Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ьу, У(х+Ьх)-У(х) ьй оЬх ь о Ьх 92 1) ~«+2~~«-3~~«-5~>0; (х — 1)(х+ 5) Зхс — !7х+18 3), с2. хл-5х+4 4) Дана функция у=1/хл. Вычислите приращение Ьу при х=! и Ьх=0,1. 5) Найдите асимптоты кривой х У= х-2 промежутков: " И*-')(*-')" Зхл — 14х+ 14 >2. х — 4х+ 3 4) Дана функция у=чСж Вычислите приращение Ьу при х=! и Ьх= 0,02. 5) Найдите асимптоты кривой 1 у х+2 Лу Для линейной функции 3 =й«ЬСс средняя скорость — =й и истинная Ь.т Ьу скорость 1пп —,=Со совпалают по величине и числовое значение истинной ь,-о Ьл скорости равно коэффициенту сс. 1.
Найти среднюю скорость изменения функции У=Зхз-6 прн изменении х от х,=З до х,=3,5. О ! способ. Найлем приращение аргумента: Ьт=хл-х,=3,5 — 3=0,5. Найдем значения функции при «, и «,: У,=З Зл-6=21, ус= =3 !3,5)л-6=30.75. Вычислим приращение функции: Ьу=у,— у,=3075 — 21=9,75. Ьу 9,75 Находим среднюю скорость изменения функции: — = — '=!9.5. Ьх 05 1! си особ. Вычислим среднюю скорость изменения функции при любом значении аргумента цо общему правилу: у+ЬУ=З(х+Ьт)л — 6=3тл+6«Ь|+3(Ь«)с 6 У=З«с-6 Ь г= 6«Ьх+ 3 (Ьл)-'; Ьу бх Л.т+ 3 (Ь.т) ' — — = 6.«+ 3'Ь.т.
Ьх Ь« Ьу Найдем приращение аргумента: Ьт=хл — «, =3.5 — 3=0,5. Вычислим — при Ьх «=3 и Ьл=05: — =6 3+3 05=!95. й! Ьу Ь.т 2. Прямолинейное движение точки задано уравнением з = =3!' — 2!+5 (! выражено в секундах, а з — в метрах). Найти скорость движения точки в момент 1=5. О Найдем среднюю скорость движения точки: ь+ Ьс = 3 (с+ Ь с) ' — 2 (с+ Ь с) + 5 = =Зсл+бсЛс+З(Ь!)с — 2 — 2Л +5 с=3!с — 2!+5 Ь =бсЬ +З(Ь )л-2Ьс; Ьс бсЬс+3(Ь!)л-2Ь! =бс+ЗЬс-2.
Лс Ьс Найдем истинную скорость движения точки и момент времени с Ьс о= 1йп =- 1пп (бс+ЗЬс — 2)=бс — 2. и-о Ьс ь -о Найдем скорость движения точки в конце 5-й секунды о(5)=6 5— — 2=28 (м7с). ° 3. 1) Найдите среднюю скоросп изменения функции У=2х*+5х при изменении х от х, =2 до хз=З. 2) Закон движения точки задан формулой «=4!с -2 (с выражено в секундах, з — в метрах). Найди~с среднюю скорость движения точки за промежуток времени от с, =4 до !с=6. 93 4.
1) Прямолинейное движение точки задано уранию!нем »=5!а (г — в секундах, з — в метрах). Найдите скорость движения точки в конце 1О-й секунды. 2) Прямолинейное движение точки задано уравнением к=2гз- -81-10 (г — в секундах, з — в метрах). Найдите скорость движения точки в конце 8-й секунды. 8 2. ПРОИЗВОДНАЯ Производной функции /(х) в точке хь называетса предел отношения приращения Ь/ функции в этой точке к приращению Ьх аргумента, когда последнее стремится к нулю: Ь/(хе),,/(хе+ Ах) — /(хь) ь ь Ьх ь* ь Ьх Функции /(х), имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется диффеуеиииууемей в атом промежутке. Для проязволиой функции у /(х) употребляются следующие обозначе, ~1у ф'(х) ния: у', у'„— нли /',/' (х), —.
Нахождение производной называется дифференцированием. Вычисление производной функции у=/(х) производнтся по общему правилу дифференцирования: !. Придавая аргументу х приращение Ьх и подставляя в выражение функции вместо 'аргумента х наращенное значение х+Ьх, находам 'наращенное значение функции: у+Ау=/(х+Ьх). П.
Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции: Ьу=/(»+Ах) — /'(х). Ш. Делим приращение фуюгцни Ьу на приращение аргумента Ьх, т: е. Ьу /(»+Ьх)-/(х) составляем отношение — = Ьх Ьх Тт'. Находим предел зтого отношения при Ьх-ьо, т. е. 1пп — = Ьу ьь-ь Ьх /(»+ Ь »)-/(х) ч !пп . Этот предел и есть производная от функции у=/(х). 5. Найти: 1) у' (3), если у=2хз — Зх; 2) у' (4), если у= /х. О 1) Находим производную по общему правилу: у+Ьу=2(х+Ьх)ь-3(х+Ьх)= =2хь+4хЬ»+2(Ьх)з — Зх-ЗЬх у=2хь-Зх Ьу=4хЬх+2(Ьх)ь-ЗЬ», у+Ау=у /х+Ьх у= /» Ьу= /х+Ьх-,/х; /" +Ь /» Ьу, /х+Ьх- /х ; у'= !пп — = !пп Ьх Ьх ьь еЬх ь е Ьх $3.
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ СТЕПЕНИ И КОРНЯ Обозначения: С вЂ” постоянная; х — аргумент; и, и и — функции от х, имеющие производные. Основные правила дифференцированиа алгебраической суммы функций (и+е-и)'=и'+е' — и'. произведения двух функций (ие)'= и'с+ в'и. произведении трек функций (иеп)' = и'еп Ч- е'ип+ и'ие. произведения иостояиной на функцию (Си)' = Си'. частного (дроби) Производная (7. П (7.2) Производная Производная (7.3) Производная (7.4) Производная и и'е — е'и (7.5) Частные случаи формулы (7.5): (7.6) =- и", х+Ьх-х 1пп йш ь ь Ьх( /х+Ьх+ /х) ь ь Ьх(ч/»+Ь»+ ч/») 1 1 ! ! !пп ; у'(4)ю — =-.
° ьл-ь /х+Ь»+ /» ч/»+О+ /х 2 Гх 2,,/4 4 (О) ли у=х' — х; 2) у'(1), есди у х'-5х+4; 3) ' г'(2), если к=! . 7. Найдите: 1) у'(3), если у=-3/х; 2) У'(-1) если У=1/х . 8. Найдите: 1) у'(5), если у ч/х — 1; 2) у'(4), ес.чи У 1/ч/х; 3) у'(2 /2), если у=~х. (7Л) — = — — е'. Ьу Ьу — =4х+2Ьх-3; 1пп — = йш (4х+2хЬх-3)=4х-3; у'=4х-З. Ьх ь ьЬх ь» ь Найдем значение производной при х=З: у' (З)=4 3 — 3 9. 2) Находим производную по общему правилу: 10 2) у'=2 (-5)х '= — !О.т хь -гз-г 4) у 5 х — г~з г 2х г~з.
[, 5,/ 4у з/у з/и з/х ази з/х — = — —, илл у'(х)=у'(и) и'(х). 2) у=зхг'/х=зхгх'"=Зх"з; ггз-з 4п у'=3 (хг~з) 3 тиз-з =7хмз 7л з/х; 3 97 7 --3!62 Если у есть функция от и, у=/(и), где и, в свою очередь, есть функция от аргумента х: и=ф(х), т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (фумсцией ога функции): у=фр(х)1.
Производная сложной функцвн равна произведению сс производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной; Исходя из этого соотношения, можно получить формулы дифференцирования сложных функций. При вычислении производных необходимо помнить, что (по определению) а =! (аззО); а ' 1/а" (аФО); лз/а"=а~и (а>0), и знать следующие правила действий со степенями и корнями: а"а"=а"+"," а"/а"=а' "; (а")"=а"; Е/аь=зз/а4/Ь=огиьги (а>0, Ь>0); а 4/а а ни — — — = —,, (а>0, Ь>0). ь ььи Здесь ш и л — любые рзциональнме числа. Формулы дифференцирования Найти производные следующих функций: 9.
1) у Зха; 2) у=2х ', 3) у=4х"з; 4) у=5х ~ы! 5) у=5,',/хз. О 1) Используя формулу (7.4), вынесем иостовнный множитель за знак проюводной, а затем применим формулу (7.10а); у'=З(х") =З 4х'- =1 з, Аналогично, используя формулы (7.4) и (7.10а), получим: 1 4, 4 4 3), 4, тнз-з т-нз 3 3 Зхггз Злз/хг 3 5) у'=5 (хзгз)'=5 -хз~з-г=зх ' . ® 5 1,— 2х 10. 1) у= —; 2) у=Зхг,э/х; 3) у= —. 2л"' / Д О Сначала кагклую нз функций преобразуем к виду у=х", а затем воспользуемся соотношениями (74) н (7.10а); ! 1 -ггз.
1) у= —,=-.т 2хиз 2 -згз- з 1 -пз з 3 2 2 зл 3,1 3 Зх ' Зх(/хг' 2х 2х .г 3) у= = ггз=2х з/х «'з 10 у'=2(х ' )'=2 -т ' = — х = —,/х . ° зз ° .5 зз г 10 г~з згз 3 11. /(х)=1/хч! вычислить Г'( — 1) и /'(2). О Имеем /(х)=1/х~=х ". Следовательно, у" (х)= -4л " '= -4х з= -4/хз, Для вычисления/'( — 1) н /'(2) нужно в выражение производной вместо х подставйть значения — 1 и 2: ,/' (-1) = -4/( — !) ' = — 4/(- 1) = 4; /" (2) = -4/2' = — 4/32 = — 1/8. ° 12, у.=-4хз+2хг+х — 5. О Применив последовательно формулы (7.!), 7.4), 17ЛОа), (7.9) и (7.8), имеем у' =(4х з)' — (2х г)'+ х' — 5' = 4 (х з)'-2 (хг)'+ х'- 5' = =4 Зхг-2 2х+! =12хг — 4х+1.
Прн навыке дифференцирования промежуточныс действия обычно выполняются в уме и 'поэтому в подобных примерах сразу же.записывается окончательный результат дифференцирования. ° ! ( '- )' тз 99 33. /( )=(хз 1)(. +и+1) спользул формулы (7.2), (7,Ц, (7„10а) (18) и (79) н / (х)=(х'- Ц'(х'+х+ Ц+(х'+х+ Ц (х» Ц- =Зх (х +х+Ц+(2х-1-Ц(хз Ц вЂ” Зхз( з.„Ц ( ) ) (х +х+Ц[Зх +(2х+Ц(х — 1И=(хз+х+Црхз+2 з 2 =(х +х+ Ц(5тг — х- Ц. ° 14. у= хз — 1 О Исцользуа формулы (7.5), (7.Ц, (7.10а) и (7.8), получим (х — 1) (х — Ц 2х(х' — 1 — х — Ц 2х( — 2), 4х (хз Цз (хз Цз (хз Цз' з. Найдите производные следующих функций: ) у=ха; 2) у=2х; 3) У=Зх з. 4) у= — Зх з 5) =хтзз 6) у=блаза; 7) У=5х з1з; 3) У=2 /хз 9) у= 4/х з' 10) у=фх уж — — ) у= —. 3) у= — ' 4) у=2хзчз/х 5) у=— /х / хз( х у 11) /(х)=х з,/х ~т, 12) з='/ г /з 17.
1) /'(х)=1/хз; вычислите /'(1/2); 2) Ях)-.зз/хз; вычислите /'( — 8); 3) у=х /хчз/х; вычислите у*(1). = — х4--хз+-х — 1 в 28. 1) /(х)= — х'+9хз+х — 1; вычислите /'(-1); 2) /(х)= = — х --х +-х — 1; вычислите /(3); 3) /(г)=0,51~+0,61~+0,81+8; вычислите /'(1) — 2х +х +2, 2) У=4х ~ +3 + 1) '3 з 15х-з -3 + Зх. 7. Ц, зг» + — +-+8; 2) у=2з/х+ — — — — +1 ) /( ) (2 +1)( +3 Ц' ) /( )=( )( —,) 3 — ) У з х Ч-т41' х'+1 84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
