Практические занятия по математике, Богомолов Н.В. (2003) (в ВМ-2 возможно тоже самое) (1153548), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Область О в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств -1<х<1, — /)Г-~<у< /г)-хг. Согласно формуле (29.!5), получим )1 -в' 2 з(х)/у = р/х (3 — х — у) )/у= Зх-ху- — )/х= в -1 -.à — р -1 — /) — в 1 1 [)р«З-Р-и \-*)р. Первый интеграл вычисляется по формуле )1-х Ых=-агсз(пх+- !1 — х, ) — з 1 х р- — з 2 2 452 см. гл. 11, пример 80(2).
Второй интеграл вычисляется подстановкой 2 1 — хг=;, — 2хз/х=)/2; следовательно, 2 )/2= — 2 =:(1 —.г ) " )и зм - .г з)2 3 3 Окончательно находим «=[) в*р)*«З — * «-))-* ) ' ) ) ) )р. )- ° 3 -! 41. Вычислить объем шара радиуса Я. си рр Вр *'рр'р'=в' * - в'-)р+)з) в силу симметрии сферы относительно начала координат вычислим 1/8 объема шара, распологкенную в 1 октанте. Проекция части сферы, принадлегкащей ( октанту, на плоскость хОу есть 1/4 часть круга х +у =Юг, ограниченная г г осями Ох н Оу.
Для упрощения вычислений интеграла перейдем к полярным координатам. Так как х=гсоз)р, у=го!пч), то х +у =г, г=/!. Полярный угол г з изменяется от О до к/2. Область О в полярных координатах запишем в виде системы неравенств 0«р<я/2, 0<«</!. Согласно формуле (29.15), получим р=[рр[,а -«, . о в о о Вычислим внутренний интеграл, применяя подстановку А — г = и; 2 2 ! отсюда — 2гр/г=)/и, гг/г= — -з/и, и„=/(, и,=О, т. е. г 2 и о Я вЂ” г г)/г= — [ и з/и=-/! . г'гизз 2[ 3 Вычислим внешний интеграл: з 1 з /!з,/ /(з 8 3 [ 6 о з 4 Значит, Р'=8 -яЯз=-яйз.
° 6 3 42. Вычислить объем гела, ограниченного поверхностями 2=9 — х — у', х +у' — 2у=О, к=О. С) Данное тело есть вертикальный цилиндр, ограниченный сверху параболоицом 2=9 — хг — уг, 'Сбоку цилиндром хг+уг — 2у=О, снизу 'кругом х'+у' — 2у=О. Так как область интегрирования является кругом, а подынтеграпьная функция зависит от х'+у, то перейдем к полярным координатам.
Уравнение окрупностн примет вид г'созг)р+г'япг)р-2гпп)р=О нлн гг — 2гип)р=О, откуда г, =О, «2=22!а)р. Полярный утоп )р изменяется от 0 до и. Область Р запишется в виде системы неравенств 0<)р<к, 0<г<22!п)р, а подынтегральная функция примет вид 2=9 — (хг+у )=9 — г . используя г формулу (29.15), получим 453 2 ° ! О тг(хб(у (9-гт)гдгбйр= дбр (9г-гз)б!г о о О О О О 1-соя2 "2 6 (!8,2, б ~ 1-соя26р (1-сбм2462 ~ 2 о о — 1+ — + — 6(у 6(2. (29.17) о 160*) Если поверхность проектируется па плоскость хОу(у=О), та уравнение поверхности следует решить относительно переменной у н формула примет внд — (9-9соа26Р-1+2соз26Р-соз226Р) 6(6Р о О 1+ сав 452 11 — 8 — 7соа29- ~гдр= 1,5 (куб,ед,) ° 2 о 8 7.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ Если поверхность задана уравнением 2=/(х,у) и проектируется в область Р плоскости хОу (2=0), то площадь Я поверхности вычисляется по формуле !+ — + — 424у Оьог> (29.16) Если поверхность проектируется на плосвкть у02 (х=О), то уравнение поверхности следует решить относительно переменной х н формула примет внд 43. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями: 1) 2=6, у=хз, у=4, х=О, 2=0; 2) 2=3-х-у, х=О, у=хз+1, у 2, 2=0; 3) 2=4-хз-уз, х=~2, у=+2, 2 0; 4) 2=4х+1, у=хз, х О, у 4, 2=0' 2 > б б 5) 2 4-х, х+у-4=0, х О, у=О, 2=0; 6) 2=2-х, уз 9х, у Зхз, 2=0; 7) к=хз+ут, х+у=2, х=О, у=О, 2=0; 8) к=хт+уз, х=О, х=з, у=О, у=2, 2=0.
44. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями (для вычисления интегралов используйте полярные координаты): 1) 2=16 — (х +у ), 2=0; 2) 2= ~ха+уз, тз.!.уз=9, 2=0; 3) к=хз+у', х'+уз=4, у=х, у= /Зх, 2=0; дуга окружности хз+у2=4 лежит в 1 квадранте; 4) 2=6 — хз — уз, хз+у2=4, 2 0; 5) х=хз+уз, хз+уз+22 12, 2 0; 6) 2=12-хз-уз, 2 3. Я= 1+ — + — 6(хдт. (29.!8) 45. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости х+Зу+22=6 с координатными плоскостями.
С! Найдем отрезки, атсекаемые на координатных асях данной плоскостью: Х У 2 -+ — +-=1, б 2 3 Рнс. 2!7 виде системы неравенств 0<х<6, 0<у<2 — х.-Тогда 3 ! 6 2 2 2 2 о~ ог1 о о б ~~2--х !42=3 /!4 (кв. ел), ° ,/Д Г! 1 о 46. Вычислить плошадь части поверхности пилиндра х +у =16 2 2 заключенной между плоскостями 2=0, 2=4х, у=О. С! Искомая поверхность лежит в 1 актаите (рнс. 218).
Проехпня поверхности на плоскость х02 (у=О) есть прямоугольный треугольник, в катарам ОА=х=4 н уравнение гипотенузы ОВ имеет внд 2=ах. Следовательно, область Р в плоскости х02 определяется системой неравенств 0<х<4, 0<2<4х, 455. х=б, у=2, 2=3 (рнс. 217). Чтобы воспользоваться формулой (29.16), решим уравнение данной плоскости относительно переменной т и найдем частные 1 3 производные; т = 3- — х — -у, 2 2 ' дт 1 дт 3 дх 2' ду 2 При 2=0 имеем х+Зу=б, 1 откуда у=2--х; следовательно, в 3 плоскости 2=0 область Р запишется в Рис. 218 Рис. 219 Поскольку заданная поверхность спроектирована на плоскость хО«, для вычисления площади поверхности применим формулу (29.18).
Из уравнения дг цилиндра получим у= /16 — х«(у>0). Находим частные производные — = дх 2««ду , — =О. Тогда 2 /Гб — тз /!6 — «~ Для вычисления интеграла применим подстановку 16 — «з=г н окончательно получим 8=64 (кв. ед.) Ф 47. Вычислить площадь части поверхности цилиндра хз+гз=9, вырезанной цилиндром х'+у«=9 (рис. 219). О Искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров х +у =9 и х +г =9.
В эти уравнения поверхностей входят квадраты 2 2 г переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно ка1кдой нз координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в 1 октанте. Область интегрирования Р представляет собой 1/4 часть круга х +у =9, заключенного между положительными полуосямн Ох н Оу, н з з определяется системой неравенств 0<«~3, 0<у< /9 — х'.
Из уравнения «з+гз=9 имеем «= /9 — ««. Далее, находим частные д« « дг производные — „= —, — =О, откуда сх /9-.«з' дУ 456 Следовательнд, з,/э-«г з а=8 4«г/у=24 ) ~ ~ =24 г/«=72 (кв, ед), й! ~,/9=Г ~ ~ /9:Г~. о о е о ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА П вариант 1 вариант 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=соах, х=О, у =!/2. 2) Вычислите объем тела, ограниченного поверхностямн «=2«+2, у=та «=О, у=9, г=0. 3) Вычислите площадь части поверхности цилиндра у=х', ограниченного плоскостями «=О, г 6 — х— — у, «=О, у=4.
1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой у=б/« н прямой «+у — 7=0. 2) Вычислите объем тела, огра-. ниченного поверхностями «=8 — х — у, «=О, у=«з, у=4, «=0. 3) Вычислите площадь части поверхности цилиндра у=«'+2, ограниченного плоскостями «=0, «=8- -х — у, «=О, у=б. ПЯОП«!УЙ ФИЕугРБ! Если Р— часть плоскости «Оу, которую занимает материальная фигура с переменной плотностью Ь(«, у), то масса гл фигуры Р вычисляется 'по формуле 457 48.
Вычислите площади: 1) треугольника, который образуется в пересечении плоскости Зх+2у+4г=12 с координатными плоскостями; 2) части поверхности цилиндра хз+х«=16, вырезанной цилиндром х'+у«=16; 3) части поверхности цилннцра ха+уз=)!з, отсеченной плоскостямн к=О, я=8.
(Спроектируйте поверхность на плоскость уО« и для вычисления интеграла примените формулу (29.17)); 4) части поиерхности цилиндра ха+у'=4, заключенной между плоскостями а=О, я=2«, у=О, «=0 (спроектируйте поверхносп. на плоскость хО« н для вычисления интеграла примените формулу (29.18)). 49. Вычислите площади (при вычислении интеграла используйте полярные координаты): 1) части поверхности полусферы ха+у'+я«=16 («~0), вырезанной цилиндром х +у =4; з 2) части поверхности параболоида хз,+г«=2у, расположенной в 1 октанте и ограниченной плоскостью у=4 (спроектируйте поверхность на плоскость хОг и для вычисления интеграла примените формулу (29.18)); 3) части боковой поверхности, ограниченной конусом х~=х +у' и плоскостью к=б; 4) части поверхности, вырезаемой на полусфере ««+уз+г«=4 (г>0) цилиндром х'+уз-2у=О и ограниченной плоскостью х=О (плоскостью уОг); 5) части поверхности конуса ха+у' — х'=0 (х)0), заключенной внутри цилиндра ха+у«-4х=О.
гл=ЯЬ(х, у) Ыха/»э (29 19) а 50. Вычислить массу материальной пластинки, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна а. Поверхностная плотность этой пластинки в каждой ее точке пропорциональна сумме расстояний до катетов. Коэффициент пропорциональности равен /г. Рис. 220 (3 Совместим вершину прямого угла треугольника с началом координат так, чтобы катеты совпали с положительными направлениями координатных осей.
Из треугольника ОАВ (рис. 220) находим хз+х'=а«, т. е. х=а/ /2; следовательно, вершины треугольника имеют координаты: А (а/ /2; О), а В (О; а/ /2). Уравнение гипотенузы есть у= — х+ —. Область Р запишем в /2 виде системы неравенств 0<х<а/ /2, 0<у< — хч-а/ /2; переменная плотность есть Ь(х, у)=/г(х+>).
Согласно формуле (29.!9). получим т= Ь(х,у)г/хйу= /г(х+у)ах4=/г Их (х+»)Ау= а а а -«+— а / й ху«- — г/х=/г — — — хэ а/х= . В/ 51. Найти массу круглой пластинки радиуса Я, если поверхностная плотность Ь материала пластинки в каждой точке М(.т;у) пропорциональна расстоянию точки М от центра круга. О Совместим начало прямоугольной системы координат с центром круга. Координаты любой точки круга удовлетворяют соотношению ха+уз/ Вз. Расстояние точки М(х; у) до начала координат вычисляется по формуле А= /«э+у', поэтому б(х, у)=/г /ха+у', где /г — коэффициент пропорциоивяьиосги.
Согласно формуле (29.19), имеем ю=))/г ~х' +у' Ы«Ы«, где Р†кр а ха+у«=Я«. Вычислим интеграл в полярной системе коорднивт. Здесь переменная плотность б=/г /х~+у~ / й /гз =/гг; область Р запишется в виде системы неравенств 0<р<2я, 0<«<В. Тогда «к ы к т= Йр /гг гг/г=/г Йр г Иг=-/гяй . Вр 2 3 а а а а 458 52. Найдите массу треугольной пластинки, ограниченной прямыми у = — —.х+ 6, у = — х и осью Оу, если плотность Ь (х, у) 3 ' 3 распределения массы в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.
53. Найдите массу квадратной пластинки со стороно а=, ость которой в любой точке пропорциональна квадрату плоти расстояния этой точки до одной нз вершин кввдра . эфф пропорциональности равен /г. 54. Материальная пластинка имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 2 /2. Найдите массу пластинки, если ее плотность в каждой точке численно равна расстоянию этой точки до катета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
