Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Дан параллелепипед АВСОАЗВЗС3133. Разложите по некто+ — Ф Ф вЂ” 3 + рам Р=АВ, д=А1У и г=АА, векторы: 1) АР2; 2) АС,; 3) АМ, где М вЂ” середина ВВ„4) АФ, где Аг — середина В,С; 5) АР, где Ра11 С, и 1! Р РС,=34. 16. Дан тетраэдр АВС2!. Ме(!наны грани АВС пересекаются в точке М. Разложите вектор ПА по векторам ЮВ, 1УС, РМ.
17. Дан параллелограмм АВСП и вне его точка М. Разложите по векторам МА =а, МВ=Ь, МС=с векторы; 1) МО, где 0 — точка 3 — Ф пересечения прямых Ас и ВВ5 2) мп; 3) м23~, где 2У вЂ” середина отрезка А2(!. 18. Постройте точки: А(2; 3; 4); В( — 2; — 3; — 4); С(-2; — 3; 4); Щ2; -3; 4); Е(-2; 3; 4); Р(2; 3; — 4); 6(0; О; 2); Н(3; 0; — 4). 19. Назовите координаты вектора 1) Зс'+2ух — 5/с; 2) 2с'-(с; 3) 0,5с'+.„/2у; 4) 3(с; 5) -4ю'; 6) О. 20. Даны векторы: 1) а 23'+Зу — 5)с; 2) Ь= — с-2у+3)с.
Запишите их координаты. 21. Постройте векторы: 1) а=(2; 3; 4); 2) Ь=(2; — 3; — 4); ' 3) с=(3; -1; — 4); 4) 31=(-5; -4; 3). 22. Постройте вектор АВ; если 1) А(2; — 3; 4) и В(-3; 2; -5); 2) А(0; — 2; 3) и В(5; 0; — 4). 23. Зная координаты точек А (4; — 3; 2) и В(-2; 4; — 3), М(0; 5; 1) и Ас(-4; 0; — 3), найдите координаты векторов АВ и МФ.' 24. Зная координаты векторов а=(2; 3; -4), Ь=( — 1; 2; 1) и с (3; 0; 2), найдите координаты векторов: !) а+Ь; 2) а+с; 3) а+Ь вЂ” с; 4) За; 5) — а+2с; 6) 2а+ЗЬ-2с. 25. Пользуясь условием коллинеарности двух векторов, проверьте, коллинеарны ли векторы: 1) а=(2/5; — 1/3; 4/5) н Ь= 338 (3/5. 1д бф; 2) с=( -б; 1!3; 3) и =( — ' 3 ' ! ) 26. П и.
каких значениях л и р векторы а=(-3; л; 4, и риЬ=(-2; 4; р) коллинеарныу 27. Вычислите !асину вектора: 1) а= -с— =!+2Я вЂ” Зй; 3) с=!'-Е; 4) Ы=-Зйх 28. Вычислите длину вектора а+Ь, если: 1) а=,— 1! Ь=(-2; 2; — 1); 2) =(1; -2; 3), Ь=(-1' 2; -3). 29. Вычислите длину вектора За+ 2Ь, если а=(2; 0; О, Ь'=(1; 1:. -1). 30. Вычислите длину вектора АВ, если 32. Отрезок АВ задан координатамн своих концов А 4; 2; — и В(6; -4; — !). Найдите координаты точки С, делящей этот отрезок пополам. 33. О АВ задан координатами свовх концо ов А,З -2; — 5 трез ок С спящей его в и В(7; б; — !).
Найдите координаты точки С, делящ отношении !с=АС:СВ=1:3. ан т е ольника, если 34. Найдите точку пересечения медиан треугольника, ес вершинами его служат точки С(-12; —; ). (- — 1' бг ые об аз т с базисными 35. Найдите косинусы углов, которые о р ую векторами следующие векторы: 1) а=с'+ '+!с; 2) Ь= 4; 3) с= — у-3(с; 4) 31=3!. 8 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ПРОСТР РОСТРАНСТВЕ Скалярное произведение векторов а= х„у,; =-(;;х) я Ь=,х,;ух, г,), заданных своими координатами, находи тся по муле (2!.!2) а . Ь=х 2хх+усуя+хсхг.
—; г ямчясляется по Угол между яехтсрамя а=(х,; у,; хн я Ь=,х; у,; рмуле сс3я а Ь 3 2+Усух+хсхх ' ~. ~ ~32,2Я-,,Г,,— *,,2ЯХХХХ Условие перпендикулярности векторов а=(х,;у,;х,) я Ь= х. имеет яид (2!.!4) хсхх+Усуя+х хх=о. 36 Нанти скалярное произведение векторов а (4 3 1) и Ь=(5; -2; -3). 0 По формуле (2!.!2) находим а Ь=4 5+( — 3) ( — 2)+1 (-3)=23. ° 37.
Даны векторы а=-4! — ЗХ+5/с и Ь=— — — "= -27+3 +)с. Найти угол между ними. 0 По формуле (2!.!3) получим — 4 ( — 2)+(-3) 3+5. ! 2.„/7 2,,/7 '3-3СД-ЗС)3',22-2Г+3 3 2+22 35 339 Дань! вершины треугольника А ( — 1; 4; 1), В(3 4 С(5; 2; — 1). Найти АВС. О Находам координаты векторов ВА и ВС; имеем ВА=(-4; 0; 3), ВС=(2; -2: !). Угол АВС равен углу между векторами ВА и ВС, поэтому соз(ВА, ВС) — — —. ° -+Л вЂ” ' ( — 4) 2+О (-2)+3 ! ! ,с-э~о~1*, 1'ссг ~Р 39.
Найдите скалярное произведение вектороьт 1) а=(3; — 2; 1) и Ь = (4; — 7; — 3); 2) с= (2/3; — 5/6; 1/4) и сг'= (3/2; 6/5; 4/3). 40. Даны векторы а = г'+ 3/ — /с, Ь = — 2з — 4/'+ 3/с и с = =4с — 2/'-3/с. Найдите скалярное произведение суммы двух первых векторов на третий. 41. Дан куб АВСОАзВзСзЮз. Найдите углы между векторами: 1) АЮ н ВВ,; 2) ВС и /ззСз; 3) А/Уз и ВА,; 4) В/У и /УСг; э/ СВ, и АА,. 42. Найдите угол между векторами: 1) а=3! — 4Ь и Ь=57 — 12/с; 2) а =(- 2; 2; — 1) и Ь =(- б; 3; 6); 3) а+Ь и а- Ь, если а = (1; — 1; 2) и Ь =(О; 2; 1). 43. В треугольнике АВС, где А (1; 1; 5), В( — 2; О; 7), С( — 3; — 2; 5), найдите АСВ. 44.
Проверьте, перпендикулярны ли векторы: 1) а=(3; ΄— 6) и Ь=(4; 7; 2); 2) с=( — 3; 2; 5) и с/=(б; -3; 1). 45. Дан треугольник: А(2; 4; 5), В(-3; 2; 2), С(-1; О; 3). Покажите, что САЗ.ВС. 46. Даны векторы а=( — 2; у; 1) и Ь=(3; — 1; 2). Найдите координату у, если известно, что аЫ б 3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Векогорным произведением двух векторов а и О называется третий вектор с, удовлетворяющий условиям (рис.
163): !) модуль вектора с равен произведению модулей векторов а н Ь на синус угла между ними, т. е. (с1=(о! 1Ь1 г!п(а, Ь ); (2!.!5) 2) вектор с перпендикулярен плоскости, определяемой векторамн а и Ь; 3) вектор с направлен так, что кратчайший поворот вектора а к вектору 6 виден из конца вектора с происходящим против часовой стрелки (т.
е. векторы о; Ь н с образуют правую упорядоченную тройку, яли правый репер). а Векторное произведение о на Ь обозначается Рнс. !63 символом охЬ. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма Я, построенного на векторах а н Ь.
Векторное произведение выражается формулой ахЬ=Ве, (2!.!6) где е — орт направления ахЬ. Векторное произведение векторов а=(х гс Ус ' гс) л - (хгс Угс гг) ; г ), ззданных своими координатами, вычисляется следующим образом: =(У,гг-г,у,)7+(г,хг хггг)/+(гсуг — Уггг)/с. Физический смысл векторного произведения состоит в следующем. Если à — сила, а г — радиус-вектор точки се приложения, имеющий начало в точке О, то момент силы р относительно точки О есть вектор, равныя векторному произведению г на Р, т. е.
шо(р)=гхР. 47. Найти векторные произведения: 1) з7х/! 2) /'х/с; 3) Ьх/; 4) /тх~', 5) /сх/! 6) 7х/с, где с', /', /с — орты правой системы координат. О !) Вектор 7х7 колллреарен /с и является единичным, так как площадь параллелограмма (квадрата), построенного на векторах 7 и~', равна единице. Векторы с, /, Е образуют правую упорядоченную тройку, поэтому Аналогячно находим: 2) 7х/с=-с'; 3) йх7=Я 4) 7х7= — (ь 7 и образуют правую тройку); 5) йх/=-С; 6) 7хк= — /.
4в 48. Дано: )а !=4, )Ь 1=5, (а, Ь)=ЗО'. Найти ахЬ, О По формуле (2!.!5) находим модуль векторного произведения: 1ахБ1=1а1.1Ь1 э!и 30'=4 5 (!/2)=10. По формуле (2!.16) имеем ахЬ=!Ог, где е — орт направления ахЬ. 4! 49. Найти векторное произведение векторов а=37 — 2/+5/с и Ь = 27 — /'+ 3/с. О По формуле (21.!7) получим ахЬ= 3 — 2 5 = с+ з+ 50. Найти плошадь параллелограмма, построенного на векторах а=27+/+2/с и 6=37+2/'+2/с. О Мо ль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на зтнх векторах. По форму ( .
7) оду фо ле (21.!71 находим 7/ Ь' ахЬ= 2 ! 2 = 7+ /+ Ь= — 27+2/+/с. т ) г) С-зу+2'+н=з. Я=З(кв. ед.). ° 51. Даны сила Р=(2; 3; — 1) и точка се приложения А(-1; — 1; 3). Найти момент силы относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями. ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА () Находим векторное произведение радиус-вектора г=( — 1; — 1; 3) точки приложения силы на силу Р=(2; 3; — 1): 11 вариант о(~)=г" р= — 1 — 1 3 = 3 у+ 1 л+ 1 — 1 Р = — 81 ь5у — Е Находим модуль момента: ! (г)~ Д-о) +5 (-о' 90 9оНаправляющие косинуса вектора т (гу таковы: сова=-81949и-0843; соз1)=519,49и0,527; сову= — 1/9,49и — 0,105. Углы, составляемые моментом силы с координатными осями, равны а=147',5; 9=58',2; 7=9б'. Контрольное вычисление: созга+сизо()+созгт=( — 0843)'+ +0,527 +( — 0,105) =1.
° 52. Дано: !а)=4, )Ь |=6, (а; Ь)=ср. Найдите ахЬ, если: 1) ср=О; 2) ср=90', 3) ср=150'. 53. НагЗците векторное произведение векторов а=2у'+Зут — 4)с н Ь=с — ут+ЗУс, Я. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах а=у+ут — ус и Ь=2с — у+2ус, 55. Найдите площадь треугольника по координатам его вершин: А(2; -3; 4), В(1; 2; -)) и С(3; -2; 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
