Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Составьте уравнение биссектрисы угла А. 8 8. УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ Условие параллельности двух прямых, заданных общямн урввненнямя А,х+Вбу+С,=О я Авх+Вву+С2=0, имеет вяд 299 Рис. 128 А,/А,=В,/В,. Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у й,х+Ь! и уг /сгх+Ьг, имеет вид /гг/ йг.
Условие параллельности двух прямых, заданных каноническимя уравнениями (х — х,)/тг =(у-уг)/зг и (««г)/тг =(у — уг)/~г, имеет вид т,/тг=и,/пг. 88. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 4) параллельно прямой 2х-Зу+б 0 (рис. 128). 0 Записав уравнение данной прямой в виде у=(2/3)х+2, неидем ее угловой коэффнцяеит я~=2/3.
Так как данная и исхомая прямая параллельны, то нх угловые коэффициенты равны, т. е. Ьг=/гг=2/3. Искомая прямая проходит через точку М( — 2; 4) и имеет угловой коэффициент йг — -2/3. Поэтому ее уравнение запнсывается в вале 2 у-4=-(х+2), нля 2х-Зу+16=0. ° 3 89. Проверьте, параллельны ли следующие прямые: 1) 2х-Зу+ +4=0 и 10х-15у — 7=0; 2) 25х+20у — 8=0 и 5х+4у+4=0' 3) у= = — 2х+8 и у — 2х+1; 4) у=З«+4 и у= — Зх+2. 90. При каком значении параметра а прямые (х-1)/2=(у+4)/5 и (х+б)/4=(у-2)/а параллельны? 91.
Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку А(-3; 2) параллельно прямой 5х — Зу+21=0; 2) проходящей через точку А( — 1; -4) параллельно прямой х/4+у/3=1. 92. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку М(-3; -1) параллельно прямой (АВ), где А(-2 6) и В(3; — 1); 2) проходящей через точку (1; — 4) параллельно прямой АВ, где А(-3; 1) и В(3; 2). 93. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку пересечения прямых х+у — 4=0 и х-у=О параллельно прямой х-4у+4 = 0; 2) проходящей ' через точку пересечения прямых х/б+у/3 1 и х/3+у/6=1 параллельно прямой х-2у-б=О. 8 9.УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ Условие перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями А,х+В,у+Сг=О и А х+Вгу+С,=О, имеет вид А,Аз+В,Вг=О. Условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами у=я,х+Ь, и у /ггх+Ьг, имеет вид /ег=-1/йо нли /сг/гг= — 1.
Рис. 130 Рис. 129 условие перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями (х — х,)/т, =(у — уг)/я1 и (х хг)/тг=(у уг)/вя т1тг+п1яг=О. Расстояние г/ от точки М,(х,; у,) до прямой Ах+Ву+ С=О вычисляется по формуле г/= ! Ах, + Ву, + С( (18.14) /Аг+Вг 94. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 3) перпендикулярно прямой 5«-4у-20=0 (рис. 129). (3 Найдем угловой коэффициент данной прямой /г, = 5/4. Тогда угловой коэффициент искомой прямой /сг= — 4/5 и, следовательно, ее уравнение имеет вид у-3= — (х — 2), вли 4х+5у-23=0. 9 4 5 95.
Найти расстояние от точки М(6; 8) до прямой 4х+Зу+2 =О. 0 По формуле (18.14) получям ~4 6+3 8+2~ , /4г+ Зг 96. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 4х+Зу-8=0(АВ) и 4х+Зу — 33=0(С/3). (3 На прямой АВ возьмем произвольную точку, например точку А (2; 0) пересечения этой прямой с осью Ох (рнс. 130).
По формуле (18.14) найдем расстояние от точки А(2; 0) до прямой 4х+Зу — 33=0; 14 2+3 0-33! /4г+Зг 97. Проверьте, перпендикулярны лн следующие прямые: 1) Зх — 4у+12=0 и 4х+Зу-6=0; 2) 4х+5у-8=0 и Зх-2у+4=0; 3) 301 х-х1)/2=(У вЂ” У,)/3 и (х-хз)/3=(у — уз)/( — 2); 4) (х — х,)/5=(У вЂ” Уз)/ — 4) и (х-хз)/4=(у — уз)/5. 98. При каком значении параметра х прямые у=5х — 4 и у = /гх — 2 перпендикулярны? 99. Составьте уравнеаие прямой: 1) проходящей через точку М(4; — 3) перпендикулярно прямой 5х — 2у+10=0; 2) проходящей через точку М(-4; 1) перпеадикулярао прямой х/5 — у/6=1; 3) проходящей через начало координат перпендикулярно прямой г +3 -)г=О.
100. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 4) перпеадикулярво прямой МАГ, где М( — 2; 6) и АГ(З; -3). 101. Прямая проходит через точки ( — 4; !) и (2; — 5). Через точку ее пересечения с осью Оу перпеадикулярно данной проходит другая прямая. Составьгс уравнения этих прямых. 102. Сосз авьтс уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, пересекающей ось Ох в точке (2; 0) и ось Ог в точке (О; -6).
103. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечеаия прямых х+2у+4=0 и Зх — у — 9=0 перпеадикулярно прямой х+у †7. 104. Прямая проходит через точку пересечения прямых х+у— — 5 =0 и х-у+ 3 =0 перпеадикулярао прямой, пересекающей ось Ох в.
точке ( — 2; 0) и ось Оу в точке (О; — 3). Составьте уравнение этой прямой. 105. Прямая проходит через середину отрезка АВ перпендикулярво ему. Составьте уравнение этой прямой, если: 1) А( — 2; !), в(4;4); г) А(-1;4), в(з; -2). 106. Прямая проходит через середину отрезка прямой Зх — 7у+ +21=0, заключенного между осями координат, перпендикулярно этому отрезку. Составьте уравнение прямой. 107, Составьте уравнения высот трЬугольаиха, вершинами которого служат точки: !) ( — 4; 2), (6; 5) и (1; — 4); 2) (2; — 3), (7; 2) и (-8; -2); 3) (4; 2), (6; -5) и ( — 5; 4). 108. Составьте уравнения высот треугольника по уравнениям его стороа: !) !1х+2у — 21=0, 8х — Зу+7=0 и Зх+5у+21=0; 2) 2х — у+ 5=0, х+у — '5=0 и х — 2у — 5=0; 3) Зх — !Оу+28 =О, 5х+4у+ +26=0 и 4х — Зу — 4=0. 109.
Найдите расстояаие: 1) от точки М( — 2; 4) до прямой 4х — Зу-5=0; 2) от точки (4; 6) до прямой Зх+4у+14=0. 110. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми: 1) 4х+Зу+33=0 и 4х+Зу — 17=0; 2) 12х+5у-101=0 и 12х+ +5у+68=0, 8 1О. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 111. При каком значеаии коэффициеата /г прямая у=ах+9 проходит через точку пересечения прямых х-у+5=0 и х+2у+2=0? 112. Прямая проходит через точку М(2; 5) и составляет с осью Ох угол, равный агс!8 3. Найдите на этой прямой точку с абсциссой -2. 302 113. Отрезок прямой х+2у — 4=0, заключенный между осями коордиват, делится двумя прямыми„проходящими через начало координат, в отношении 1: 2:1.
Составьте уравнения этих прямых. 114. Отрезок прямой х/9+у/3=1, заключеваый между осями координат, делится двумя прямыми, проходящими через начало координат, аа три равные части. Составьте ураввения этих прямых. 115. Даны уравнения сторон треугольника: бх — 5у+8=0, 4х+ + — 38=0 и х-Зу-3=0. Найдите ураввеаия его медиан. 116. Даны ураваеаия сторон треугольника: 4х-5у+22=0, 5х-2у+2=0 и х+Зу+14=0. Найдите уравневае прямой, проходящей через точку пересечевия его медиан и через точку (1; — 3). 117.
На прямой 2х+Зу — 18=0 найдите, точку, которая отстоит от оси Оу в три раза дальше, чем от оси Ох. 118. Составьте ураваение прямой, проходящей через начало координат и образующеи с осью Ох угол, в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой у=0,2х.
119. Составьте ураваевие прямой, проходящей через точку (8; 5) и образующей с осью Ох угол, в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой х-4у+4=0. 120. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку ( — 7; 8) под углом 45 к прямой Зх — 5у+15=0. 121. Найдите ураваения перпендикуляров к прямой 5х — 4у— 20= 0, восставлеваых в точках пересечения ее с осяма кооудииат. 122.
Треугольник задав вершинами: А( — 5; -2), В(7; 6) и С(5; -4). Найдите: !) уравнение стороны АВ 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравиевие высоты, проведенной из вершины С; 4) углы В и С; 5) цеатр тяжести этого треугольника. 123. Даны две параллельные прямые х — у-7=0 и х — у+3=0. ' Составьте уравнение параллельной им прямой, которая делит расстояние между аими в отношении 3: 2 (в ваправлевиа от прямой с меньшей начальной ордиаатой к прямой с большей аачальвой ординатой). 124.
К прямой, проходящей через точки А( — 4; 2) и В(8; 4), проведен перпендикуляр через точку, которая делит расстояаи ояаие АВ (от А к В) в отвошевии 3: 4. Составьте ураваеаие перпендикуляра. 125. Даны ураввеаия двух сторон ромба Зх — !Оу+ 37=0 и 9х+2у — 17=0 и ураввеаие одной из его диагоналей Зх-2у— — 19=0. Найдите уравнения двух других стороа ромба и второй его диагоаала. !26, Доны уравнения двух отаров параллелограмма Зх-2у+12=0 и х — Зу+ 11=0 и точка пересечевия его диагоналей (2; 2). Составьте уравнения двух друзах егоров параллелограмма и его диагоналей. 127. Две стороны,-исходящие аз одаой вершины параллелограмма, заданы соответственно уравнениями 5х — Зу+28=0„х-Зу — 4=0; коордаваты противоположной вершины параллелограмма (10; 6).
Составьте ураввение двух других егоров параллелограмма и его диагоналей. 128. Две ппотивоположаые вершины квадрата ааходятся в точках А( — 1; 1) и С(5; 3). Составьте уравнения стороа и диаговалей этого квадрата. 129. Составьте ураваеаия катетов прямоугольаого равнобед- 303 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА 1 вариант Треугольник задан вершинами: А ( — 7; 3), В(2; — 1) и С( — 1; — 5).
Найдите: !) уравнение прямой АМ, параллельной стороне ВС; 2) уравнение медианм АР; 3) уравнение высоты ВР; 4) угол В; 5) уравнение биссектрисы С3/. П вариант Треугольник задан вершинами: А( — 8; — 2), В(2; 10) и С(4; 4). Найдите: !) уравнение прямой В/г', параллельной стороне А С; 2) уравнение медианы СР; 3) уравнение высоты АЕ; 4) угол В; э! центр тяжести этого треугольника.
Рис. 133 Рис. 132 = /гхкруз, то отсюда получаем /гхз+уз=г, или х +у =г . Рнс. 131 305 304 20 — 3!62 ренного треугольника, если уравнение его гипотенузы х-2у — 3 =0, а вершиной прямого угла .служит точка С(1; 6). 130. Луч света, выйдя из точки А(3; 10), отражается от прямой 2х+у — 6=0 и после отражения проходит через точку В(7; 2). Составьте уравнения падающего и отраженного лучей.
Глава 19 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА б 1. МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ Уравнению с переменными х и у соответствует на плоскости некоторая линия как множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Обратно: линии на плоскости, представляющей множество точек, соответетвует некоторое уравнение с переменными х и у. Чтобы составить по условию задачи уравнение множества точек на плоскости, нужно установить зависимость между переменными величинами х и у (координатами произвольной точки, принадлежащей этому множеству точек) и данными в задаче постоянными величинами (параметрами) и записать зту зависимость уравнением. 1. Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудалеиных от точек А(2; 4) и В(4; 6).
С! Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек (рнс. 13!), дО=~~~.Т „, й~~ ~(,-~~~(„-~)', я~~- г* — 4~~~,-~)', д, г)' э-ч'= хг-'эггь-бг После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим (х-2) +(у-4)з=(х-4)'+(у — 6)з, или х+у †8. Множеством точек, обладающик указанным в условии свойством, является прямая х+у-8=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
