Диссертация (1152448), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда объем поставки Q в рассматриваемый периодопределяется как = ∑ .(2.63)=1Время доставки в рассматриваемой модели является случайной величиной.Пусть неопределенность времени доставки товара на склад , выражено соотношением (2.64):74 = ∗ + Δ,(2.64)где ∗ - время заказа поставки товара; Δ-случайная величина, представляющая разницу между фактическим временем доставки и договорным с известным закономраспределения, с плотностью распределения вероятностей - (), функцией распределения вероятностей Ф(x) и известным множеством значений [, ].В качестве оптимизирующей переменной рассматривается момент назначения поставки ∗ .

Предполагается также, что контрактные обязательства поставщика обременены условиями выплаты неустоек в случае нарушения сроков илиобъемов поставки. Такими неустойками могут являться штрафы, которые определяются как фиксированные дополнительные выплаты в случае нарушений условийпоставки, как правило они определяются как фиксированный процент от общейсуммы поставки. В качестве неустойки могут рассматриваться пени, которые являются дополнительными выплатами по фиксированным тарифам в зависимости отобъема недопоставки и сроков недопоставки.В моделях учитываются также дополнительные издержки хранения завезенной партии товара в случае ее раннего завоза, а именно до времени первой контрактной поставки, которые исчисляются пропорционально объему товара и времени досрочного хранения по тарифу H, ≥ 0.

Помимо прямых складских издержек, тариф издержек хранения может включать в себя и финансовые потери от эффекта «замороженных денег», особенно если торговая компания использует в качестве оборотного капитала банковскую кредитную линию. Исследования данныхмоделей представлено в [64].2.3.1 Модель минимизации дополнительных издержек с учетом рисковначисления штрафовВ данной модели в качестве целевой функции рассматривается математическое ожидание интегральных дополнительных издержек, включающие издержки75хранения до начала контрактных поставок и издержки выплаты штрафов за нарушение контрактных условий поставки.

Пусть 1 , 2 , … , – абсолютные значенияфиксированных штрафов за нарушение сроков соответствующих поставок.Первоначально определим область допустимых значений для оптимизирующей переменной ∗ . Заметим, что 1 − ≤ ∗ . Это следует из того, что при меньшихзначениях ∗ риск штрафов отсутствует, а дополнительные издержки хранения возрастают и, следовательно, эти значения не могут являться оптимальным моментомназначения поставки. Заметим также, что ∗ ≤ 1 − . Это следует из того, что прибольших значениях ∗ риск дополнительных издержек хранения отсутствует, а дополнительные издержки штрафов возрастают и, следовательно, эти значения такжене могут являться оптимальным моментом назначения поставки.

Таким образом,искомый момент назначения поставки удовлетворяет следующему двойному неравенству:1 − ≤ ∗ ≤ 1 − , откуда ≤ 1 − ∗ ≤ .(2.65)Учитывая, что ≤ Δ ≤ Математический вид целевой функции модели представлен выражением (2.66).1 − ∗( ∗ ) = ∫ ( 1 − ∗ − Δ)(Δ)Δ + ∑ ( ∗ ) ,(2.66)=1где 1 ( ∗ ), 2 ( ∗ ), …, ( ∗ ) – вероятности выплаты соответствующего штрафа, зависящие от момента назначения поставки ∗ , а Q – объем поставки в рассматрива-76емый период, определенный соотношением (2.63). Вероятности штрафов при заданном моменте поставки могут выражены через функцию плотности распределения вероятностей как: ( ∗ ) = ≤ ∗ + ,∫ (Δ)Δ, − ∗0,{(2.67) > ∗ + ,или через функцию распределения вероятностей как:Ф()– Ф( − ∗ ), ≤ ∗ + , ( ∗ ) = {0, > ∗ + .(2.68)Условием отличности от 0 вероятностей штрафов является условие ≤ ∗ +.

С учетом того, что ∗ ≤ 1 − , достаточно учесть в модели только штрафы, которые удовлетворяют неравенству ≤ 1 + ( − ). Пусть это условие выполняется для i = 1, 2, …, . Для конкретного значения ∗ максимальный индекс ненулевых вероятностей ( ∗ ) может быть отличен от . В частности, как нетрудновидеть, при ∗ = 1 − условие ≤ ∗ + выполняется только для i=1. Следовательно, в общем случае 1 ≤ ( ∗ ) ≤ .Для минимизации функции F( ∗ ) найдем ее производную, воспользовавшисьизвестной формулой Лейбница для дифференцирования интегральных функций спеременным верхним пределом [34, с. 218].∗1 − ∗( ∗ )( )= − ∫ () + ∑ ( − ∗ ) ,∗или=1(2.69)77( ∗ )∗( )= −Ф(1 − ∗ ) + ∑ ( − ∗ ) ,∗(2.70)=1Рассмотрим значения производной на концах рассматриваемого отрезка оптимизирующей переменной.

Имеем на левом конце отрезка при ∗ = 1 − :∗( ∗ )( )= − ∫ () + ∑ ( + ( − 1 )) = − < 0, ∗(2.71)=1Соответственно на правом конце отрезка при ∗ = 1 − имеем:( ∗ )= − ∫ () ∗( ∗ )( ∗ )+ ∑ ( + ( − 1 )) = ∑ ( + ( − 1 )) ≥ 0,=1(2.72)=1Учитывая непрерывность рассматриваемой функции и ее производной, а также еене положительость на левом конце отрезка и не отрицательность на правом конце,можно утверждать наличие стационарной точки на данном отрезке, которая является решением задачи.

Найти ее в общем случае возможно применяя численныеметоды поиска корней для уравнения (2.73).78( ∗ )−Ф(1 − ∗ ) + ∑ ( − ∗ ) = 0.(2.73)=1Далее проведем решение данной задачи в предположении, что случайная величина, описывающая отклонение реального времени поставки от ожидаемого,распределена по треугольному закону распределения на отрезке [, ]. Параметры, , –удовлетворяют следующим условиям: ≤ ≤ , < , где - нижнийпредел значений случайной величины, - верхний предел значений случайной величины, - мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто). Вэтом случае функция плотности распределения вероятностей f(x) выражается согласно соотношениям (2.74), а функция распределения вероятностей согласно соотношениям (2.75).0, при < ;2( − ), при ≤ < ;( − )( − )2, при = ;() =( − )2( − ), при с < ≤ ;( − )( − )0, при < .{(2.74)0, при < ;( − )2, при ≤ ≤ ;( − )( − )Ф() =(2.75)21−{( − ), при с ≤ ≤ ;( − )( − )0, при < .Для определенности предположим, что =2.79Шаг 1.

Для каждого i = 1, …, вычислим тройку чисел: − , − , − .Шаг 2. Из чисел, вычисленных на шаге 1, исключим числа, которые превосходятзначение (1 − ). Оставшиеся числа упорядочим по возрастанию. Пусть в рассматриваемом примере определился следующий порядок: 1 − ≤ 2 − ≤ 1 − ≤ 2 − ≤ 1 − . Таким образом, отрезок допустимых значений переменной ∗ , разбился на 4 отрезка. Далее решим задачу поиска корней уравнения (2.73), т.е.стационарных точек функции (2.66) на каждом из них.Шаг 3.1 1 − ≤ ∗ ≤ 2 − . Уравнение (2.73) принимает вид:( − 1 + ∗ )22( − 1 + ∗ )− (1 − = 0.)+( − )( − )( − )( − ) 1(2.76)Уравнение (2.76) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.2 2 − ≤ ∗ ≤ 1 − .

Уравнение (2.73) принимает вид:( − 1 + ∗ )22( − 1 + ∗ )2( − 2 + ∗ )− (1 − + = 0. (2.77))+( − )( − )( − )( − ) 1 ( − )( − ) 2Уравнение (2.77) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.3 1 − ≤ ∗ ≤ 2 − . Уравнение (2.73) принимает вид:(1 − ∗ − )22(1 − ∗ − )2( − 2 + ∗ )− ( + = 0.)+( − )( − )( − )( − ) 1 ( − )( − ) 2(2.78)80Уравнение (2.77) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 3.4 2 − ≤ ∗ ≤ 1 − . Уравнение (2.73) принимает вид:(1 − ∗ − )22(1 − ∗ − )2(2 − ∗ − )− ( + = 0.)+( − )( − )( − )( − ) 1 ( − )( − ) 2(2.79)Уравнение (2.79) есть задача нахождения корней квадратного уравнения на заданном отрезке, которая решается аналитически.Шаг 4.

Объединение множеств решений, полученных на этапах 3.1 – 3.4 являетсянепустым множеством в силу обоснования, приведенного выше. Если найденнаястационарная точка единственная, то она является решением задачи. Иначе во всехстационарных точках вычисляется значение функции (2.66), которое осуществляется аналитическими способами и выбирается точка с минимальным значениемфункции, которая и является решением задачи.2.3.2 Модель минимизации дополнительных издержек с учетом рисковначисления пениВ данной модели в качестве целевой функции рассматривается математическое ожидание интегральных дополнительных издержек, включающие издержкихранения до начала контрактных поставок и издержки выплаты пени за нарушение81сроков поставки.

Предполагаем, что пени начисляются за каждый день задержкипоставки и исчисляются как фиксированная доля от общей суммы поставки. Пусть1 , 2 , … , – значения фиксированных долей от общей суммы поставки приначислении пени за нарушение сроков соответствующих поставок. Пусть1 , 2 , … , – общие суммы соответствующих поставок.Рассуждения, проведенные нами в предыдущей модели относительно области допустимых значений для оптимизирующей переменной ∗ , остаются вернымис точностью до замены рисков выплаты штрафов на риски выплаты пени и приводят нас к аналогичному результату 1 − ≤ ∗ ≤ 1 − .Учитывая, что ≤ Δ ≤ Математический вид целевой функции моделипредставлен выражением (2.80).1 − ∗( ∗ ) = ∫ ( 1 − ∗ − Δ)(Δ)Δ + ∑ ( ∗ ),(2.80)=1где 1 ( ∗ ), 2 ( ∗ ), …, ( ∗ ) – математическое ожидание количества дней просрочки при нарушении соответствующей поставки, зависящее от момента назначения поставки ∗ , вычисляемые согласно выражения (2.81) а Q – объем поставки врассматриваемый период, определенный соотношением (2.63).

( ∗ ) =∫ ( ∗ + ∆ − )(Δ)∆, ≤ ∗ + , − ∗{0, > ∗ + ,(2.81)82Рассуждения в параграфе 2.3.1 относительно определения величины остаются справедливыми для данной модели, как и общий вывод, выраженныйдвойным неравенством 1 ≤ ( ∗ ) ≤ .Для минимизации функции F( ∗ ) найдем ее производную, воспользовавшисьизвестной формулой Лейбница для дифференцирования интегральных функций спеременным верхним пределом [34, с. 218].1 − ∗∗( ∗ )( )= − ∫ () + ∑ ( ∗ ),∗(2.82)=1где функции ( ∗ ) определяются выражениями (2.67) или (2.68).

Равносильная запись представлена выражением (2.83)( ∗ )∗( )= −Ф(1 − ∗ ) + ∑ ( ∗ ).∗(2.83)=1Рассмотрим значения производной на концах рассматриваемого отрезка оптимизирующей переменной. Имеем на левом конце отрезка при ∗ = 1 − :∗( ∗ )( )= − ∫ () + ∑ (1 − ) = − < 0. (2.84) ∗=1Соответственно на правом конце отрезка при ∗ = 1 − имеем:83( ∗ )= − ∫ () ∗( ∗ )( ∗ )(+ ∑ (1 − ) = ∑ 1 − ) ≥ 0.=1(2.85)=1Учитывая непрерывность рассматриваемой функции и ее производной, а также еене положительность на левом конце отрезка и не отрицательность на правом конце,можно утверждать наличие стационарной точки на данном отрезке, которая является решением задачи. Найти ее в общем случае возможно применяя численныеметоды поиска корней для уравнения (2.86).( ∗ )−Ф(1 − ∗ ) + ∑ (1 − ) = 0.(2.86)=1Далее проведем решение данной задачи в предположении, что случайная величина, описывающая отклонение реального времени поставки от ожидаемого,распределена по треугольному закону распределения на отрезке [, ].

Параметры, , –удовлетворяют следующим условиям: ≤ ≤ , < , где - нижнийпредел значений случайной величины, - верхний предел значений случайной величины, - мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто). Вэтом случае функция плотности распределения вероятностей f(x) выражается согласно соотношениям (2.74), а функция распределения вероятностей согласно соотношениям (2.75).Для определенности предположим, что =2.Шаг 1. Для каждого i = 1, …, вычислим тройку чисел: − , − , − .84Шаг 2. Из чисел, вычисленных на шаге 1, исключим числа, которые превосходятзначение (1 − ). Оставшиеся числа упорядочим по возрастанию.

Характеристики

Список файлов диссертации