Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Из общей вершины в каждом из квадратов проведены диагонали. Вычислите угол между этими диагоналями. 70.Вон" одной грани острого двугранного угла проведена прямая под углом 30 к другой грани и под углом 45' к ребру. Вычислите двугранный угол. 71. . Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их составляют угол 60'. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого взаимно перпендикулярны. Вычислите расстояние между вершинами треугольников.
72. В о ой одной из граней двугранного угла, равного и, проведена прямая, образующая угол (1 с ребром двугранного угла. Найдите угол наклона этой прямой к другой грани. 73. В трехгранном угле каждый из плоских углов равен 60'. Через точку А, взятую на одном из ребер угла на расстоянии а от его вершины, проведена плоскость, перпендикулярная этому ребру и пересекающая два других ребра в точках В и С. Найдите периметр треугольника АВС. 74. В трехгранном угле два плоских угла равны 45', а третий плоский угол содержит 60'. Вычислите двугранный угол, противолежащий третьему плоскому углу. 75. В трехгранном угле каждый из плоских углов равен и.
Найдите двугранные углы. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА Глава 21 ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ б 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Векторы в пространстве. В пространстве, хак и иа плоскости, вектором называется направленный отрезок, Тах же определяют основные понятия дяя векторов в пространстве: модуль вектора, направление вектора, равенство векторов. Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, или лежащие в этой плоскости, называются комялаиариыми.
Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными. Любой вектор Й пространства можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам а, Ь и с; 1=ха+уй ЬЬгс. (21.1) 2. Примоугольнан система координат в пространстве. Пусть в пространстве задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов 6 у и й, отложенных от некоторого начала — точки О (рис.
161). Такую тройку векторов называют ирямоуголъиым базисом в пространстве. Совокупносп начала 0 и прямоугольного базиса (6 ~, )с) называют лрямоугольиой системой каардииат в лрострайстве. Разложение вектора а в базисе (г', ~, 1) имеет вид а = хг+уг+ гх. (21.2) Координаты точки М вЂ” числа х, у, г (рис. 162) в ланной системе координат — называются координатами вектора ОМ=а.
Если ОМ=а=(х; у; х), то пишут М(х; у; г). Число х называют абсяиссай, у — ордииатай и г — аллликатой точки М или вектора ОМ=а. Начало О векторов называется началом координат. Оси, определяемые векторами !', Е, называются координатными осями, а плоскости, проходящие через каждые две координатные оси,— каордииатиыми ллоскастями.
Пространство, в котором задана система координат, 'называют координатным пространствам. Координатные плоскости делят все не принадлежащие им точхи пространства на восемь областей — октантов. Точки, лежащие на координатных плоскостях, имеют одну из координат, равную нулю. Точки, лежащие на осях координат, имеют две координаты, равные нулю. Начало координат имеет все три координаты, равные нулнз.
Знаки координат точек в пространстве представлены в таблице: 335 При 2 =1 получаются формулы для нахождения координат середины отрезка: хе= У.= ' хе= (21 В) Рис. 161 Рис. 162 (21.6) х л+~ я, Ул+/~ув л+" я 1+2. ' с 1+в ' с !+х (21.8) 336 Если все координаты вектора а отличны от нуля, то этот вектор можно изобразить как диагональ прямоугольного параллелепипеда, числовые значения длин ребер которого равны 3хЬ (у!, (х! (рис. 162). В заданном прямоугольном базисе (1, 1, /с ) каждая тройка чисел (х; у; х) определяет единственный вектор, для которого эти числа являются координатами. По определению прямоугольного базиса имеем 0;2 2 гз 1 Если началом вектора и является точка А(х„; у„; гл), концом — точка В(хя; уя; хв), то вектор и=Ай имеет координаты, равные разностям соотвегствующих координат точек В и А: и-'1В =(хв «л! Ув Ул вв хл) (21.3) и записывается в виде и=АВ =(хя — хл)1+(Уя Ул)/+(вв — хл)х.
(21.4) 3. Привала лействий иад аекторямя, заданными своими иоордеявтамв. Если а базисе (1, 1, к) заданы векторы и=(х,; у,; в,) и Ь=(х,; ув; вв), то: координаты суммы двух (или более) викторов равны суммам соответствующих координат слагаемых, т.
е. а+Ь=(х,+х,; у,+ув; х,+вв); координаты разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов, т. е. и — Ь=(х,— х„у,— ув; х,— з,); координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число: та= =(юх,; ту,; ип,). 4. Условие коллвяеарнести двух векторов. Условие коллинеарности двух векторов а=(х,;у,; хД я Ь=(дбу;, х,) имеет вид к~=мхи Ув=""Уг в~=ими (21.5) Если т> О, то векторы а н Ь имеют одинаковое направление; если ив < О, то направления векторов противоположны. 5.
Длииа вектора. Длина вектора а (расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле (хя Цг +(Ув — ул)в ч-(вя- гл)*. Длина радиус-вектора и вычисляется по формуле и ~ =,с'~Рта (21.7) 6. Деление отрезка в даияом отношение. Если отрезок АВ разделен точкой С в отношении АС:СВ=Х, то координаты точки С находятся по формулам 7. Направляющие иосиаусы вектора. Углы, образуемые радиус-вектором а с координатными осями Ох, Оу, Ог, вычисляются по формулам х х у у в сова===, сов(3===, сову=== ),~Р~ ' л' и~,сп~'тз' (21.10) ха+уз+вв Косинусы углов, вычисляемые по этим формулам, называются иалуавлюси1ими косинусами вектора а. Для направляющих косинусов вектора имеет место соотношение сов а+сов (3+сов "1=1. (21.11) 1.
Отрезок АВ, где А (7; 2; — 3), В(-5; 0; 4), разделен точкой С в отношении Х=АС:СВ=1;5. Найти координаты точки С. О Подставляя в соотношения (21.8) значения ха=7, ух=2, хл= — 3, хя= — 5, ух=О, вя=4 и 2=1/5, получим: 7+(1/5)(-5) 2+(!/5).0 5 — 3+(1/5) 4 1 + 1/5 1 + 1/5 3 1 + 1/5 6 Таким образом, С(5; 5/3; — 11/6). ° 2. Найти косинусы углов, которые вектор и=в'-2/т +2к образует с базисными векторами. О По формуле (21.6) находим длину вектора а: и~-.ч'д:я)2 =3. По формулам (21.10) находим косинусы углов, образованных данным вектором с базисиыми векторами: сова= !/3, сов)3= — 2/3, сову=2/3.
° 3. Дан параллелепипед АВСВА,В С,В,, Отложите: 1) от точки А вектор СВ; 2) от точки В, вектор АВ; 3) от точки С вектор АА,, 4. Дан теграэдр АВСВ. Найдите сумму векторов: 1) ВС+СВ+ +ВА; 2) АВ+ВС+СВ; 3) АВ+ВС+СВ+ВА. 5. Дан параллелепипед АВСВА,В,С,В,. Найдите сумму векто+ + Ф ' + Ф + рощ !) ВС+СС,+С,В,; 2) СВ+ВвАв ~-АВ +0,С,; 3) АС,+ +В,А +ВВ, +13,0; 4) В,С +АА, +СВ+С,С . б.
Дана призма АВСА,В,С,. Найдите сумму векторов: 1) АВ+ВВ,+В,С; 2) АС, +С,В +ВА,; 3) АВ+ВС+СС,+ +С,В, +В,А, . 7. Пусть М вЂ” середина отрезка АВ н Π— произвольная точка пространства. Докажите, что выполняется равенство ОМ= = (ОА + ОВ)/2. 337 22 — 3162 8. Дан тетраэдр АВСЮ. От точки В отложите вектор, противоположный вектору': 1) АЮ; 2) СВ5 3) АВ; 4) АС. 9. Вне плоскости тре2тольиика АВС взята точка О. Отложите от точки 0 векторы: 1) О — ОА; 2) -ОС-ОВ; 3) ОА — О~~+ОС. 10. Дан тетраздр АВСО.
Докажите, что АЮ+ВС=В1х+АС. 11. Дан параллелограмм АВСЮ и вне его произвольная точка О. + + + + Докажите, что ОА'+ОС=ОВ+ОЮ. 12. Пусть М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС и Π— произвольная точка пространства. Докажите, что выполняется равенство ОМ=(ОА+ОВ+ОС)/3. ' 13. Дан параллелепипед АВСОАЗВ,С,О,. Укажите, какие нз следующих трех векторов комплапарны 1) АВ, ВС, РЛ,; 2) АА„ В В, СС,; 3) АВ, ВС, СС,; 4) АВ, Ах!, АА; 5) АВ, — + — 3 А,Ю3, СС,; 6) В,В,, хЮ3, АА,; 7) АВ, 1!С, А,В, . 14. Назовите три упорядоченцые пары вершин тетраэдра АВС11, задающие коллннеарные векторы, и по три упорядоченных пары, задающих компланарные и некомпланарные векторы. 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
