Диссертация (1152448), страница 13
Текст из файла (страница 13)
При предположении о треугольном распределении случайных отклонений момента прибытия товарной партии от договорного было получено аналитическое решение задачи, сводящиеся к итоговому выбору на основании соотношений (3.62) и (3.63).3.3 Модели оптимизации объема поставки в условиях неопределенностиспроса по критерию максимизации ожидаемой прибылиПредполагаем, что поставка товара происходит периодически в определенныемоменты времени точно в назначенный момент, т.е. неопределенность времени поставки отсутствует. Объем товара, поставляемый в начале каждого периода, рассматривается как переменная величина, которая является оптимизирующей переменной в данной модели.
Спрос на товар в каждом периоде является случайнойвеличиной с известным законом распределения, с плотностью распределения вероятностей - () и известным множеством значений [0, ], где XM есть максимально возможный объем спроса в рассматриваемый период. Задача решается длякаждого периода поставки автономно, а следовательно, параметр XM и закон распределения f(x) могут зависеть от рассматриваемого периода.Предполагаем известной прибыль от реализации единицы товара - v. Полагаем,что ≥ 0.
Общая прибыль пропорциональна объему реализованного товара.В случае, если спрос оказывается выше объема товара, имеющегося в наличиив данном периоде, могут возникать различного рода финансовые риски, выраженные в договорных пенях, штрафах, другого рода неустойках, репутационные риски142или риски потери клиента. Риски потери клиента также могут быть оценены количественно в финансовом выражении. Такого рода модели логистической регрессии,оценивающие вероятность ухода клиента представлены, например, в [23]. Используя, регрессионный коэффициент подобных моделей при переменной «объем неудовлетворенного спроса» и сопоставляя его влияние на вероятность ухода клиентас данными о торговых историях клиентов, можно вывести некоторый удельный коэффициент, характеризующий усредненные финансовые потери компании при неудовлетворении спроса в единичном объеме.
Обозначим этот коэффициент – w.Полагаем, что ≤ 0.В случае, если имеющийся в данном периоде товар превосходит спрос,возникает неиспользованный излишек товара, который влечет за собойдополнительные затраты на хранение и финансовые потери от средств,«замороженных» в товаре. В этом случае целесообразно оценить издержки отхранения излишков товара в течение рассматриваемого периода пропорциональноколичеству невостребованного товара с некоторым коэффициентом h. Полагаем,что ℎ ≤ 0. Заметим, что мы исчисляем только дополнительные издержки хранениятовара, который хранился период, но не был реализован. Издержки хранения товара, который был реализован в периоде поставки, мы предполагаем учтенными вприбыли товара v.
Исследования данных моделей представлено в [64].3.3.1 Модель оптимизации объема поставки с учетом дополнительныхиздержек хранения и рисков потери клиентов для товаров длительногосрока храненияВкачестве оптимизируемогокритерияв данноймоделивыступаетматематическое ожидание прибыли от реализации товара в рассматриваемом пери-143оде за вычетом двух видов издержекы, описанных выше, а именно, издержки хранеыилния (возникают при образовании нереализованных излишков товара) и издержкипотери клиентов (возникают при невозможности полностью удовлетворить спросданного периода).
Целевая функция задачи в этом случае представлена далее выражением (3.64)() = ∫( + ℎ( − ))() + ∫ ( + ( − ))()0(3.64)Задача состоит в максимизации функции (3.64) по переменной Q на допустимоммножестве значений, а именно на отрезке [0, ]. Проведем следующие преобразования функции (3.64):() = ∫ () + ℎ ∫ () + ℎ ∫ () + ∫ ()000+ ∫ () − ∫ ().Для минимизации функции F(x) найдем ее производную, воспользовавшисьизвестной формулой Лейбница для дифференцирования интегральных функций спеременным верхним пределом [34, с. 218].()= ℎ ∫ () + ∫ () − ∫ () .0(3.65)Учитывая, что∫ () = 1 − ∫ () ,0(3.66)144и приравнивая производную 0, получим следующее уравнение относительно переменной Q, рассматриваемое при [0, ]:∫ () =0−=ℎ+−1ℎ+1−= 1 .(3.67)Из второго разложения в соотношении (3.67) и знаков параметров h, w, v, обозначенных выше, следует 0 ≤ 1 ≤ 1.
В силу того, что функция от переменной Q,которая находится в левой части уравнения (3.67) является монотонно неубывающей непрерывной функцией, меняющейся на рассматриваемом отрезке от 0 до 1,уравнение (3.67) имеет решение в силу теоремы Вейерштрасса [34, с. 170]. В общемслучае нахождение корня уравнения (3.67) осуществляется известными численными методами. Пусть ∗ - корень уравнения (3.67). Далее заметим, что производная (2) является функцией невозрастающей на рассматриваемом отрезке, при этом(0)()= − ≥ 0,= ℎ ≤ 0.В силу этого в точке ∗ , производная меняет знак с «+» на «-», а следовательно,точка ∗ является точкой искомого максимума и нет необходимости вычислятьзначение функции F(x) на концах отрезка.Далее проведем решение данной задачи в предположении, что случайная величина спроса распределена по треугольному закону распределения на отрезке[, ].
Параметры , , – определяются из статистических данных, либо с помощью оценок экспертов, при соблюдение следующего условия: ≤ ≤ , < , где - нижний предел значений случайной величины, - верхний предел значенийслучайной величины, - мода (значение, встречающееся в распределении наиболее145часто). В этом случае функция плотности распределения вероятностей f(x) выражается согласно (2.74), а функция распределения вероятностей согласно (2.75):Откуда аналитическое решение задачи для случая, когда случайная величинаспроса описывается треугольным распределением, выражается соотношениями(3.68).− + √1 ( − )( − ) , 0 ≤ 1 ≤,−∗ ={− + √(1 − 1 )( − )( − ) ,≤ 1 ≤ 1,−(3.68)В заключении заметим, что данная модель допускает сужение задачи для случая отсутствия какого-либо вида издержек из рассматриваемых в модели.Если отсутствуют издержки хранения, т.е.
h=0, то 1 =1 и ∗ =XM. Экономический смысл этого результата понятен, поскольку в этом случае риск дополнительных издержек хранения отсутствует изначально, риск потери клиентов исчезает при поставке максимума объема возможного спроса, а нераспроданный товарпереходит на следующий период без каких-либо дополнительных затрат.Если отсутствуют издержки потери клиентов, т.е. w=0, то1 =.−ℎКак видно 0 ≤ 1 ≤ 1 и уравнение (3.67) остается разрешимым. В этом случае решение является нетривиальным поскольку остается баланс между прибыльюот продажи и издержками хранения излишков.Если отсутствуют и издержки хранения, и издержки потери клиентов, т.е.h=0, w=0, то 1 =1 и ∗ =XM.
Экономический смысл этого результата также понятен, поскольку в этом случае риск дополнительных издержек хранения и риск по-146тери клиентов отсутствуют изначально, нераспроданный товар переходит на следующий период без каких-либо дополнительных затрат, а завоз максимальногообъема увеличивает ожидаемые продажи.3.3.2 Модель оптимизации объема поставки с учетом дополнительныхиздержек хранения и рисков потери клиентов для товаров с ограниченнымсроком храненияВкачестве оптимизируемогокритерияв данноймоделивыступаетматематическое ожидание прибыли от реализации товара в рассматриваемом периоде за вычетом двух видов издержекы, описанных выше, а именно, издержки хранеыилния (возникают при образовании нереализованных излишков товара) и издержкипотери клиентов (возникают при невозможности полностью удовлетворить спросданного периода). В отличии от модели, рассмотренной выше, вычитаются такжезатраты на закупку товарной партии, завозимой в рассматриваемом периоде.
Отообъясняется тем обстоятельством, что если в предыдущей модели невостребованный излишек товара переходил как входящий остаток на следующий период и учитывался при определении объема завоза товара следующего периода, то в данноймодели предполагается, что нереализованный остаток рассматриваемого периодасчитается просроченным и далее не рассматривается, т.е. выходит из оборота. Целевая функция задачи в этом случае представлена далее выражением (3.69)() = ∫(2 + ℎ( − ))() + ∫ (2 + ( − ))() − 1 , (3.69)0где 1 – цена закупки товара, 2 – цена продажи товара. Полагаем, что0 ≤ 1 ≤ 2 .147Задача состоит в максимизации функции (3.69) по переменной Q на допустимоммножестве значений, а именно на отрезке [0, ] .
Проведем следующиепреобразования функции (3.69):() = 2 ∫ () + ℎ ∫ () + ℎ ∫ () + 2 ∫ ()000+ ∫ () − ∫ () − 1 .Как и при исследовании модели параграфа 3.3.1, для минимизации функцииF(x) найдем ее производную, воспользовавшись известной формулой Лейбница длядифференцирования интегральных функций с переменным верхним пределом [34,с. 218].()= ℎ ∫ () + с2 ∫ () − ∫ () − с1 .0(3.70)Учитывая соотношение (3.66) и приравнивая производную 0, получим следующееуравнение относительно переменной Q, рассматриваемое при [0, ]:1 + 1 − 2 − 2∫ () === 2 .ℎℎ + − 21+0 − 21+(3.71)С учетом знаков параметров w, h и соотношения 0 ≤ 1 ≤ 2 , справедлива следующая цепочка неравенств:1 ≤ 2 − , − 2 < 0,148−1 ≤0≤11≤ 0, 0 ≤ 1 +≤ 1, − 2 − 2ℎ1, 1≤1+, − 2 − 2а следовательно 0 ≤ 2 ≤ 1.В силу того, что функция от переменной Q, которая находится в левой частиуравнения (3.71) является монотонно неубывающей непрерывной функцией, меняющейся на рассматриваемом отрезке от 0 до 1, уравнение (3.71) имеет решение всилу теоремы Вейерштрасса [34, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
