Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 64
Текст из файла (страница 64)
° 11. Даны точки А (3; -2; — !), В(0; 0; 2), С( — 3; 1; О), 27 (-4; -2; 2,5). Укажите, какие из них принадлежат плоскости 2х — Зу+ 4г — 8 = О. 12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (3; 4; 5) и перпендикулярной вектору л=(-1; -3; 2). 13. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Мо (2; — 3; — !) и перпендикулярной вектору М,М,„где Мг (3; 4; 1) и Мг (1; -2; -3). 14. Даны точки А (3; — 2; 4) н В(1; 4; 2), Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору АВ. 15. Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ог и проходщцей через точку Мо ( — 2; — 3; — 1). 16, Составьте уравнение плоскости: 1) параллельной плоскости хОу и проходащей через точку Мо (2; — 2; 3); 2) параллельной плоскости хОг и проходящей через точку Мо ( — 3; — 2; — 4) 17.
Составьте уравнение плоскости: 1) проходящей через ось Ог и точку М (1; 1; 1); 2) проходящей через ось Оу и точку М ( — 2; — 3; — 4). 346 18. Составьте уравнение плоскости: !) параллельной осн Оу и проходящей через точки М, (1; — 2; — 1) и Мг (3; 2; — 4); 2) параллельной оси Ох и проходящей через точки М, ( — 4; 2; 5) и Мг ( —,5 — 1! 3) 19. Составьте уравнение плоскости: 1) проходящей через точку Мо ( — 4; -3; 1) и параллельной векторам а=(5; 2; — 3) и Ь= =(1; 4; — 2); 2) проходящей через точку М ( — 1; — 2; 3) и параллельной плоскости 2х — Зу+г — ! =О.
20. Составьте уравнение плоскости: !) проходящей через точки А (1; — 4; — 3) и В (4; — 2; — !) и перпендикулярной плоскости х — у — Зг+7= 0; 2) проходящей через точки М, (2; — 1; — 3) и М, (-3; 4; 1) и перпендикулярной плоскости х — у — За+2=0.
21. Составьте уравнение плоскости, проходящеи через точку М( — 1; — 1; 2) и перпендикулярной плоскостям х+2у — 2г+4=0 и х-2у+г — 4=0. 22. Найдите угол между плоскостями х — у+к+1=0 и 2х+Зу— г — 3=0. 23. Найдите расстояние: 1) от точки А (1; — 2; 1) до плоскости 10х — 2у+11г — 10=0; 2) от точки А (2; 3; — 2) до плоскости бх— -7у-бг-124=0. 24. Найдите расстояние между параллельными плоскостями х-у+2г — 4=0 и х — у+2г+!0=0. б 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ !.
Уравнения орвмои в ороетрааетве. Уравнение прямой, проходящей через данную точку Мв (хо! уо' го) параллельно вектору 9=(т; л; р), имеет вид к=го+а! (22.7) и называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Здесь г — радиус-вектор любой точки М (х; у; г) прямой (рис. 165); го — радиус-вектор точки Мо (хо! уо' го) а г — параметр, принимающий всевозможные действительные значения. Вектор 9 называется налрав- М яяющим вектором прямой, а его координаты (т. е, числа т, л, р) — налравяяюигиии коэффициентами прямой.
Если а уравнении (22.7) перейти к координатам векторов, то получаются параметрические уравнения прямой: Рис. !65 к=ко->эт, у=уо+т, г=гв+РЬ (22.8) Если исключить из уравнений (22.8) параметр О то получаются канонические уравнение прямой; (х — ко)(т=(у — ув)(п=(г — го) р. (22.9) Уравнения прямой, прокодяи!ей через две точки М, (х~', у~,' гэ) и Мг (кэ! уэ; гэ) имеют вид (к — кз)/(кэ — х,)=(у — у,игэ — у,)=(г — гэиг,— г,). (22.!О) 347 Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, т. е.
прямая определяется совместным заданием системы двух линейных уравнений: ! А !я+ В!у+ С!г+ (7! О, (22.11) Агх+ В!у+ Сгг+О! О. Уравнения (22.11) называются общими уравнениями прямой. 2. Наиравлвввцие носявусы прямой. Направляющие косинусы вектора 9=(т; л;р) называются направляющими косинусами прямой. Так как за направляющий вектор прямой можно взять я вектор -9=( — т; -л; — р), то прямая имеет две тройки направляющих косинусов: т л сова= к, сов 11= ж я~сгр' (22.12) сову=~ р с!т* г' 3.
Условии варвллелыюсти в вервевдвнулвриос!в двух вржных в яростравстве. Угол ыевщу двуми нрвмымн. Пусть заданы две прямые (х-х,)(т, =!у — у!)~(л! =(г — г!)(р! и (х — х!)(т! =(у — у !)(л! =(г — г!)(р! Тогда условие параллельности этих прямых записывается в виде т!(т! л,(пг=р!(р!. (22.13) условие перпендикулярности — в виде (22.14), т!тг+лспг+р!рг= О, а угол !р меэщу ними вычисляется но формуле т!тг+и!лэ+р!Р! сов!у-х (22,1э! 25. Составить уравнения прямой, проходящей через точку Мо (2; 1; 3) и параллельной вектору д=(4; — 5; -6). О Используя равенства (22.9), найдем канонические уравнения примой: (х -2)(4 =(у — 1)((-5) = (г — 3)((-6). Если зти уравнения записать в виде системы, то получим общие уравнения прямой: ! (х-2)(4=(т-1)((-5)„5х+4у-14 О, или (у-1)/5 = (г-З)(6, бу — 5г+9=0.
® 26. Составить уравнения прямой, параллельной осн Ох н проходящей через точку М(1; 1; 1). О Направляющий вектор 9 прямой коллинеарен оси Ох! следовательно, его проекции на оси Оу и Ог равны нулю. Вектор !! может иметь любое из лвух возможных направлений и любую длину. Примем !!! )=1 и выберем направление, совпадающее с положительным направлением оси Ох; тогда 9=(1; 0; О). Составим канонические уравнения прямой: (х-1)/1=(у — 1)/О= (у-1=0, =(г-1)(О.
Общие уравнения прямой имеют вид 4( (г — 1=О. вв 27. Составить уравнения прямой, проходжпей через точку А ( — 1; 2; 1) и параллельной прямой (х — 3)/2=(у — 2)/З=(г+2)/1. О Так как искомая прямая параллельна данной, то за ее направляющий век!ар можно принять направляющий вектор 9=(2; 3! 1) данной прямой. Используя теперь равенства (22.9), получаем канонические уравнения искомой прямой: (х+1)/2=(у — 2)(3=(г — 1)/1. й! 28.
Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку А (2; — 3; — 2). О За направляющий вектор примем вектор !1=(2; — 3; -2). Используя формулы (22.8), получим х=2+2г, у= — 3 — Зс, г= — 2 — 2!. ° 29. Составить уравнения прямой, проходщпей через точки А (1; — 2; - 1) и В (3; 0; 4).
О По формулам (22,10) получим (х — 1)((3- 1) ='(у+2)/(0+ 2) =(э+ 1)((4+ 1), или (х — 1)/2 =(у+ 2)(2 =(г-~-1)(5. ° 30. Вычислить' углы, образуемые прямой (х-2)/3=(у+3)/2= =(г-1)/6 с координатными осями. О По формулам (22.12) получим; 3 3 2 6 — ! —. ° ! 2 ! !' 7' Т 31. Вычислить острый угол между двумя прямыми (х — 3)/2= =(у-1)/1=(г+4)/2 и (х+1)/12=(у+3)/3=(г — 2)/4. О Полагая в равенстве (22.15) т!=2, п,=1, р! — — 2 и т! — — 12, л,=З, р,=4, находим сов !р — 0,897; (р = 26,2. ° 2 12+1 3+2 4 '2' l т2' 'Т2 ! ! 32.
Составьте уравнения прямой: 1) проходящей через точку Мо (3; 0; — 2) и параллельной вектору с(=(2; 1; 1); 2) проходящей через точку М! (1; 0; -2) н параллельной вектору !(=(2; 1; 0). 33. Составьте уравнения прямой, параллельной оси Ог н проходящей через точку М(2; — 1; 3). 34. Как расположена прямая относительно координатных осей, есля она имеет направляющий вектор: а) 4=(0; 0; 1); б) !(=(О; 1; 0); в) ат(1; 0; 0)? 35. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку А'(2; -3; — 1) н параллельной прямой (х — 4)/4=(у+1)/3=(г+3)/2. 36.
Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку М(1; 4; -3). 37. Составьте уравнения прямой, проходящей через точки А'( — 2; — 1; -3) и В (О; 2; 1). 38, Вычислите углы, образуемые прямой (х — 1)/4=(у — 4)/3= =(г+2)/12 с координатными осями, 39. Докажите, что прямые (х — 1)/( — 2) =(у+2)/3=э/(-4) и (х+2)/5 (у-1)/6=(г — 5)/2 взаимно перпендикулярны.
40. Вычислите острый угол между двумя прямыми (х — 1)/3= = (у+ 4)/( — 2) = (г — 2)/4 и (х+ 3)/2 = (у — 1)/3 = (г+ 1)/( — 2). 349 й 3. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ Угол )р мехщу прямой (х-а)/т = (у — Ь)/и = (г — с)/р и плоскостью Ах+Ву+Сг+!7=0 вычисляется по формуле !Ат+Вп+Ср! НП )Р (22.16) , 2' ° 3 С~2,~.
„' 3~ Условие параллельности прямой (ч) и плоскости (чч) записывается в виде (22.17) Ат+Вп+Ср=О, а условие перпенднкулярности — в виде А/т=В/п=С/р. (22.18) вид Условия, при которых прямая (ч) прннадлевжт плоскости (чч), им т ею Аа+ ВЬ+ Сг+ И = О, Ат+ Вп+ Ср = О, (22.!9) Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую < А, х+ В) у+ Сгг+ О 2 = О, Азх+Вгу+Сгг+Вг=о, имеет внд А)х+В)У+С)г+В)+й(лгх+Вгу+Сгг+Вг)=0, (2220) где 73 — любое действительное число. 41. Вычислить угол между прямой (х — 2)/З=(у+1)/4=(г-3)/2 и плоскостью х+2у — За+4 О. О Воспользуемся форм!шой (22,16).
Так как А=1, В=2, С=-З, т 3, п=4, р=2, то !1 3+2 4+(-3) 2! з)п)У -0248. )9=14'4 ° Г 22(-3) )3 3 2 42. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 2; — 3) перпеидикулярно прямой (х+ 2)/4 =(у- 1)/3 =(к+ 3)/2. О Очевидно, что в качестве нормального вектора и искомой плоскости можно взять параллельный ему направляющий вектор 9=(4; 3; 2) данной прямой. Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку М перпендшулярно вектору 4) 4(х+1)+3(у-2)+2(г+3)=0, или 4х+Зу+2г+4=0. ° 43.
Через точку М (1; 3; 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости х-2у+2г-3=0. Вычислить направляющие косинусы этой прямой. 350 О Примем за направляющий вектор искомой прямой параллельный ему нормальный вектор п=(1; — 2; 2) данной плоскости. Зная точку м(1; 3; 2), через которую проходит прямая, и направлвгощий вектор этой прямой, запишем ее канонические уравнения: (х — 1)/1=(т-3)/( — 2)=(г-2)) . Направляющие косинусы прямой находим по формулам (22.12): 1 1 2 2 3= — -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
