Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 33
Текст из файла (страница 33)
306. Найдите множества значений функций: 1) у=зшх+созх; 2) у=За(пх+,,/Зсозх; 3) у=згпх- /сЗсозх (см. задачу 235). 307. Исследуйте с помощью производной и сформулируйте основные свойства функций: у=зшх, у=созх, у=гйх, у ссйх. б 29. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 308. Построить графики функций: 1) у=Азшх; 2) у=зш(х+сс); 3) у=янах. 177 12 — 3162 с Рнс. 61 55 антк еш 75 Рнс.
62 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант Вычислите производные прн заданных значениях аргумента: 1 вариант Вычислите производные прн заданных значениях аргумента; 1) /'(х)=вша!не*, /'(0); 2) /'(х)=31п ггеоз2х, /'(я/8); в575 1»г 7х 7 1) /(х) =1п гйг 2х, /'(я/8); 2) У'(х)=2!и /и!п 2х, /'(я/8) Рис. 63 12' 178 О 1) Если А>О, то данная функция имеет те же промежутки возрастания убывания, что и япх, наибольшее значение фунхцин равно А, а наименьшее равно — А. График получается растяжением синусоиды у=них в А раз от оси абсцисс. Такое преобразование называется нреобразованием амнвмнуды.
На рис. 60 изображены графики функций у=япх, у=2япх, у=(1/2)з1пх. 2) График данной функции получается из графика функции у=них параллельным переносом начала координат в то жу О, (-а; 0). Такое преобразование называется сдвигом фазы. На рнс. 61 изображен график функции у =яп(х — к/4). 3) Нанбааьшее значение этой функции равно 1, а наименьшее равно — 1; период равен 2я/я. Полагая я= 1, я= 2 и я=!/2, построим графики функций у зшх, у=з!п2х н у з1п(х/2). График функции у=яп2х (пернод Т=к) может быть получен путем «сжатня» синусоиды у=япх вдоль оси абсцисс в два раза. Аналогично, график функпин у=яп(х/2) (период Т=4я) может быль получен путем «растяжения» синусоиды у=них вдоль есн абсцисс в два раза.
Такое преобразование называется преобразованием нериода. Графики изображены на рнс. 62. 9 309. Построить графики фупкцнй: р 1) у з!пх+созх; 2) у=совах. Ог 1) Преобразуем данную Фун"'Шю еледуюши1« образом: у=пах+созх= /2яп(х+я/4). График изображен на рнс. 63. 2) Запишем данную функцию в ви- Рис.
65 де у=сов~к=(11»)(1+соз2Х). Последовательность построения графика видна на рнс. 64. 9 Постройте графики функций: 310. 1) у=За(пх; 2) У=2созх; 3) у=( — 1/3)з!пх. 311, 1) у=яп(х-и/б); 2) у=сов(х+и/3); 3) у 18(х — и/4). 312. 1) у=соз2х; 2) у=сов(х/3); 3) у=!К(х/2). 313. 1) у=зшх-созх; 2) у=з(цгх. 8 30. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 314. Открытый желоб в сечении имеет форму равнобедренной трапеции (рис. (р . 65), основание и боковые стороны которой равны п. Ч угол наклона и стенки желоба к его высоте проведенной из вершины тупого угла, при наибольшей цро у п скной способности желоба? Найдите производные следующих функций: 315.
1) у=(1/3)япзх — зшх; 2) у=сов(х+и)з!п(х — и/. 316. 1) у= 8; 2) у=182х — с!82х; 3) у=!К'2х+с1К'2х. 183х — 1' 317. 1) у=1псгйх; 2) /'(х)=1пз!п(х/3); вычислите /'(к/2); 3) у= г =!псов х. 3 1пт гг 311 1) 1, 1+соек 2) У=1пз!п'(х-1); 3) и=1пгК г ° 1 — сов х 310 !) 5 1ггеа»го 2) у=си»" созх; 3) у=е "соз х. 1+г 320. 1) у=атосов,/ -х; 20 1) = /! Хг; 2) и=атос!К вЂ”; 3) У=агс1Къ/х+ +атос!К /х. 321. 1) =атосов /! — ег; 2) у=агсз(п —,„, 3) У=агсгкхг е — . 3) /(х)=агсгве ", /'(О); 4) /(х) =в!и 2х(1+ сов 2х), /'(я/4).
5) Точка движется прямолинейыо по закону в=ипгг. Найдите момент времени 0 когда ее ускорение равыо ыулю. 3) /(х)=атосов,/х, /'(1/2); 4) /(х) = 8 илг хссах, Г (я/4) 5) Точка движется прямолинейно по закоыу в=ыпгг. Найдите момент времеыи г, когда ее ускорение равно 1. Глава 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ $1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Дяфферегщяалом функции у=/'(х) (нли дкффе н называется проюведе ведение производной этой ф нкции ) и афффергпяиалом первого порядка) приращение аргумента Ьх: " фу ии /'(х) на проювольное ау=/'(х)Ьх.
му дифференциал ф нкпии Дифференциал аргумента равеы и и риращеыию аргумента: ах=Ах. Поэтофсренцнал аргумента: цнал функвщи равен произведению ее производи й фа на диф- г/у =/' (х) дх. (104) Дифферепяиалом вшорого порядка называется ди ренциала первого порядка: ется дифференциал от диффе- 180 "'у=/'"(х) дх' (10.2 двфф ренцнал второго порядка ф „„„„ ) второй производной эт й г. унк " =-/( ) равен произведению Нанти дифференциалы первого порядка щих функци: 1) У=(х — 2); 2) У= / хг — 1; 3) у= 1п в!п /х. О Воспользуемся соотношением (10.1): 1) ау=((х' — 2) )'г/х=4(хг — 2)г Зхгдх=12хг(хг — 2)гдх; 2) ду ( /хг 1)'д г/ /хг 3) ау=(1пипч/х)'ах= сов / второго порядка следующих функций: О Воспользуемся соотношением (10.2): 1 1) у'= —, 2ап2хсов2х 2=4с182х; у"= — 4, г .2=— ипг2х ипг2х' 4 ° дхг д г.
г 84х ипг 2х 2) у'= — е "; У"=е * У=У "" =' 3. Найдите дифференциалы первого порядка следующих ункций: 1) у=(1 — хг)'1 2) у=(ах'+Ь)', 3) у= //4 — 2хг; 4) У=1/ 2х — 1; 5) у=!псовгх; 6) у=!п(1/ /х); 7) у=агссовхг; 8) у агссгй(1/х). 4. Найдите дифференциалы второго порядка следующих функций: 1) у=!псов'х; 2) у=!п(я2х; 3) у=аз"; 4) у=агссовх; 5) у= =агс(йхг. й 2. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ Рассмотрим функцию у=/'(х), Предположим, что величина х получена непосредственным измереияем или в результате приближенного вычисления.
Тогда при нахождении величины х мы допускаем ые зависящую от ыас погрешность Ьх. Пусп х — приближенное значеняе аргумента (измеряемой велячины), Ьх Ьх — абсолютная погрешность величины х, — относительная погрешность х величины х, а х-ьдх — истиныое значение измеряемой величины (Ьх может быть как положительным, так и отрицательным числом). тогда х определяет приближенное значение функции /'(х), а х-1-ьх — ее истиныое значение /(х+Ьх), откуда следует, что абсолютная погрешность функции !Ау!=!/(х+Ьх)-/(х) !. При малых значениях Ьх (блнзких к нулю) величину Ьу можно приблюкенно заменить дифференцяалом ду: Ьу = /(к+ Ьх) — /(х ) вв/'(х) дх = ду.
Выгода замены приращения функции Ьу ее дифференциалом ду состоит в том, что ду зависит от Ьх линейно, а Ьу представляет собой обычыо более сложную зависимость от Ьх. Полагая Ьумду, получим выражение дла относительной погрешности в величины у: 5. Сравнить относительыые погрешности при вычислении площади круга радиуса г=125'см, считая, что абсолютная погрешность равна: 1) приращению площади круга; 2) дифференциалу площади круга.
О 1) Находим пряращение Ьб площади круга и относительную Ь5 погрешность — при вычислении площади круга б=ягг. Будем считать, что 5 погрешность при измереыии радяуса не превышает х0,5 см. Имеем Ьб=л(в+Ьг)г — гсвг=я(2гЬг+(Ьгг))=я(2 125 0 5+025)= 125 25гг ЬЯ 125,25я — — — 0,008016 = 0,8%. 5 я. 125' 181 гэ 2) Надаем дифференциал со а относительную погрешность — при д вычислешпг площади круга: со 2кгьг Нг с9=2кгьг=2к 125 0,5= !25к; — = — =2 —. о кгз г Значит, относительная погрешность прн вычислении плошади круга равна удвоенной относительной погрешности, полученной прн измерении радиуса: ~Ж сг 0,5 — =2 — =2 — =0,8%.
б г 125 Итак, видим, что во втором случае вычисленяе было значительно проще н выполнено без ущерба для точности вычисления. Определим относительную погрешность приближения при замене приращения Ьэ дифференциалом Ж: ЬХ вЂ” ~Ж 0,25я Ьо-Ю= !2525к — 125к=025к; — = — '=0002=02%. ~УД 125к Относительная погрешность приближения составила всего 0,2%. ° б. Найдите относительную погрешность при вычислении длины окружности, если г=50 см, Ьг=0,5 см. 7.
Найдите относительную погрешность при вычислении величины, заданной уравнением у=х, если х=2 н Ьх=0,01. $ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛОВОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ (4(3)„да, Считая прира- О Обьем шара вычисляется по фор у ние объема шара его !ифференцналом: Ь)г ° ед ' фушспш !г=(4!'3) кд гаа шара достаточно найти ди й!г=4кд зад ° х =5хз — 2х+3 прн ближеиное значение функции У х = 2,01.
„„— 2„А=0,01, У у(х)=/(2)=5 2з 2 2+3=39; 5 з 2 Ь (15 2з-2) 0,01=0,58. ~'(х)Ьх=/'(2) 0,01=(5х -2х+3)'Ьх=( По фоРмУле (103) находим э( у(201)-5 (201)' — 2 201+3= 201 =39+0,58=39,58. Н й точное значение фун"шш= 39,583005. ° е значения прн ащеннй Фугп'цин' 11. Найдите приближенные знач = х-1 при х=2 н х=3 н Ьх=0,001; 2) У=х +х 1) У Зх +5х+ пр =10 и Ьх=0,01. Ьх=0,01; 3) У=1пх прн х= " ии объем куба с ребРом 12.
На сколько уведичнтся прн патра з 13. Найдите приближенные значения ~~~' 302, 3) /(х) — х+1 прн х= ' 11 2) ~'(х)=х +Зх+1 пр (, ),з+(1(2)хз 2э;+а пРи х=, ~ННБ)к ВЫЧИСЛЕНИИ б 4. ФОРМУЛЫ ЛЛЯ /( ) "Рнращенне этой функ Ь вЂ” /(х), ее дифференциал Ыу=,/'(х)лх. При достаточно малых (близких к нулю) пряращениях аргумента Ьх будем считать, что ЬумЫу, т, е, что приращение функцяи приближенно равно ее дифференциалу. Заменив приращение функции ее дифференциалом, получим у'(х) ах м/(х+ Ьх) — /(х), откуда Дх+Ьх)м/(х)+ф'(х) Ьх. (10.3) Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касателъной. В. Найти приближенное значение приращения функции у= =2хз+5 при х=2 и Ах=0,001. О Имеем Ьугелу=бхзсх=6 2з 0001=0,024.
Точное значение приращения Ау=2(х-Ььх)э+ 5-2хэ — 5=6хзьх+6х(ьх)'+2(ьх)з= =6 4 0,001+6.2 0,00000!+2 0,000000001=0,024012002. ° 9. На сколько увеличится при нагревании объем шара радиуса )1, если его радиус удлинился на величину ЬЯ? 182 (10.5) Частные случаи формулы ( 10.5): Ьх Ьх з +Ьхм х+ — ' 3) х=!' 1) л=2„х+ / ~йм /х+ — ' 2) а=З, '/ З~/хз 2 /х Ьх З/1-~ Ьх 1+ л венного вычисления абра тных величин: формула для при важен 1 Ьх х+Ьх х х (! 0.6) 10.3), легко получить различные р у омлы для Н фо х числовых значений. б имеющие пр лиженного вычисления степене: Формула для прн лиженного в не .
(10.4) ) л=, х з; -3, (х+Ьх)змх +Зхзьх; 3) х=1, 1) л=2, (х+Ьх)змхз+2хьх; 2) л-, х х з з; =1, ( +Ьх)" м!+лЬх. вычисления корней: Фо ла для приближенного выч рму Ьх З/к+Ь =;/я+ —. и" х" — + — 4 — + — ° то з(пЬх-Лх; 1йбхжЬх. 4у 4х !пу=л1пх; — =а —. у х 4у йю йь 1пу=1пи+1по; — = — + —. у и о 185 184 Частные случаи формулы (Наб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
