Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 17
Текст из файла (страница 17)
55. Для заданных й характер: функцн" нантн точки разрыва н исследовать нх ! 1) у= —; 2) у=,; 3) у=З'~"; 4) у=— хх — бх+8' ' 1+51" О 1) Данная ф ик ия как эта н я фу ц определена при всех значениях х, кром -3. Т фу кци яялается элементарной, то она лепре ывна в ка роме х= . Так . своей бласти определению Таким об язем нн ра р разрыва найдем левый и х, х — =-со, йщ — Ч со ех-3 л-3+ох — 3 Сле довательно, функция — в точке х=З х х-3 имеет бесконечный разрыв, т. е. х=З вЂ” точка разрыва И 2) Р рода. ) Рассуждая аналогично, и входим к в в данной ф н яи ункцяи служат точки х=2 и х=4, в кото ых р дим к выводу, что точками разрыва б Оч ль. евидно, что в этих точках ф нк я и фу кция имеет бесконечный и х= — точки разрьща И рода. 3 Здесь функция определена при всех значениях х, кроме х=О.
Най е левый и правый пределы функции при х-~О: бт 3""=О, 11ш'3"х= Ьсо. --о ~-+о Так как и х, ст ри, ремащемся к нулю справа, функциа имеет бескон предел, то х=Π†точ разрыва И рода. ет онсчный 4) В этом случае нс уч сди твеннои точкой разрыва также явлаегся точка х= . Вычислим односторонняе пределы функции при х- О; 1, ! 1'пп —,=1, 1пп — =О. *--о1.1-5'~* !*-+о!-~-5'/" Поскольку левый и правый елы ф нк х О— — точка разрыва 1 рода, Э " пределы функции Ори х= о являютса конечными, 8б 5б. Найдите точки разрыва н исследуйте нх характер для следующих функцнй: ° 5 1 ! 3 1) у= —; 2) у —,; 3) у= „' 4) у=, 2х-1' хз' 1-хз' хз — 2х+ ! ' 5) у= " '; б) у=1~-2гл*-з!.
хз-Зх-1О 8 7. АСИМПТОТЫ Асихщвютой кривой называется прямая, к которой неограниченно пряближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Вертикальные асимптоты. График функции у=у(х) при х-~а имеет вертикальную асимптоту, если 1!щт(х)=+со нли 1!щу(х)= -ю; при этом х=а есть точка разрыва И рода.
Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х=а (рис. 11,а и б). и) 6 ф б) Рис. 11 Рис. 12 й] И Рис. 13 Рнс. 14 Наклонные асимптоты. Пусть график функции у=у(х) имеет наклонную асимлтоту у Ьх+Ь (рис. 13, а и б). В этом случае справедливо равенство Ига 1Г(х)-а -Ь)=О. 87 Горизонтальные асимптоты. График функции у=!(х) при х-~+аз или при х- — со имеет горизонтальную асимптоту, если !ни у(х)=Ь или !пп Ях)=бн Может оказаться, что либо только один из этих пределов конечный, либо ни одного, тогда график имеет или одну горизонтальную асимптоту, или ии одной.
Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид у Ь (рис, 12,а и 6). Вынося х за скобки, получим Г/(-) Ь~ Ишх~ — Ь '~ О. х хЗ Ь Так как Иш — -О, то отсюда получаем формулы для вычисления х параметров к и Ь: Иш — й, 1пп Ях)-/сх)=Ь. /(х) Х *н Следует отдельно рвжматривать случаи х- +со и х- — со. 57. Найти асимптоты кривых: 1) у= —; 2) у= —; 3) у=е '*; 4) у= 1 х „х х-3' х-1 /хз+! 1 1 Сз !) Тах ках Ипз — =О, то кривая у — имеет горизонтальную х-3 х-3 1 1 асимптоту у=б. Далее, находим Иш — — аз, 1пп — =+со; следо- ' з-ох-3 ' з+сх — 3 вательно, кривая ямеет вертикальную асимлтоту х=З (рис. 14).
Рнс. 15 Рнс. 16 Рис. 17 х х 2) Имеем Иш — = — со, 1шз — =+ со. Значит, х=! — точка » з-ех — 1 !+Ох 1 разрыва П рода и, следовательно, хривая имеет вертикальную асимптоту х 1. Найдем горизонтальную асимптоту: х х-1+1 / 1 'з Иш — = 1пп = 1пп ~1+ — 71=1„ — -! — .-1 -(, х-1/ т. е. у 1 — горизонтальная асимптота графика (рис. 15). 3) Так как Иш ен" 1, то горязонтальной асимптотой служит прямая у=1.
Найдем верпшальную асимптоту: Ипз езм=+со, 1пп е""=О; следо- +О з -О вательно, х=Π†вертикальн асимптота (рис. 16). 4) Найдем горизонтальную асимптоту: х 1 1, 1 Изп = 1пп — = — =1, 1пп = -1. ,/хзч-! +" з/!+1/х /1+О " /хз+1 88 Прн х- +ос асимптотой служит прямая у=1,априх- — аз — прямая у= — 1 (рис. 17) йз х 58. Найти асимптоты кривой у= †. х-! О Находим наклонную асимптоту: 7г= !пп = — 1пп = — Ип)— /(х) х з (х — 1)х з х — 1 х — 1И! . / 1 1 = !пп = 1пп '14 — '=1, Рис. 18 х-1 з (, х — 1,г х х Ь= Иш [Ях)-кх]= 1пп ~ — х ~= Иш з эн(х — 1 ~ з х — 1 Итак, 8=1 и Ь=1; следовательно, при х- +со и при х- — со графих функции имеет наклонную асимптоту у х+1.
Если х-1, то у- жсэ, значит прямая х 1 является вертикальной асимптотой (ряс. 18). ° 59. Найдите ажмптоты кривых: з 1) у= —.; 2) у= 1--1; 3) у= —,; 4) у= — „. .к — 1' з!) х ' хз+1' 1-е* бО. Найдите наклонные асимптоты кривых: хз 1) у=х+е *; 2) у= /хз — 1; 3) у= —, ха+1 61. Найдите асимптоты хривых: 2 5 хз+бх — 5 хз хз 1) у= —; 2) у= —,; 3) у=; 4) у=; 5) у х+2' х — 25', х ' /хз 1' х+ Зхз хз+1 хз-5х+4 б) у= —; 7) у= —; 8) у= х +5 х ' х — 4 б 8. РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ПРОМЕЖУТКОВ Решение неравенств методом промежутков основано на следующем свойстве непрерывной функции: если ненрерыаная функция обращается а нуль а точках х, и хз (х, <х,) и между этими точками других корней не имеет, та в промежутке х,сх<хз функция сохраняет знак.
Поэтому для нахождения промежутков зиакопостоянства функции у=у(х) поступают так. На числовой прямой отмечают все точки, в которых функция /(х) обращается в нуль или претерпевает разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на иескольхо промежутков, вяутри каждого из которых функция /(х) непрерывна и не обращается в нуль, т. е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой-либо точке рассматриваемого проме:кутка оси Ох. б2. Решить неравенства: 1) (х+3)(х — 2)(х — 5)<0; 2) (х — 3)(х — 5)(хз+2х+5)<0.
89 -4 Рис. 22 Рис. 2! Рис. 20 Рис. 19 Решением неравенства (так как значение х=З жит промежутку 2<хс4, но). ° О Имеем с в со <х<1, 3/2сх<2, Зсх<со. ° (х-5)(х-4)(х — 3)(х+2)(х+4) <О, с -со<х<-4, -2<хщ3, 4 сх45. (х — З)г(х — 2)(х+1)(х-4)(х+3)<0, О 1) Многочлсн Р(х)=(х+3)(х-2)(х-5) обращается в нуль в точках х,= — 3, ха=2 и хг=5. Эти точка разбивают ваю числовую прямую на промежутхи — со<х<-3, — 3<х<2, 2<х<5, 5сх<+ю (рис. 19), внутри каждого из которых функция Р(х) сохраняет знак. Рассматривая эти промежутки справа налево, находим знак функции Р(х) для каждого из промежутков: пря 5<х<со (например, х=!О) Р(х)>О; прн 2<х<5 (например, х=З) Р(х)<041 при — 3<х<2 (напримср, х=О) Р(х)>О; при — со <х< -3 (например, х= — 10) Р(х)<0, т. е. знаки функции Р(х) чередуются, причем для значений х из крайнего правого промежутка Р(х)>О.
Так как по условию Р(х)<О, то решением неравенства является Г-со<х<-3, совокупность промежутков ~ ~2<к<5. 2) Трехчлен хг+ 2х+ 5 для всех хм К принимает положительные значения (так как /3 2г-4 5<0). Поэтому данное неравенство равпоснльно неравенству (х-3) (х-5) <О. На рис. 20 показаны промежутки знаколрстоянства левой части данного неравенства. Решением неравенства служат все точки промежутка З<х<5. ф 63. Решить неравенства: 1) (х — 5) (х-3) (х+2) (х-3)г (х — 2) (х+ 1) <О; 2) <О.
(х-4) (к+ 4) ' (х — 4) (х+ 3) О 1) Умножив обе части данного неравенства на квадрат знаменателя (х — 4)г(х+4)г, получим неравенство имеющее два посторонних решения -4 и 4, которые надо исключить иэ множества его решений.
Левая часть последнего неравенства обращается в нуль в точках — 4, — 2, 3, 4, 5. Таким образом, получаем промежутки знакопостоянства — со<х<-4, -4<х<-2, — 2<хс3, 3<к<4, 4<х<5, 5 < х < + со (риа. 21). Решеяием неравенства алужит совокупность про- межутков 2) Умножив обе части данного неравенства на (х — 4)г(х+3)г, получим неравенство имеющее два посторонних решения — 3 и 4, которые надо иаключить из множества решений. Левая часть последнего неравенства обращается в нуль в точках — 3, — 1, 2, 3 и 4.
Таким образом, получаем промежутки зиакопостоянства -со<к<-3, -3<хс — 1, -1<х<2, 2~к<3, 3<х<4 и 4<х<+со (рис. 22). Г-З<х<1, служит совокупность промежупсов ~ 4 2<х<4 является решением неравенства и ириналлето его специально выделять в ответе не нуж- хг-2х+3 64. Решить неравенство, > — 3.
хг-4х+3 хг-2х+3 '! /хг — 2х+3 гг гг4хг — 14х+12 хг 4х+3 ) (хг 4х+3 ) ( хг 4т+3 2хг -ух+ 6 ! /2 (х — 3/2) (х — 2) >О !чь( >0). хг — 4х+ 3 ) ( (х — 1)(х — 3) ) Умножив левую и правую части последнего неравенства на (х — 1)г(х — 3)г, получим (х — 1)(х — Зг2)(х — 2)(х — 3) >О.
Используя метод промежутков, находим„решение данного неравенства: Решите неравенства: 65. 1) х+2 х — 4 х-5)<О; 2) х+1 х — 2 х — 3>О; 3) х+4 х — 1 х — 5<0; 4) х+4 х+2 (х — 1)<0; 5) х+3 х-2 (х — 3)(х — 4)>О.
66. 1) х-2 х-3 (хг+х+3)<0; 2) х+3 х+4 (хг+2х+5)>0. 67. 1) (х — !) (х-2) (х — 3) (х-2) (х — 3) (х — 4) (х+ 2) (х+ 1) ' (х+ 3) (х+ 2) <О; 2) >О; (х+ !)'(х+2) 3) <О. (х — 1)(х — 3) ' х'+2х — 3 х-1 х — 2 68. 1), >О; 2) — > —; хг — 2х+8 ' х-2 х-1' 3) >О' 4) г <О хг-Зх42 х'-2х-3 х — 3 ' х'+2х+8 ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Н вариант Решите неравенства методом 1 вариант Решите неравенства методом промежутков: Глава 7 ПРОИЗВОДНАЯ б 1. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФЪЧПЩИИ Вычисление скорости изменения функции у=у(х) производится по следующему общему правилу: !. Изменение а аргумента х на некоторую величину Ьх вызовет изменение функции у на величину Ьу, т.
е. у+ Ьу=у'(х+ Ьх). Н. Находится приращение фушшии Ьу, соответствующее приращению аргумента Ьж у+ Ьу =у(х+ Ьх) у=~(х) ЬУ=С(х+Ьх)- С'(х). НЕС як реди скорость изменения функции у дла промежутка значений аргумента от х до х+Ьх выражается отношением Ьу С'(х+Ьх) — С'(х) Ьх Ьх Отношение Ьу — показывает', сколько елиниц приращения функции приходится иа едщшцу приращения аргумента. 1Ч. Мги овеивая (нли истинная) скорость изменения функции прн данном значении х есть предел, х которому стремится средина скорость — при Ьх Ьх-+0 в промежутке изменениа аргумента от х до х+Ьх, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
