Диссертация (1152448), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(−)(−)> 0.Рисунок 2.2 - Схематичное изображение графика функции F2’(t*)Источник: составлено авторомИз рисунка 2.2 видно, что производная 2 ′ ( ∗ ) меняет знак с минуса на плюсв точке 2∗ , имеющей следующий вид (2.25):2 ( − )( − )2∗ = + 0 + √.(1 + 2 )(2.25)Значит, 2∗ является минимумом функции F2(t*).Найдем значение функции 2 ( ∗ ) в точке минимума, для этого подставим(2.25) в (2.20):4432 (2∗ ) =12 ( − )( − )− + 0 ) +( + 0 + √(1 + 2 )3( − )( − )2+22 ( − )( − )− 0 − ) ( + 0 − 0 −( + 0 + √(1 + 2 )3( − )( − )2 ( − )( − )2 ( − )(30 + + 2 − 3 −30 −−3 + 2 + √)+(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )12 ( − )( − )−3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )( − )∙√2 ( − )( − )2(( − )2 + 2( − ) ∙+(1 + 2 )3( − )( − )2 ( − )( − ) 2 ( − )( − )∙√+) (−2 + 2 +(1 + 2 )(1 + 2 )+√2 ( − )( − )2( 2 + − 3 + 3 − 2 2 − 3 ∙)+(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )1 2∙√+ 3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )452 ( − )( − )2∙√+(( − )2 − 2( − )) ∙(1 + 2 )3( − )( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )2∙√∙) (2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )( − )∙2 ( − )( − )2 ( − )( − )2( 2 + −(2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )−3 + 3 − 2 2 − 3√+ 3√)=(1 + 2 )(1 + 2 )=1 2 ( − )( − )2√ 2+(( − ) − 2 ∙(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )22∙√∙) (2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )2 ( − )( − )2( 2 + − 3 +3 −∙ ((2( − ) + √)+(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )1 2−2 2 − 3√+ 3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )462 ( − )( − )22 ( − )( − )∙√+−(2( − )2 − 3( − )√(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )222 ( − )22 ( − )( − )√ 2−2++)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )+22 ( − )( − )( 2 + − 3 + 3 − 2 2 + 3( − )√)=(1 + 2 )3( − )(1 2 + 22 ) 2 ( − )( − ) 222 ( − )2√(2 2 − 4 +=++(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )+22 − 3√+ 3√+ 2 + − 3 +(1 + 2 )(1 + 2 )2 ( − )( − )2 ( − )( − )22+3 − 2 2 + 3√− 3√∙)−(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )∙2 ( − )( − ) 2 (1 + 2 ) 2 ( − )( − ) 222 ( − )√=+−(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 )222 ( − ) 2 ( − ) 2 ( − )(−3) 2 ( − )( − )√−+++(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )3( − )47+∙√22 2 ( − )( − ) 2 √(22 − 3 + 2 ) =+− 2 ∙(1 + 2 )3( − )332 ( − )( − )22 2 22 ( − )( − 2) =++−−(1 + 2 )3( − )333−22 2 ( − )( − ) 22 ( − )( − )√=( + − 2 − 2√).(1 + 2 )(1 + 2 )33Таким образом, минимальное значение функции 2 ( ∗ ), представлено формулой (2.26):min2 ( ∗ ) = (−)(−) ∗ =+0 +√ 2(1 +2 )=22 ( − )( − )( + − 2 − −2√).(1 + 2 )3(2.26)Чтобы найти минимум 3 ( ∗ ), возьмем производную функции (2.21) и приравняем ее к нулю.3 ( ∗ )11(−2)(0 + − ∗ )(0 + 3 −=[( − )(−3) +∗(3( − )− )−2 − ∗ ) +−)2 =12(0 + − ∗ )2 (−1)] −3( ∗ − 0 −( − )3( − )( − )1 ( − )21(0 2 + 30 − 20 − 0 ∗ + 0 +−( − )3( − )( − )48+3 − 2 2 − ∗ − 0 ∗ − 3 ∗ + 2 ∗ + ∗ 2 ) −1( ∗ 2 −3( − )( − )− ∗ − 0 ∗ − ∗ + 2 + 0 − 0 ∗ + 0 + 0 2 ) −−2 ∗ − 20 ∗ + 2 + 20 + 0 2 ) =2( ∗ 2 −( − )( − )1 ( − )1−( ∗ 2 +( − )( − )( − )+20 − 20 ∗ + 2 − 2 − 2 ∗ + 0 2 + 2 − 2 ) −∙ ( ∗ 2 − 2 ∗ − 20 ∗ + 2 + 20 + 0 2 ) =∙ ( ∗ 2 − 2 ∗ ( + 0 ) + ( + 0 )2 ) +=2∙( − )( − )(1 + 2 )1 ( − )−∙( − )( − )( − )1( − )2 =( − )( − )(1 + 2 )1 − 1 + 1 − 1 ( ∗ − − 0 )2 =−( − )( − )( − )= 1 −(1 + 2 )( ∗ − − 0 )2 .( − )( − )Получаем формулу (2.27):(1 + 2 )3 ( ∗ )( ∗ − − 0 )2 .=−1∗( − )( − )Приравняем выражение (2.27) к нулю:(2.27)493 ( ∗ )= 0; ∗1 −(1 + 2 )( ∗ − − 0 )2 = 0;( − )( − )(1 + 2 )( ∗ − − 0 )2 = 1 ;( − )( − )( ∗ − − 0 )2 =1 ( − )( − );(1 + 2 )1 ( − )( − ) ∗ − − 0 = ±√;(1 + 2 )∗1,2= + 0 ± √1 ( − )( − ).(1 + 2 )( + )12( ∗ − − 0 )2 = 0 является парабола,Графиком функции 1 − (−)(−)( + )12ветви направлены вниз, т.к.
− (−)(−)< 0.Рисунок 2.3 - Схематичное изображение графика функции F3’(t*)Источник: составлено автором50Из рисунка 2.3 видно, что производная 3 ′ ( ∗ ) меняет знак с минуса на плюсв точке 1∗ , имеющей следующий вид (2.28):1 ( − )( − )1∗ = + 0 − √.(1 + 2 )(2.28)Значит, 1∗ является минимумом функции 3 ( ∗ ).Найдем значение функции 3 ( ∗ ) в точке минимума, для этого подставим(2.28) в (2.21):3 (1∗ ) =1[( − )(30 + + 2 − 3 − 30 + 3 ∙3( − )2∙√1 ( − )( − )11 ( − )( − ))+(0 + − − 0 + √) ∙(1 + 2 )( − )(1 + 2 )1 ( − )( − )2∙ (0 + 3 − 2 − − 0 + √∙)] −(1 + 2 )3( − )( − )3∙ ( + 0 − √1 ( − )( − )1(2 − + 2 −− 0 − ) =(1 + 2 )3( − )−2 2 − 3 + 3 + 3√1 ( − )( − )1 ( − )( − )− 3√)+(1 + 2 )(1 + 2 )51+11 ( − )( − )+(( − )2 + 2( − )√(1 + 2 )3( − )( − )++1 ( − )( − )1 ( − )( − )) (2 − 2 + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )1 2 ( − )( − ) ( − )( − )1√ 1(2 + −=(1 + 2 )3( − )( − )(1 + 2 )3( − )−2 2 + 3 − 3 + 3√+1 ( − )( − )1 ( − )( − )− 3√)+(1 + 2 )(1 + 2 )11 ( − )( − )(( − )2 − 2( − )√) (2( − ) +(1 + 2 )3( − )( − )+√1 ( − )( − )1 1 ( − )( − )(2( − ) +)+(1 + 2 )3(1 + 2 )( − )( − )1 ( − )( − )1 2 ( − )( − )1√ 1(2 ++√=)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )1 ( − )( − )1+ − 2 2 + 3 − 3 + 3( − )√∙)+(1 + 2 )3( − )521 ( − )( − )1 ( − )( − )∙ (2( − )2 − 3( − )√−2)+(1 + 2 )(1 + 2 )212 ( − )12 ( − )( − )1 2√ 1+++∙(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )3(1 + 2 )1 ( − )( − )1(2 + − 2 2 + 3 − 3 +3( − ) ∙∙√=(1 + 2 )3( − )1 ( − )( − )1 ( − )( − )∙√+ 2 2 − 4 + 2 2 − 3( − )√)−(1 + 2 )(1 + 2 )21 1 ( − )( − ) 212 ( − ) (12 + 1 2 ) 1 ( − )( − )√−++=(1 + 2 )3( − )(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 )=1 ( − ) 31 ( − ) 1 ( − )( − )1√++((2 − 3 +(1 + 2 )3( − )3( − )3( − )+22)212 ( − ) 212 ( − ) 1 (1 + 2 ) 1 ( − )( − )√−++=(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )3(1 + 2 )=−1 1 ( − )( − ) 1 ( − )(2 − ) 1− 1 √++ ∙(1 + 2 )33( − )3531 ( − )( − ) 11 ( − )( − )∙√=∙ (2 − − − 2√).(1 + 2 )(1 + 2 )3Таким образом, минимальное значение функции 3 ( ∗ ), представлено формулой (2.29):min3 ( ∗ ) = (−)(−) ∗ =+0 −√ 1(1 +2 )=4 ( ∗ ) =1311 ( − )( − )(2 − − − 2√).(1 + 2 )3(2.29)(3 ∗ − − − − 30 )- линейная возрастающая функция, зна-чит, минимальное значение достигается на левом конце отрезка [ + 0 ; +∞), следовательно, в точке ∗ = + 0 .
Минимальное значение функции 4 ( ∗ ), представлено формулой (2.30):min 4 ( ∗ ) =∗ =+011(3 + 30 − − − − 30 ) = (2 − − ). (2.30)33Чтобы найти минимальное значение функции ( ∗ ) , сравним формулы(2.23), (2.26), (2.29) и (2.30) и найдем среди них минимальное.Сравним (2.23) с (2.26), для этого вычтем из (2.23) (2.26):222 ( − )( − )( + − 2) − ( + − 2 − 2√)=(1 + 2 )3354=22 2 ( − )( − )√> 0.(1 + 2 )3Полученное выражение больше нуля, следовательно, (2.23) больше (2.26).Теперь сравним (2.29) с (2.30), для этого вычтем из (2.29) (2.30):11 ( − )( − )1(2 − − − 2√) − (2 − − ) =(1 + 2 )33=−21 1 ( − )( − )√< 0.(1 + 2 )3Полученное выражение меньше нуля, следовательно, (2.29) меньше (2.30).И наконец, сравним (2.26) и (2.29), для этого вычтем из (2.26) (2.29):22 ( − )( − )1( + − 2 − 2√) − (2 − − −(1 + 2 )331 ( − )( − )1−2√) = ((2 − 21 ) + (1 − 22 ) + (1 + 2 ) −(1 + 2 )3( − )−2√( √ ( − ) − 1 √1 ( − ))).(1 + 2 ) 2 2В полученном выражение знак зависит от параметров: , , , 1 =.0, 2 =55Таким образом, в итоге, получим формулу (2.31):Если + − 2 − 2√( − )( − )( + )0<(2 − − −0()( − )( − )( − )( − )0∗− 2√,то=++;)0√( + )( + )00Если + − 2 − 2√(( − )( − )( + )0>(2.31)(2 − − −0)( − )( − )( − )( − )00∗−2√.) , то = + 0 − √( + )( + )00Разработанная стохастическая модель, учитывающая неопределенностьспроса и соответствующая ей оптимизационная задача по критерию минимизацииматематического ожидания интегральных дополнительных издержек в качестве результата определяют время назначения доставки новой партии товара в известномобъеме.
При предположении о треугольном распределении случайных отклоненийфактического спроса от прогнозируемого было получено аналитическое решениезадачи, выраженное соотношением (2.31).2.2 Модель оптимизации времени назначения поставки с учетомнеопределенности времени поставки по критерию минимизациидополнительных издержекРассмотрим стохастическую модель с неопределенностью реального времени прихода товара на склад. Такая ситуация характерна, например, для поставок56из-за рубежа, связанных с процессами растаможивания товара или с комбинированными поставками несколькими видами транспорта.Предполагаем, что спрос детерминирован, т.е.
момент обнуления запаса товара в объеме на складе точно известен. Например, если поставки происходятстрого по заранее согласованным графикам.Пусть неопределенность времени доставки товара на склад , выражена соотношением (2.32): = ∗ + Δ,(2.32)где ∗ - время заказа поставки товара; Δ-случайная величина, описывающая отклонение фактического времени доставки и договорного.Будем считать, что случайная величина Δ распределена по треугольному закону распределения на отрезке [, ]. Параметры , , – определяются из статистических данных, либо с помощью оценок экспертов, при соблюдение следующего условия: ≤ ≤ , < , где - нижний предел, - верхний предел, мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто).
В частном случае = или = треугольное распределение строится по двум точкам. Тогдавремя реального прихода товара имеет также треугольное распределение случайной величины на отрезке [ ∗ + a, ∗ + b]. На рисунке 2.4 изображена функция плотности распределения величины Δ.57Рисунок 2.4 - Плотность распределения ΔtИсточник: составлено автором на основе известного закона треугольногораспределенияВ качестве целевой функции рассмотрим, как и в модели параграфа 2.1, интегральные дополнительные издержки, возникающие в результате расхождениймомента завоза и момента обнуления товара на складе.Дополнительные складские затраты пребывания объема в течении промежутка времени от доставки и до фактического окончания товара , в случае, когда прибытие товара на склад было реализовано до времени ( < ) выражаютсясоотношением (2.33): = ( − ),(2.33)где = - цена удельных складских издержек единичного объема товара.Издержки дефицита товара от времени фактического обнуления товара идо момента завоза товара в объеме , в случае, когда поставка товара произошлапозже срока ( > ), составят, согласно формуле (2.34):=( − ),(2.34)58где = -удельная прибыль от реализации товара; ⁄ - оценка среднесуточного количества реализации товара.Суммарный объем дополнительных затрат, возникающих в следствие несвоевременности завоза можно выразить соотношением (2.35):( − ), < ; + = {( − ), > .(2.35)В качестве целевой функции интегральных дополнительных издержек примем их математическое ожидание, поскольку интегральные издержки являютсяслучайными.Пусть в рассматриваемой модели неопределенность доставки выражаетсяслучайной величиной Δ, которая распределена согласно треугольному закону распределения с плотностью, выраженной соотношением (2.36):0, при Δ < ;2(Δ − ), при ≤ Δ < ;( − )( − )2, при Δ = ;(Δ) =( − )2(b − Δ), при с < Δ ≤ ;( − )( − )0, при < Δ.{(2.36)В этом случае математическое ожидание интегральных дополнительных затрат, связанных с несвоевременностью завоза, выражается соотношением (2.37):( ∗ ) = ∫ ( ∗ + Δ − )(Δ)Δ + ∫ ( − ∗ − Δ)(Δ)Δ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
