Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Эта прямая, как известно, является серелинным перпендикуляром к отрезку АВ. ° 2. Найти множество точек на плоскости, удаленных от начала координат на расстояние г. О Из условия следует, что для любой точки М(х; у), принадлежащей искомому множеству, справедливо равенство ОМ=г, Так как ОМ= Искомое множество точек есть окружность с центром в начале координат и радиусом г (рис.
132). ° 3. Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки А(1; 0) н от прямой х=9 равно Х= 1/3. С! Из условия следует, что для любой точки М(х; у) искомого множества справедливо соотношение МА: МВ= 1/3 (рис. 133). Так как -,Юлгтг. =,б:эГ-~*- ~.- х 122 + 3 -'. — з„~$.— з — +, -~*-я. 1х — 91 3' Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, полу- чим 9(х — 1)з+9у~=1х — 9!', т.е.
8х +9у'=72, или х'/9+у /8=1. ° 4. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно- удаленных от точек А( — 4; 2) н В(б; — 8). 5. Составьте уравнение множества точек на плоскости, отстоюпих от точки А (6; 0) в 3 раза дальше, чем от точки В(2; 0). 6. Составьте уравнение множества точек на плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек А( — 6; 0) и В(6; 0) есть величина постоянная, равная 104. $2. ОКРУЖНОСТЬ Окружностью называется множество всех точек плоскости, у 1 т данной точки зтои плоскости, называемой цен ом. даленньк о ости, равноУрввнеиие окружности с центром в начале координат и радиусом г имеет вид хз+уз гз (19.1) ,(а; ) и радиусом г имеет Уравнение окружности с центром в точке 0 (а; Ь) (х — а) +(у — Ь)2 =гз.
Уравнение окружности в общем виде записывается твк: Ахз+Ауз+Вх+Су+Ю=О, (19.3) где А, В, С и  — постоянные коэффициенты. 17. Со ставить уравнение окружности с центром в точке (5; — 7) и проходящей через точку (2; — 3). О Найдем радиус окружности квк расстояние от центра до данной ее 306 координаты центра и найденную величину радиуса: (х — 5)'+(у+7)'=25. йв (19.2) 7. Сос ав кв т ьте уравнение множества точек на плоскости, с адратов расстояний которых от двух данных точек А(0; — 2) и умма В(0; 2) есть величина постоянная, равная 33. 8. Най ите д уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки А(3; О) и от прямой =12 9. Составьте уравнение траектории точки М, которая при своем движении по плоскости остается вдвое ближе к точке А(1; О), чем к прямой х=4.
!О. С оставьте уравнение множества точек на плоскости, каждая А(8' О). из которых находится вдвое ближе к прямой =2, х=, чем к точке 11. Найдите уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении по плоскости остается втрое ближе к прямой х=1, чем к точке А(9; О). 12. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно- удаленных от оси Ох и от точки А(0; -2). 13. С . Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно- удаленных от оси Оу и от точки А(3; О). 14.
Со . С ставьте уравнение множества точек на плоскости, равно- удаленных от: 1) прямой х=4 и точки А( — 2; 3); 2) ямой =-2 точки А(-3; 4). 15. Найдите уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А(2; — 1) равен квадрат расстояния от оси Ох. — к адрату 1б.
Найпчте рпч уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А( — 3; 4) равен удвоенному квадрату расстояния ее от оси Ох, Рис. 134 Рис. 135 18. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1), В(-2; б) и С( — 5; -3). О Пусть 0 (а; Ь) — центр искомой окружности; тогда О,А=О,В=О,С 1 2 2. квк радиусы одной и той же окружности.
Имеем О,А= (а-3) +(Ь вЂ” 1); О,В Д( У) Р(~-ЗГ; О,О=ОЬЬ+УГР(ЗЗРЗГ. О У уу пений относительно неизвестных а и Ь и решим ее: ( .Д(,— 1) (З-УГ-ОЬ ЗГ (1-1)' ,'( (— 1))(1 — ЗГ =,'( 1)' у(З 1)' 1 * ( =-2,Ь=1); 0,(-2;1). (га+Ь+3=0 Н -О В- У(1-~1) Р(З-ЗГ=У.С, ур пение окружности имеет вид (х+2)'+(у-1)'=25.
Ф 19. Составить уравнение окружности, касающенся оси абсцисс в точке А(З; О) и нмеющей радиус, равный б. О Пусть 0,(а; Ь) — центр окрузкности (рис. 134). Абсцисса точки касания и центра окружности одна и тв же (а=3). Найдем ординвту пентрв окружности Ь. (3 3)2+(Π— Ь)2=62; Ь= ~6, два центра; 0 (3( 6) и 02(3) .6) Отсюда получаем уравнения двух окружностей, удовлетворяющих данным условиям: (х — 3)'+(у-6)2 36 и (х — 3)2+(у+6)2 36. Э 20. Составить уравнение окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки А(4; 5) и В(18; -9).
О Пусть 0,(а; Ь) — центр искомой окружности (рис. 135). Проведем радиус в точку касания С(О; Ь). Радиус окружности г=а. Составим и решим систему уравнений: 20р 307 )à — з)'з)з — з)' )з'-зь-з ззз з Г) зз з з), з)'-ззГ+)ззз)з )з' ззз-зз зззз з )) =зз,з -З Следовательно, имеется два центра 0,(34; 2!) и Ог(!О; — 3) и два значения радиуса,г, =34 и гг = !О, т. с, условию задачи удовлетворяют две окружности: (х — 34)г+(у-2!)э=34 и (х — !О)г+(у+3) =!Ог. ° У 21. Составить уравнение ок- ружности, касающейся осей ко- В От=!В А(йг4) х ординат в проходящей через точку А(!В; — 4). О,(~П;-!б) 0 Центр искомой окружнос- Г) хуан ти, касающейся осей координат и проходящей через точку 1Ъ' координатного угла, имеет координаты О, (а; — а), где а>О, Радиус окружл.ггб. 34) ности г=а (рис.
!36). Следовательно, '):Щзз):з з)*- ф*-зз + /а= !О„ +340=0 Рис. !36 1 а=34. Таким образом, имеется два центра 0,(34; -34) и Ог(!О; — !О) и два значения радиуса г, =34 и гг — — 1О, т. с. условию задачи удовлетворяют две окружности; (х-34)г+(у+34) =34г н (х — !О)г+(г+ !О)г Рвг ° 22, Центр окружности находится в точке Ог( — 3; 1). Составить уравнение окружности, если она касается прямой 4х+Зу — 16=0, 0 Так как угловой коэффициент касательной Йз= — 4/3, то угловой коэффициент прямой О,А, перпендикулярной касательной (рис.
137), йг= 3/4. Поэтому уравнение прямой О,А имеет вид 3 у — ! = — (х+3), или Зх — 4у+13=0. 4 Решим систему 'уравнений ) ) 4х+Зу — !6=0, 'сь(х= 1, у=4); А(1; 4). з*~ °,-о,з-,л-з-зг+) -зг-з. с мое уравнение имеет вид (х+3)г+(у — !)э=25. ° 23. Найти координаты центра и радиус окружности хг+уг— -Вх-10у — 8=0. С) Перепишем данное уравнение в виде х'-Ох+уз — 10у=В. Дополнив двучлсны хг — Вх и уг-!Оу до полных квадратов, получим хг-2 4х+4г+уз 2,5у+5г=8+4г+5г или (х — 4)гну 5)г 49 откуда а= 4, Ь= 5, г= 7, т.
с. центр ояружности — точка (4; 5), а радиус равен 7. 24. Составьте уравнение окружности: 1) с центром в начале координат и радиусом, равным /3; 2) с центром в точке ( — 2; — 5) и радиусом„равным 3, Постройте эти окружности. 308 25. Составьте уравнение ок- У Г-;,' ужности: 1) с центром в точке — 1; 4) и проходящей через точку (3; 5); 2) с центром в точке (-3; 0) и проходящей ьЛ через точку (2; 4). С~ Фх+Ху-16 б 26, Составьте уравнение ок- У)Я ружносги, концы диаметра ко- х торой вмеют координаты: 1) 0; 3» и (б; -7) 2) ( -2; 3) и 2; 5». 27, Составьте уравнение окружности, диаметром которой Рис. !37 служит заключенный между осями координат отрезок прямой: 1) 4х+Зу-24=0; 2) 5 — у+40=0. 28. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке: 1) ( — 2; 3); 2) !3; — 5).
29. Найдите координаты точек пересечения окружвост хг+ +уг — Вх — 2у — 8=0 и прямой 4х+Зу — 19=0. 30. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки: 1) (2; 8), (4; — 6) и ( — 12; - 6); 2) '(-2; - 6), ( - 3; 1) и (4; 2). 31. Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого лежат на прямых: 1) х — у+4=0, Зх+у— — 16=0 и х+2у — 2=0; 2) 2х — у+2=0, х-Зу — !4=0 и х+у-2=0; 3) 4х — Зу-17=0, 7х+у — 61=0 и х — 7у-73=0. 32. Составьте уравнение окружности, касающейся оси ординат в точке А(0; 4) и имеющей радиус, равный 5.
33. Составьте уравнение окружностн, касающейся оси абсписс и проходящей через точки А(7; 8) и В(6; 9). 34. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку А(8; 9). 35. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(8; 5) и В( — 1; — 4) и имеющей центр ва оси абсцисс. 36. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(З; 7) и В(5; — 1) и вмеющсй центр на осн ординат.
37. Составьте уравнение окружности: 1) проходящей через точки А(-8; 3) и В(2; — 7), если центр ее лежит ва прямой х+4у+16 0; 2) проходящей через точки М(3; 2) и Ф(-1; — 6), если центр ее лежит на прямой, пересекающей оси координат в точках А(2; 0) и В(0; — 4). 38. Центр окружности находится в точке ( — 1; — 4). Составьте уравнение окружности, если ова касается прямой, пересеканнцен оси координат в точках А(9/4; 0) и В(0; 3). 39. Найдите координаты центра и радиус окружностк 1) х'+у'+ бх — 10у+13=0; 2) хг+уг+12у — 13=0; 3) 4хг+4уг 4х+20у — 23=0, 4) хг+у' — 4х — 10у+29=0; э! х'+у'+бх+14у+81=0. 40.
Найдите расстояние между центрами окружностей: 1) х'+ +у' — 1Ох+1бу+80=0 и хг+уг+бх+4у-12=0; 2) хг+у'+4х— — 12у+36=0 и хг+уг — Вх+1Оу+5=0. 309 8 3. эллипс Эллалсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), большая расстояния между фокусами (2с). Уравнение эллипса, фокусы которого лежат на осн Ох, имеет вид хг уг —,+ — =1 (а>Ь), (!9.4) где а — длина большой полуоси; Ь вЂ” длина малой полуоси (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
