-5у+ 5=0; 2) 7х+ +Зу-25=0, 2х — 7у — 15=0 и 9х — 4у+15=0. 66. Составьте уравнение прямой, перпендикулярной данному вектору и проходящей через точку пересечения данных прямых: 1) л=( — 3; 2), 2х+Зу — 17=0, х+у — 6=0; 2) й=(-4; -э/; Зх+у-10=0, 2х+у — 6=0. 8 7. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ Угол тр между двумя прямыми, заданными общимн уравнениями А,х+ +Вту+Ст=О и Азх+Взу+Сз=О, вычисляется цо формуле А,А2+ВтВ2 соз Чт= /А 2+ Вх,/А'+ В' Угол.тр между двумя прямыми, халявными уравнениями с угловыми коэффициентами у=/ттх+Ьт и у482х+Ьх, вычисляется по формуле /22 — /ст 18 ту= (18.12) 1+82/гт' Угол тр между двумя прямымн, заданнымн каноническими уравнениями (х — хт)/лтт=(г-ут)/ит и (х — хз)/таз=(у — уз)/л„вычисляется по формуле соз тг= лтттз+ л,лз (18.13) /щ2+л2 /мз+лз Формулы (18,11) — (18.13) определяют значение тригонометрической функции одного из двух 1тлов (острого нли тупого) между заданными прямыми.
Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю. 67. Найти острый угол между прямыми у= 5х и у = 2х (рис. 126). О Угловые коэффициенты данных прямых равны 5 и 2. Воспользуемся формулой (!8.12), причем ее правую часть берем по модулю: 2-5 3 татр= = — =0,273; там!5,3. ° !+2 5 11 Рис. !26 Рис.
127 6 8. Найти острый угол между прямыми 5х — 12у-16=0 и Зх+4у — 12=0. О По формуле (18.11) находим соз ту= 53 — 124 33 - 33 — ф = ассов — ге 59,5. ° ~'+Т:БГ .тт'+"~ 69. Найти острый угол между прямыми (х-5)/(-24)=(у-2)/7 и (х+4)/8=(у — 3)/15. О По формуле (18.13) находим ! -24 8+7 15 ~ 87 87 сох 9 —; тр=атссоз — м78*,2. Ф 2Т)т т тт Ду ) т25 т25 70. Дан треугольник с вершинами А (-6; — 1), В (4; 6) и С (2; 1). Найти внутренние углы этого треугольника. О Находим угловые коэффициенты сторон этого треугольника: уе — ул 6 — ( — 1) 7 ус — ув 1 — 6 5 /222 = — /Гхе= хв-хл 4 — (-6) 10' .
хс — хя 2 — 4 2 у — ус — 1 — ! ! /сел = — = х„ †— б — 2 4' Найдем углы треугольника: /слв-йсл 7/10-1/4 1+ йла/сел 1+ (7/1О) (1/4) Л Ь -К. 5/2-7/10 Л 2 1+/свс/схв 1+ (5/2) '(7/10) /гас -/сел 5/2- 1/4 !+Ь„8„1+ (5Д) (1/4) Складывая найденные значения ут лов, получим 21'+ 33',2+ 54',2= 108',4. Сумма углов треугольника оказалась меньше 180' потому, что при вычислении был найден ие внутренний угол треугольника, а внешний, смехсный с ним, Построением убедимся в том, что угол С является тупым 297 (рнс.!27); он равен 180' — 54',2=125,8, Тогда сумма этлов треугольника составят 2!'+33',2+ 125',8= 180'. Не обращаясь х построению треугольника, легко показать, что один ю углов данного треугольника тупой.
Вычислим длины сторон треугольяяха: В )(-б-бб) ) ++((--б б — бб) ) Сббб ВС С(б — В) б(б б),бб, бс-с(-б-бГ (-б-б)'= )и. Известно, что если в треугольявке квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух другнк сторон, то этот треугольняк тулоугольный. Так как АВ2>ВС2+АС2, то сторона АВ лежит против тупого угла. ° 71. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; 3) и образующей с прямой 2х — у — 1=0 угол а!с!8 (4/3). О Очевидно, что задача имеет два решения, так хак угловой коэффициент данной прямой в формуле (18.12) может быть равным н /с,, я /св.
1) 12=2; !8 асс!8-)= —, влн -= —. Решив это трави 4 ( Ф~ — 2 4 Ав-2 получим /св=-2. Искомое уравнение имеет вяд у-3=-2(х-2), вля 2х+у — 7=0. 4'1 2 2) /с2=2; !8 агс!8- != —, откуда /с = —; таким образом, 3/ !+2/с(' 11 азом, имеем 2 у-3= — (х — 2), нля 2х — !!у+29=0. ° 1! 72.
Треугольник задан вершинами А (2; — 1), В ( — 7; 3) и С( — 1; -5). Составить уравнение биссектрисы угла С. О Найдем точку М пересечения биссектрисы угла С со стороной АВ. Известно, что биссектриса угла треугольника делит вротяволежащую сторону на части, пропорциональные длинам прилежащих сторон треуголь- б=ВМ:Мб-СВ:С)б. В, СВ=мм(:Т'В' координаты точки М: -7+2 2 3+2( — 1) 1 у 1бб 1+2 1+2 3' 1, '3,~ Абсциссы точек С я М равны, следовательно, биссектриса угла С паравлельна осн Оу: хвв — 1 яли х+1=0.
° 73. Найдите острый угол между прямыми: 1) у=Зх и у= — х/ 2) 2х-Зу+6=0 и Зх — у — 3=0; 3) х/5+у/2=1 и х/3+у/4=1; 4) Зх+4у — 12=0 и 15х — 8у — 45=0. 74. Найдите острый угол между прямыми (х — !)/5=(у — 4)/12 и (х+ 3)/3 = (у+ 2)/4. 75. Н " 5. Найдите внутренние углы треугольника, если его стороны заданы уравнениями: 1) 7х+4у+9=0, х-8у+27=0 и 2х — у-6=0; 2) бх — у+13=0, Зх+7у-1=0 и Зх-8у — 31=0; 3) Зх — 2у — 1=0, 5х+4у-31=0 и х-8у — 15=0. 76. Н " . Найдите острый угол между двумя прямыми, если: 1) первая из них проходит через точки А, (4; 2) и В, (1; -7), а вторая — ' 298 через точки А2 (-1; 3) и В2 (8; б); 2) первая проходит через точки А2 ( — б; 7) и В, (2; -5), а вторая — через точки А2 (-5; 2) и В2 (11 1). 77.
Найдите острый угол между двумя прямыми, имеющими общую точку М (-2; — 1), если первая из них проходит через точку А (3; 3), а вторая — через точку В (3; — 2). 78. Найдите внутренние углы треугольника, если его вершинами служат точки: 1) А (-б; — 3), В (6; 7) и С (2; — 1); 2) А (О; 4), В (4; -2) и С (-4; —,. 2). 79.
Дан треугольник с вершинами А (б; 8), В (2; -4) и С (-6; 4). Найдите угол между стороной АВ и медианой, проведенной нз вершины А. 80. Найдите острый угол между: 1) прямой Зх+2у+4=0 и прямой, проходящей через точки А (4; -3) и В(2; — 2); 2) прямой х+ 2у — 4 = 0 и прямой, проходящей через точки А (1; 5) и В( — 4; 3). 81. Найдите острый угол между двумя прямыми, проходящими через начало координат и через точки, которыми отрезок прямой х+ Зу-9 = О, заключенный между осями координат, делится в отношении 1: 3: 2 в направлении от точки его пересечения с осью Ох к точке пересечения с осью Оу. 82. Найцнте острый угол между двумя прямыми, проходщцими через точку С(8; 7) и через точки, которыми отрезок прямой Зх+2у-18=0, заключенный между осями координат, делится на три равные части.
83. Найдите острый угол между двумя прямыми, проходящими через точку М(-б; -8) и через точки, которыми отрезок прямой 2х+у+10=0, заключенный между осями координат, делится в отношении 1: 2: 2 в направлении от точки пересечения его с осью Ох к точке пересечения с осью Оу.. 84. 1) Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку ( — 2; 5) и образующей с прямой Зх-у+4=0 угол агс!8 (1/7); 2) проходящей через начало координат, и образующей с прямой х-у+1=0 угол 45, Найдите точку пересечения этой прямой с данной. 85.
Две прямые, проходящие через начало координат, образуют между собой угол агс!8(1/3). Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно 2/7. Составьте уравнения этих прямых. 86. Две прямые, проходящие через начало координат, образуют между собой угол агс!8 (7/9). Отношение угловых коэффициентов этих прямых равно 9/2. Составьте уравнения этих прямых. 87. Треугольник задан вершинами А ( — б; — 2), В (4; 8) и С(2; — 10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
