Диссертация (1152448), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть в рассматриваемом примере определился следующий порядок: 1 − ≤ 2 − ≤ 1 − ≤ 2 − ≤ 1 − . Таким образом, отрезок допустимых значений переменной ∗ , разбился на 4 отрезка. Далее решим задачу поиска корней уравнения (2.86), т.е.стационарных точек функции (2.80) на каждом из них.Шаг 3.1 1 − ≤ ∗ ≤ 2 − .
Уравнение (2.86) принимает вид:( − 1 + ∗ )2( − 1 + ∗ )2− (1 −= 0.) + 1 1( − )( − )( − )( − )(2.87)Уравнение (2.87) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.2 2 − ≤ ∗ ≤ 1 − . Уравнение (2.86) принимает вид:( − 1 + ∗ )2( − 1 + ∗ )2( − 2 + ∗ )2− (1 −+ 2 2) + 1 1( − )( − )( − )( − )( − )( − )= 0.(2.88)Уравнение (2.88) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.3 1 − ≤ ∗ ≤ 2 − . Уравнение (2.86) принимает вид:85(1 − ∗ − )2(1 − ∗ − )22( − 2 + ∗ )− () + 2 2) + 1 1 (1 −( − )( − )( − )( − )( − )( − )= 0.(2.89)Уравнение (2.89) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.4 2 − ≤ ∗ ≤ 1 − . Уравнение (2.86) принимает вид:(1 − ∗ − )2(1 − ∗ − )2(2 − ∗ − )2− () + 2 2 (1 −) + 1 1 (1 −( − )( − )( − )( − )( − )( − )= 0.(2.90)Уравнение (2.90) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 4.
Объединение множеств решений, полученных на этапах 3.1 – 3.4 являетсянепустым множеством в силу обоснования, приведенного выше. Если найденнаястационарная точка единственная, то она является решением задачи. Иначе во всехстационарных точках вычисляется значение функции (2.80), которое осуществляется аналитическими способами и выбирается точка с минимальным значениемфункции, которая и является решением задачи.86Глава 3 Математические модели оптимизации объема поставкиВ данной главе предполагается, что момент поставки партии товара являетсядетерминированной величиной, не подлежащей корректировки. Это характернодля организаций, в логистических цепочках которых присутствуют регулярныерейсы, например железнодорожных или морских перевозок.
Таким образом, в качестве оптимизационного параметра в моделях данной главы будет рассмотренобъем поставки товара, который следует завозить в заданный момент времени, позволяющий минимизировать риски, снижением одновременно затрат на хранениетовара на складе и потерь от упущенной выгоды, а также риски потери клиентов врезультате неполного удовлетворения их спроса.3.1 Модель оптимизации объема поставки с учетом неопределенности спросапо критерию минимизации дополнительных издержекРазработанная стохастическая модель предназначена для оптимизации объема поставки. Источником неопределенности является случайный характер спроса.Предполагается, что распределение случайной величины отклонений фактическогоспроса от прогнозируемого известно.
Основные результаты данного параграфаопубликованы автором в работах [59], [61].Кроме того, предположим, что время поставки является строго детерминированным, т.е. выполнение заказа на завоз товара всегда происходит точно в срок.Неопределенность в данной модели выражается через отклонения фактического времени окончания товара на складе от прогнозируемого согласно соотношению (3.1): = 0 + Δ,(3.1)87где 0 - прогнозируемое время обнуления запаса товара, Δ - случайная величинаотклонения фактического времени обнуления товара на складе от прогнозируемого.Будем считать, что случайная величина Δ распределена по треугольному закону распределения на отрезке [, ].
Параметры , , – определяются из статистических данных, либо с помощью оценок экспертов, при соблюдение следующего условия: ≤ ≤ , < , где - нижний предел, - верхний предел, мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто). В частном случае = или = треугольное распределение строится по двум точкам. Тогдаслучайной величине времени фактического обнуления товара α соответствует треугольное распределение на отрезке [0 + a; 0 + b].
На рисунке 2.1 изображен график плотности распределения случайной величины Δ. Как уже отмечалось ранее,использование треугольного распределения вполне адекватно во многих реальныхзадачах и имеет существенные преимущества при недостаточном объеме статистических выборок, т.к. для его использования можно воспользоваться оценками экспертов.С одной стороны, в результате завоза товара до окончания предыдущей партии возникают дополнительные складские расходы, связанные с размещением иобслуживанием товара, а также потери от замороженных средств в товаре (учетвременной стоимости денег). Допустим объем партии товара, который прибудетпосле реализации завезенного в момент t0 товара в объеме Q равен ∗ .
Данныйобъем возможно точно не известен, поскольку, например неизвестна дата следующей поставки. В этом случае используется прогнозное значение данного объема.Тогда дополнительные складские затраты для объема в течении времени от ∗ идо момента фактического окончания товара α, в случае, когда завоз товара был произведен раньше момента времени ∗ ( ∗ < ), могут быть выражены соотношением (3.2):88 = ∗ ( − ∗ ),(3.2)где = - цена удельных складских издержек единичного объема товара.С другой стороны, из-за позднего привоза товара может возникнуть дефициттовара, который приведет к упущенной выгоде.
Размер этой упущенной выгоды отмомента фактического окончания товара на складе и до момента поступления новой партии товара на склад ∗ в объеме , в случае, когда завоз товара был произведен позже момента времени ∗ ( ∗ > ), может быть выражен соотношением(3.3): = ( ∗ − ),(3.3)где = - удельная прибыль от реализации товара, − оценка среднесуточного количества реализации товара.Суммарный объем дополнительных затрат, возникающих в следствие несвоевременности завоза можно выразить соотношением (3.4):∗ ( − ∗ ), ∗ ≤ ;+ ={( ∗ − ), ∗ > .(3.4)В качестве целевой функции интегральных дополнительных издержек примем их математическое ожидание, поскольку интегральные издержки являются непрерывной случайной величиной.Пусть в рассматриваемой модели неопределенность спроса выражается случайной величиной Δ, которая распределена согласно треугольному закону распределения с плотностью, выраженной соотношением (2.5).В этом случае математическое ожидание интегральных дополнительных затрат, связанных с несвоевременностью завоза, выражается соотношением (3.5).89() = ( ∗ −∫Δ≤ ∗ −+∫Δ≥ ∗ −− Δ) (Δ)Δ + ∗ ( + Δ − ∗ ) (Δ)Δ,(3.5)Таким образом математически формализованная задача минимизации интегральных дополнительных затрат, возникающая в процессе управления запасами,представленная соотношением (3.6), заключается в определении такого объема завоза Q, который обеспечит минимум математического ожидания интегральных дополнительных затрат.() → min.(3.6)Представим соотношение (3.5) двумя слагаемыми (3.7):() = () + ().(3.7)Первая из функций соотношения (3.7) представляется как (3.8): () = {∫ ( ∗ − − Δ) (Δ)Δ, ∗ > ,∗ ≤ 0,(3.8)Таким образом, интеграл в формуле (3.8) может иметь ненулевое значениетолько при ∗ > , это равносильно тому, что ∗ >существует и при ∗ −> ∆.+ ∆, а значит, интеграл (3.8)90Рассмотрим четыре возможных случая.В первом случае, при ∗ −< , или ≥ ( ∗ − ), c учетом неравенства ≤ ∆ , справедливо неравенство ∗ <+ ∆ = , а следовательно, интеграл () в рассматриваемой области переменной Q примет вид, согласно формуле(3.8):1 () = 0.(3.9)Дополнительный индекс в данном случае характеризует номер рассматриваемогоинтервала переменной.Рассмотрим второй случай, когда ≤ ∗ −( ∗ − ), Неравенство ∗ −< , или ( ∗ − ) ≤ ≤≥ ∆ выполняется на отрезке [; ∗ − ] и не выполняется на отрезке ( ∗ − 0 , ), следовательно: ∗−2 ( ∗ ) = ∫ ⏟ ( ∗ −12(Δ − )21− Δ)Δ =∙( − )( − )( − )( − ) ∗−∙ ∫ ( ∗ − ∗−21− Δ) (Δ − )Δ =∫ ( − ∗ ) Δ +( − )( − )[ ∗−+ ∫ ( ∗ − ∗−21+ ) ΔΔ − ∫ Δ 2 Δ =[ ( − ∗ ) ∙( − )( − )]91∙ ∗−Δ|∙ [( ∗−1 ∗ 1 3 ∗− 212|+ ( − + ) Δ − Δ | ] =∙( − )( − )231− ∗ ) ( ∗ − − ) + ( ∗2 ∗ 21 ∗3 ∗2 2∗22∗− + ) ( − 2 + ( ) − ) − + − ( )31 3 1 321 ∗ 2+ ( ) + ]=[ − ( ) −( − )( − ) 3 31 ∗3 ∗2 1 ∗ 2 1 2 ∗∗2∗2 ∗−− + + + − + ( ) − −22221 ∗2 2 1 3 1 2 1 ∗2 1 2 1 3∗∗− + ( ) − ( ) + + − + ( ) − −22 2 2 2 21 ∗3 2 1 3 1 3∗2∗− +− ( ) + ( ) + ]33 3211 31 ∗ 2 1 ∗=[− ( ) + ( − ) ( ) − ( − )2( − )( − ) 6 221 ∗1 33 ]∗+ ( − )=( − − ) .63( − )( − )Таким образом, во втором случае из формулы (3.8) получаем формулу (3.10):1 3∗2 () =( − − ) .3( − )( − )(3.10)92Рассмотрим третий случай, когда < ≤ ∗ −< , или ( ∗ − ) ≤ ≤( ∗ − ), Неравенство ∗ − 0 > ∆ выполняется на отрезках [; ] и [; ∗ − 0 ]и не выполняется на отрезке ( ∗ − 0 ; ), следовательно: ∗−3 () = ∫ ⏟ ( ∗ − 12(Δ − )− Δ)Δ + ∫ ⏟ ( ∗ −( − )( − )12(b − Δ)211− − Δ)Δ =∫ ( ∗ − − Δ) (Δ −[( − )( − )( − ) ( − ) ∗−−)Δ +1211∫ ( ∗ − − Δ) (b − Δ)Δ =∙[( − )( − ) ( − )]1∙ (∫ ( − ∗ ) Δ + ∫ ( ∗ − + ) Δ Δ − ∫ Δ 2 Δ ) +∙( − ) ∗− ∗− ∗−∫ ( ∗ − ) Δ + ∫ (− ∗ + − ) Δ Δ + ∫ Δ 2 Δ∙(==)]21111[( ( − ∗ ) Δ| + ( ∗ − + )Δ 2 | − Δ 3 | ) +( − ) ( − )23 ∗− ∗−11 ∗ 1 3 ∗− ∗2|+− ( − + ) Δ + Δ | )] =( ( − ) Δ|( − )2393=2111[(( − ∗ ) ( − ) + ( ∗ − + ) ( − )( + ) −( − ) ( − )2111− ( − )( 2 + + 2 )) +(( ∗ − ) ( ∗ − − ) − ( ∗ −( − )32 ∗ 21 ∗3 ∗2 2 ∗ 1 3∗22− + )( −2 + ( ) − ) + − + ( ) − ( ) −33 12111111− 3 )] =− + +[ − ∗ + ∗ + ∗ −( − ) 32222211111+ 2 − 2 − − 2 +( ∗ 2 − ∗ − ∗ − ∗ +( − )2333 2 1 ∗3 ∗2 1 ∗ 2 1 2 ∗ 1 ∗2 2 ∗+ ( ) + − + − ( ) + + −( ) + 22221 3 1 2 1 ∗2 ∗ 1 2 1 2 1 ∗3 ∗2+ ( ) − − + − ( ) + + − +2 222 23 2 ∗ 1 3 1 321 11+ ( ) − ( ) − )] =[ ( − ) ∗ + ( −) (3 + + 2) +( − ) 23 3611 ∗311 ∗21 21+(− + ( +) + (− ( ) − − + 2 ) ∗ +( − )6222 2941 3 1 2 1 2 1 2 1 321 1+ ( ) + ( ) + − + − ) ] =[ ( − ) ∙( − ) 66 2 223∙ (3∙1111 1 11+ + 2 − 3 ∗ ) +++ − ) ∙(− ∗ 3 + ( +( − )623 6 33∗221 2 1 11 2 ∗ 1 + (− ( ) − + − − + ) + ( + ) ( +2 2 226 +3 − 2))] =21 11∙[ ( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ ) +( − ) 6( − )11 1 1 ∙ (− ∗ 3 + ( + ) ∗ 2 + ( + 3 − 2) ∗ 2 − ( + ) ( + 3 −63 6 3 221 1 21 1∗−2) − ( + ) + ( + ) ( + 3 − 2) ) ] =[ ( −( − ) 66 6 ∗−) (311 1 1+ + 2 − 3 ∗ ) +( ( + )2 − ( + ) ∗ + ∗ 2 ) ∙( − ) 6 3 621 1∙ ( + 3 − 2 − ∗ )] =[ ( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ ) +( − ) 621∗+( + − ) ( + 3 − 2 − ∗ )].6( − ) Таким образом, в третьем случае из формулы (3.8) получаем формулу (3.11):951[( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ ) +3( − )21∗+( + − ) ( + 3 − 2 − ∗ )].( − ) 3 () =(3.11)В четвертом случае, при < ≤ ∗ − , или ≤ ( ∗ − ), неравенство ∗ −> ∆ выполняется на всем отрезке [, ], следовательно:2(Δ − )4 () = ∫ Δ + ∫ ⏟ ( ∗ − − Δ)⏟ ( ∗ − −( − )( − ) 1 12(b − Δ)211−Δ) + ∫ Δ =∫ ( ∗ − − Δ) ∙[⏟( − )( − )( − ) ( − ) 11211∙ (Δ − )Δ +∫ ( ∗ − − Δ) (b − Δ)Δ ] =∙[( − )( − ) ( − )1∙ (∫ ( − ∗ ) Δ + ∫( ∗ − + ) Δ Δ − ∫ Δ 2 Δ) +∙( − )21∙ (∫ ( ∗ − ) Δ + ∫ (− ∗ + − ) Δ Δ + ∫ Δ 2 Δ )] =∙( − )1111( ∙∙[( ( − ∗ ) Δ| + ( ∗ − + ) Δ 2 | − Δ 3 | ) +( − )( − )239611211∙ ( ∗ − ) Δ| − ( ∗ − + ) Δ 2 | + Δ 3 | ) ] =∙[( − ) ( − )23∙ ((11− ∗ ) ( − ) + ( ∗ − + ) ( − )( +) − ( − )( 2 + +23+2 )) +111(( ∗ − ) ( − ) − ( ∗ − + ) ( − )( + ) + ∙( − )23∙ ( − )( 2 + + 2 )) ] =21111−[ − ∗ + ∗ + ∗ −( − ) 222−111111 11 + + 2 − 2 − − 2 + ∗ − − ∗ − ∗ +222333 22+111111121 1 ∗+ − − 2 − + 2 + + 2 ] =[ −( − ) 2222233311 1 111121 1 ∗− ∗ + − + − + 2 − 2 ] =[ ( −( − ) 222 2 6666−) +∙ (311121 1( − ) + ( − ) + ( − )( + )] =( − ) ∙( − ) 62661+ + + − 3 ∗ ) = (3 ∗ − − − − 3 ).3И наконец, в четвертом случае из формулы (3.8) получаем формулу (3.12):4 () =1(3 ∗ − − − − 3 ).3(3.12)97Теперь рассмотрим второе слагаемое выражения (3.7), которое выражаетсяследующей формулой (3.13): () = ∫ ∗ ( + Δ − ∗ ) (Δ)Δ .(3.13)Интеграл в формуле (3.13) существует при ∗ < , это равносильно тому, что∗ <+ ∆, а значит, интеграл (3.13) существует и при ∗ −< ∆.Рассмотрим четыре возможных случая.В первом случае, при ∗ −< < , или ≥ ( ∗ − ), неравенство ∗ −< ∆ выполняется на всем отрезке [, ], следовательно:2(Δ − )1 () = ∫ ∗ ( + Δ − ∗ )Δ + ∫ ∗ ( + Δ − ∗ ) ∙( − )( − )2(b − Δ)2 ∗1∙Δ =∫ ( + Δ − ∗ ) (Δ − )Δ +[( − )( − )( − ) ( − )12∗1∗ (b+∫ ( + Δ − ) − Δ)Δ ] =[(∫ ( ∗ − ) ∙( − )( − ) ( − )1∙ Δ + ∫ ( − ∗ − )Δ Δ + ∫ Δ 2 Δ) +(∫ ( − ∗ ) ∙( − )982 ∗1∗2(( ∗ −∙ Δ + ∫ ( − + ) Δ Δ − ∫ Δ Δ )] =[((− )− )1 11− ) Δ| + ( − ∗ − ) Δ 2 | + Δ 3 | ) +( ( − ∗ ) Δ| +( − )2 31 ∗ 1 32∗12 |+ ( − + ) Δ − Δ | )] =[(( ∗ − ) ∙( − ) ( − )231 1∙ ( − ) + ( − ∗ − ) ( − )( + ) + ( − )( 2 + + 2 )) +2 3111(( − ∗ ) ( − ) + ( ∗ − + ) ( − )( + ) − ( − ) ∙( − )23+∙( 22∗ 1111+ + ) ] =+−[ ∗ − − ∗ − ∗ +( − ) 22222)11111 111− − 2 + 2 + + 2 − ∗ + + ∗ + ∗ −−22333 222−1111112 ∗11 + + 2 + − 2 − − 2 ] =[− ∗ + ∗ −( − ) 222233321 1 111 2 1 22 ∗ 1 ∗1− + − + − + ] =∙[ ( − ) +( − ) 22 2 66662112∗ 1( − ) (3 + +∙ ( − ) + ( − ) + ( − )( + )] =( − ) 66699+ + − 3∗)∗ =(3 + + + − 3 ∗ ).3Таким образом, в первом случае формула (3.13) примет вид (3.14): ∗ 1 () =(3 + + + − 3 ∗ ).3Рассмотрим второй случай, когда ≤ ∗ −( ∗ − ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
