Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 60
Текст из файла (страница 60)
25. Через точку на боковой грани призмы проведите сечение, параллельное: 1) плоскости основания призмы; 2) плоскости данного диагонального сечения призмы. 26. Две прямые, проведенные из точки Я, пересекают три В, В. параллельные плоскости соответственно в точках А А, А В м з н з ,. Извеспю, что А,А,=4 см, В,Вз=9 см, АзА, =В,В,. Вычислите А,Аз и В,Вз.
27. В тетраэдре ЯАВС проведены сечения А,В,С, и А,В,С„ плоскости которых параллельны грани АВС. Известно, что ЯВ,=А,Аз=6 см, С,С,=В,В=12 см, ЯА,=4 см. Вычислите ЯА, ЯВ, ЯС. 8 2. ПЕРПЕНДИКУЛИРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ 1. Периеидвкулирность прямой я плоскости 28. Дан параллелепипед АВСОА,В,С,Р„причем М лежит на ребре АВ. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой АВ.
29. Пусть АВСР— параллелограмм, Π— 'точка пересечения его диагоналей; ЯА=ЯС, ИВ=ВО, где Я вЂ” точка вне плоскости параллелограмма. Докажите, что ЗОЛ.пл. АВСО. 2. Расстояние от точна до илоскоетя 30. Диагональ куба равна т. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости, противолежашей грани. 31. Сторона правильного треугольника равна п, точка М расположена вне плоскости треугольника и отстоит от всех его вершин на расстоянии 1. Найдите расстояние от М до плоскости треугольника.
32. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Точка М находится на расстоянии А от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найдите это расстояние. 330 3. Общий перпеиднкуляр скрещивающихся прямых Отрезск, имеющий концы яа двух скрещивающихся прямых и перпепцикуляриый им, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых.
Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых является расстоянием между этими прямыми. 33. Дан прямоугольный параллелепипед АВСОА,В,С,О,. Укажите общий перпендикуляр прямых: 1) АВ н РР,; 2) ВС и АА„З) А,Р, и ОС. 34. В кубе АВСРА,В,С,Р, найдите расстояние между прямыми ВВ, и АС, если ребро куба равно а.
4. Теорема о трех перпендикулярах 35. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см проведен перпендикуляр длиной 16 см к плоскости треугольника. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы. 36. Стороны треугольника равны 51, 30 и 27 см. Из вершины меньшего угла треугольниха проведен к его плоскости перпендикуляр длиной 10 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до противолежащей стороны треугольника, 37. Диагонали ромба равны 60 и 80 см. В точке пересечения диагоналей к плоскости ромба проведен перпендикуляр длиной 45 см. Найдите расстояние от этой точки до стороны ромба.
38. Точка М находится на расстоянии 11 см от каждой стороны равнобедренной трапеции с основаниями 16 и ЗО см, Вычислите расстояние от точки М до плоскости трапеции. 39. Точка М равноудалена от всех вершин правильного треугольниха со стороной а и находится на расстоянии А от плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки М до стороны треугольника. 5. Угол между иаклоииой и плоскостью 40. В прямоугольном параллелепипеде АВСРА,В,С,О, найдите углы наклона диагонали АС, к плоскостям граней, имеющих общую вершину А, если АВ=ВС=а, АА,=па.
41. Иэ точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные под углом 45' к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120'. Вычислите расстояние между концами наклонных. 42. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов образует с плоскостью, в которой лежит другой катет, угол 45 . Докажите, что гипотенуза образует с этой плоскостью угол ЗО. 43. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол 45', а прямая АС, лежащая в плоскости а, составляет угол 45' с проекцией наклонной АВ. Докажите, что ВАС=60 .
331 44. Докажите, что если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 60'. 6. Доуграппыс углы 45. На грани двугравного угла в 60' дана точка, удаленная от ребра на расстояние т. Найдите расстояние от этой точки до другой грани. 46. Внутри двугранвого угла 120' дана точка М, удаленная от каждой из граней на расстояние т. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
47. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскостя их отклонены ва 60". Общее основание равно 12 см, боковая сторона одного треугольника равна 10 см, а боковые стороны другого взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников. 48.
Отрезок, длина которого равна а, упирается своими концами в грани прямого двугранного угла, образуя с каждым из них угол и. Вычислите проекцию этого отрезка на ребро двугранного угла. 7. Порпспцпкулпркыс плоскосгп 49, Концы отрезка АВ лежат на двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Длины перпендикуляров, опущенных из точек А и В на линию пересечения плоскостей, соответственно равны а и Ь, а расстояние между их основаниями равно с. Вычислите длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.
50. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 4 см; боковое ребро 8 см. Через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная основанию. Вычислите площадь сечения. 8. Площадь проскппк плоской фпгуры 51. Площадь плоского многоугольника равна 150 см'. Найците площадь проекции этого многоугольника на плоскость, составляющую с плоскостью многоугольника угол 60'. 52. Дан треугольник АВС со сторонами а=13 см, Ь=14 см„ с=15 см. Через сторону ВС проведена плоскость и под углом 30' к плоскости гзАВС. Найдите площадь проекции этого треугольника ва плоскость а.
53. Найдите площадь плоского многоугольника, если площадь его проекции равна 20 м' и двугранный угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции равен 45'. 54. Найдите площадь проекции круга на плоскость, образующую с плоскостью круга угол 30'. Радиус круга равен 2 м. 9. Трсхгроппыс углы 55. 1) Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла — прямые, то и противоположные им двугранвые углы— прямые.
332 . 2) Докажите, что если в трехгранном угле два двухгранных угла — прямые, то противоположные им плоские углы— прямые. 56. Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60'. На одном из его ребер от вершины отложен отрезок, длина которого равна а, и из конца отрезка опущен перпендикуляр на противолежащую грань, Найдите длину этого перпендикуляра. 57. Каждый из плоских углов трехгранного угла равен а. Вычислите угол между ребром и противолежащей гранью.
8 3. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 58. В кубе АВСОА,В,С,г1, проведите сечение через середины ребер А,О, и О,С, и вершину А. Вычислите площадь этого сечения, ,если ребро куба равно а. 59. Из точки О, лежащей вне двух параллельных плоскостей к и )1, проведены три луча, пересекающие плоскости ц и (1 соответст- венно в точках А, В, С и А„В,, С, (ОА < ОА,). Вычислите периметр треугольника А,В,С„если ОА=т, АА, =л, АВ=с, АС=Ь, ВС=а.
60. Точка М лежит вне плоскости прямоугольного треуголь- ника АВС (С=90'); МА.~АС, МСЗ.СВ. Докажите, что МА.1пл. АВС, 61. Меньшее основание трапеции лежит в плоскости сс, которая отстоит от большего основания трапеции на расстоянии 10 см; основания трапеции относятся, как 3: 5. Найдите расстояние точки пересечения диагоналей трапеции от плоскости и. 62. В треугольнике АВС угол  — прямой и ВС=а. Из вершины А проведен к плоскости треугольника перпеццикуляр АО. Найдите расстояние от точки О до катета ВС, если 23С=лс. 63.
В треугольнике, стороны которого равны 10, 17 и 21 см, из вершины большего угла проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Вычислите расстояние от конца этого перпендику- ляра, лежащего вне плоскости треугольника, до большей стороны треугольника. 64. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 32 см. Из точки О, делящей гипотенузу пополам, проведен к плоскости ,треугольника перпендикуляр 0Е, равный 12 см. Вычислите расстоя- .ние от точки Е до каждого катета.
65. Через вершину квадрата проведена наклонная к его плоскости, составляющая угол а с каждой из сторон квадрата, проходящих через эту вершину. Найдите угол между этой наклон- ной и диагональю квацрата. 66. Через сторону ромба проведена плоскость, образую- щая с диагоналями углы а и 2и. Вычислите острый угол ромба. 67. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине ей через основание треугольника проведена плос- 333 1 вариант 1) Из центра крута, описанного около прямоугольного треугольника с острым углом 30', вогставлен к его плоскости перпендикуляр, длина которого равна б см.
Конец перпеидикулара, лежащий вне плоскости треугольника, удален от большего катета на !О см. Вычислите гипотенузу треугольника. 2) Два равнобедренных треугольника АВС и АС)1 имеют общее основание АС, двугранный угол АС равен 60', а угол, образованный стороной ВС с плоскостью АОС, равен 45'. Сторона ВС равна 6 см.
Вычислите площадь треугольника АВС. 334 П вариант 1) На плоскости дан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см. В пространстве дана точка, удаленная от каждой вершины треугольника на 1О см. Вычислите расстояние данной точки от плоскости. 2) Основание АС равнобедренного треугольника АВС лежит в плоскости а, а вершина В удалена от плоскости а на 3 гг2ем. Вычислите плошадь треугольника АВС, если АС=18 см и плоскость треугольника АВС наклонена к плоскости и под углом 45'. кость, образующая с каждой из его боковых сторон угол р.
Найдите расстояние этой плоскости от верпппгьг треугольника. 68. . Отрезки, заключенные между двумя параллельными плоскостямн, относятся„как 2:3, и образуют с плоскостями углы, отношение которых равно 2. Вычислите эти углы. 69, Два равных квадрата имеют общую сторону; их плоскости образуют двугранный угол, равный а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
