Диссертация (1152448), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Неравенство ∗ −(3.14)< < , или ( ∗ − ) ≤ ≤< ∆ выполняется на отрезках [ ∗ − ; ] и [; ] ине выполняется на отрезке [; ∗ − ], следовательно:2(Δ − )2 () = ∫ ∗ ( + Δ − ∗ )Δ + ∫ ∗ ( + Δ −( − )( − ) ∗−2(b − Δ)2∗1∗)−Δ =∫ ( + Δ − ∗ ) (Δ − ) ∙( − )( − )( − ) ( − )∗ −[12∗1∗ (b∙ Δ +∫ ( + Δ − ) − Δ)Δ ] =∙[( − )( − ) ( − )∫ ( ∗ − ) ∙ Δ + ∫ ( − ∗ − ) Δ Δ + ∫ Δ 2 Δ +∙( ∗− ∗− ∗−)1001+(∫ ( − ∗ ) ∙ Δ + ∫ ( ∗ − + ) Δ Δ − ∫ Δ 2 Δ )] =( − )2 ∗11 1=[( ( ∗ − ) Δ|∗ + ( − ∗ − ) Δ 2 |∗ + ∙ − −( − ) ( − )2 3∙ Δ 3 |∗) −∙Δ 3 | )]2∙ (с − ++111( ( − ∗ ) Δ| + ( ∗ − + ) Δ 2 | − ∙( − )232∗11 =[(( ∗ − ) ( − ∗ + ) + ( − ∗ − ) ∙( − ) ( − )2 ∗2 21 3 1 ∗3 2 1 3∗2∗+ 2−( ) )+ − +− ( ) + ( ) )+333 ∗111(( − ∗ ) ( − ) + ( ∗ − + ) ( − )( + ) − ( −( − )232∗1−)( + + ) ] =[(с ∗ − ∗ 2 + ∗ − с +( − ) ( − )22) ∗ 2 1 2 1 ∗2 2 1 3 1 2 ∗ 1 ∗3∗+ − ( ) +с − + ( ) − ( ) − с + −222 22−+∗2∗2 1 2 ∗ 1 2 1 ∗2 1 2 1 3 1 ∗3∗+ ( ) − с + − + ( ) + − + 2 22 2 33 2 1 3 1111∗− ( ) + ( ) ) − ∗ + + ∗ + ∗ −−+3 22221011 2 11 2 11 22∗111+ + − − − ] =[( ∗ 3 − ( + ) ∙( − ) ( − ) 6223332∙∗21 21 2 ∗ 1 3 1 2 1 2+ ( ( ) + + − ) − ( ) − ( ) − + −2 26 2 21 2 1 312∗1∗(− + ) +− ) (3 + + 2 − 3 )] =∙[( − ) ( − )2361 ∗311 1 111 2 1 2∗2∙ ( + (− −−+ − ) + ( ( ) + ( ) + +623 6 333 6 2 2 1 2 2 1 1 ∗ 1 3 2+ − + − + + ) − (( ) + 3 ( ) + 6 −363 3 3 6 212 ∗23∗−3 + 3 + 2 )) + ( − ) (3 + + 2 − 3 )] =∙( − )6111 1 1 ∙[( ∗ 3 − ( + ) ∗ 2 − ( + 3 − 2) ∗ 2 + ( + ) ( +( − ) 63 6 3 221 1 1∗+3 − 2) + ( + ) − ( + ) ( + 3 − 2)) + ( − ) ∙6 6 6∗2∗11∗∙ (3 + + 2 − 3 )] =[( ( ∗ 3 − 2 ( + ) ∗ 2 + ( +( − ) ( − ) 62 ∗)+) 21 ∗2∗− (( + 3 − 2) − 2 ( + ) ( + 3 − 2) + ( + ) ∙6 10212 ∗1∗∙ ( + 3 − 2))) + ( − ) (3 + + 2 − 3 )] =∙[( − ) ( − )6221 ∗ ∗ 1 1∗∙ ( ( − − ) − ( + 3 − 2) ( − − ) ) + ( − ) (3 +66 6+ + 2 − 3+( − ) (3∗ )]2 ∗1∗=[( − − ) ( ∗ − − 3 + 2) +3( − ) ( − )+ + 2 − 3 ∗ )].Таким образом, во втором случае формула (3.13) примет вид (3.15):2∗1∗2 () =[( − − ) ( ∗ − − 3 + 2) +3( − ) ( − )+( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ )] .Рассмотрим третий случай, когда < ≤ ∗ −( ∗ − ).
Неравенство ∗ −(3.15)< , или ( ∗ − ) ≤ ≤< ∆ выполняется на отрезке [ ∗ − ; ] и не выполняется на отрезке [; ∗ − ], следовательно:2(b − Δ)2 ∗∗3 () = ∫ ( + Δ − )Δ =∙( − )( − )( − )( − )∗ ∗−1032 ∗∗ (b∙ ∫ ( + Δ − ) − Δ)Δ =( − )( − ) ∗−+ ∫ ( ∗ − + ) Δ Δ − ∗−−∫ ( − ∗ ) Δ +[ ∗ − ∗)Δ|∗ −2∗∫ Δ Δ =[ ( −( − )( − ) ∗ −0]21 ∗ 1 32∗2 |+ ( − + ) Δ ∗ − Δ | ∗ ] =∙ − −( − )( − )231 ∗ 21∗∗2∗2∗∙ [( − ) ( − + ) + ( − + ) ( − + 2−( ) )− ∙233∙ ( − ∗3+ 3∗2 2 32∗∗− 3 ( ) + ( ) )] =[ 2 − ∗ +( − )( − ) 2 ∗ 1 2 ∗ 1 ∗3 ∗2 1 2 ∗ 1 22 ∗∗2+ ( ) − + − + − + − ( ) −222 21 ∗2 2 ∗ 1 3 1 3 1 ∗2 ∗ 1 2 1 3+ − ( ) + ( ) + − + − ( ) − +22 222 31 ∗3 ∗2 2 ∗ 1 32 ∗11 + − +( ) − ( ) ]=[− ∗ 3 + ( + ) ∙( − )( − ) 633 2 ∙∗21 2 1 2 ∗ 1 3 2+ (− − − ( ) ) + (( ) + 3 ( ) + 3 2 + 3 )] =2 2 6 104232∗1 ∗3 1 1 1 ∗2∗=[− + ( + ) − ( + ) + ( + ) ] =( − )( − ) 62 2 6 3−∗∗=( − − ) .3( − )( − )Таким образом, в третьем случае формула (3.13) примет вид (3.16):3−∗∗3 () =( − − ) .3( − )( − )(3.16)В четвертом случае, при ≤ ∗ − , или ≤ ( ∗ − ), неравенство ∗ −<∆ не выполняется, следовательно, интеграл () в области (; +∞) не существует, а значит, примет вид (3.17):4 () = 0.(3.17)Найдем математическое ожидание суммарных издержек в каждой из рассмотренных областей.
Для этого сложим полученные формулы (3.9) и (3.14), (3.10)и (3.15), (3.11) и (3.16), (3.12) и (3.17).Сложив формулы (3.9) и (3.14), получим выражение (3.18): ∗ 1 () = 1 () + 1 () =(3 + + + − 3 ∗ ).3Сложив формулы (3.10) и (3.15), получим выражение (3.19):(3.18)105 3∗2 () = 2 () + 2 () =( − − ) +3( − )( − )2 ∗1+[( ∗ − − ) ( ∗ − − 3 + 2) +3( − ) ( − )+( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ )] .(3.19)Сложив формулы (3.11) и (3.16), получим выражение (3.20):[( − ) (3 + + 2 − 3 ∗ ) +3( − )21+( + − ∗ ) ( + 3 − 2 − ∗ ) ] −(3.20)( − ) 3 () = 3 () + 3 () =3∗∗−( − − ) .3( − )( − )Сложив формулы (3.12) и (3.17), получим выражение (3.21):4 () = 4 () + 4 () =(3 ∗ − − − − 3 ).3(3.21)Найдем минимум ожидаемых издержек в каждой из областей.1 () =∗3(3 + + + − 3 ∗ )- является линейной возрастающей функ-цией, а значит ее минимальное значение достигается на левом конце рассматриваемого множества, т.е.
в точке ( ∗ − ). Значение функции 1 () в точке минимума представлено формулой (3.22):min[( ∗ −); +∞]1 () = 1 (( ∗ − )) =1= ∗ ( + − 2).3 ∗(3( ∗ − ) + + + − 3 ∗ )3(3.22)1061Отметим, что в силу того, что ≤ ≤ , значение ∗ ( + − 2) ≥ 0.3Чтобы найти минимум 2 (), возьмем производную функции (3.19) и приравняем ее к нулю. Обозначим 0 = , как и ранее, K1=qz, K2=pQ* тогда:2 () 1 2 (0 )= 02 (0 )121=−3( ∗ − − 0 )2 +2( ∗ − 0[−03( − )( − )3( − ) ( − )−)( ∗ − 0 − 3 + 2) −=∙12(− ∗ 2 + 2 ∗ + 20 ∗ − 20 − 2 − 0 2 ) − ∙( − )( − )32( ∗ 2 − 20 ∗ + ∗ − 3 ∗ + 0 2 − 0 − 2 2 + 3 +( − )( − )+30 ) −+1( ∗ − 0 − )2 + 3( − )] =( − )21 ∗2( − 2 ∗ − 20 ∗ + 20 + 2 + 0 2 ) +( − )( − ) 321( − ) = −( ∗ 2 − 2 ∗ − 20 ∗ + 20 + 2 +( − )( − )( − )+0 2 ) +2(− ∗ 2 + 20 ∗ + 2 − 0 2 + 2 ∗ − 2 − 20 −( − )( − )−2 + 2 ) +(1 + 2 )2( − ) =( ∗ 2 − 2 ∗ − 20 ∗ + 2 +( − )( − )( − )107+20 + 0 2 ) −=+22(2 − 2 + 2 ) −( − ) =( − )( − )( − )(1 + 2 )( ∗ 2 − 2 ∗ ( + 0 ) + ( + 0 )2 ) +( − )( − )(1 + 2 )−2 + 2 − 2 + 2 2 ( − )( ∗ − − 0 )2 −==( − )( − )( − )( − )=(1 + 2 )( − − ∗ )2 − 2 .( − )( − ) 0Получаем формулу (3.23):(1 + 2 )2 ()1( ∗ − − 0 )2 − 2 ).=− ((− )( − )Приравняем выражение (3.23) к нулю:2 ()= 0;(1 + 2 ) 2∗( − − ) − 2 = 0;( − )( − )(1 + 2 ) 2∗( − − ) = 2 ;( − )( − ) 2 2 ( − )( − );( − − ) =(1 + 2 )∗(3.23)108∗ − −2 ( − )( − )= ±√;(1 + 2 )2 ( − )( − )1,2 = − + ∗ ± √.(1 + 2 )1 2( + )12График функции − ((−)(−)( ∗ − − ) − 2 ) есть парабола, ветви ко( + )12торой имеют отрицательную ориентацию, т.к.- (−)(−)< 0.-+Q1Q2QРисунок 3.1 - Схематичное изображение графика функции F2’(Q)Источник: составлено авторомИз рисунка 3.1 видно, что производная 2 ′ () меняет знак с минуса на плюсв точке Q1, а следовательно, эта точка может быть кандидатом на точку минимума.Точка Q1 имеет следующий вид (3.24):2 ( − )( − )1 = − + ∗ − √(1 + 2 )(3.24)109Рассмотрим расположение точек Q1 и Q2 относительно рассматриваемого вслучае 2 отрезка, а именно ( ∗ − ) ≤ ≤ ( ∗ − ).
Поскольку очевидно, что( ∗ − ) ≤ 2 , а 1 ≤ ( ∗ − ), то возможно всего 2 значимых случая, а именно:Случай 2.1 ( ∗ − ) ≤ 1 .Это неравенство равносильно следующему неравенству2 ( − )≤−(1 + 2 )которое в свою очередь равносильно неравенству:1 − ≥2 − В этом случае, учитывая знаки производной, точка Q1 является точкой минимума функции F2(Q) на рассматриваемом отрезке.
Найдем значение функции2 (1 ) в точке минимума, для этого подставим (3.24) в (3.19):32 (1 ) =12 ( − )( − )−− ) +( + + √(1 + 2 )3( − )( − )2+22 ( − )( − ) − − ) ( + − −( + + √(1 + 2 )3( − )( − ) 2 ( − )( − )2 ( − ) −3 + 2 + √)+(3 + + 2 − 3 − 3 −(1 + 2 )3( − )1102 ( − )( − )12 ( − )( − )−3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )( − )∙√2 ( − )( − )2(( − )2 + 2( − ) ∙+(1 + 2 )3( − )( − )2 ( − )( − ) 2 ( − )( − )∙√+) (−2 + 2 +(1 + 2 )(1 + 2 )+√2 ( − )( − )2( 2 + − 3 + 3 − 2 2 − 3 ∙)+(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )1 2∙√+ 3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )2 ( − )( − )2∙√+(( − )2 − 2( − )) ∙(1 + 2 )3( − )( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )2∙√∙) (2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )( − )∙2 ( − )( − )2 ( − )( − )2( 2 + −(2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )1112 ( − )( − )2 ( − )( − )−3 + 3 − 2 2 − 3√+ 3√)=(1 + 2 )(1 + 2 )=1 2 ( − )( − )2√ 2+(( − ) − 2 ∙(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )22∙√∙) (2( − ) + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )2 ( − )( − )2( 2 + − 3 +3 −∙ ((2( − ) + √)+(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )1 2−2 2 − 3√+ 3√∙)=(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )2 ( − )( − )22 ( − )( − )∙√+−(2( − )2 − 3( − )√(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − )222 ( − )22 ( − )( − )√ 2−2++)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )+22 ( − )( − )( 2 + − 3 + 3 − 2 2 + 3( − )√)=(1 + 2 )3( − )112(1 2 + 22 ) 2 ( − )( − ) 222 ( − )2√(2 2 − 4 +=++(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3( − )2 ( − )( − )2 ( − )( − )+22 − 3√+ 3√+ 2 + − 3 +(1 + 2 )(1 + 2 )2 ( − )( − )2 ( − )( − )22+3 − 2 2 + 3√− 3√∙)−(1 + 2 )(1 + 2 )3( − )2 ( − )( − ) 2 (1 + 2 ) 2 ( − )( − ) 222 ( − )√∙=+−(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 )222 ( − ) 2 ( − ) 2 ( − )(−3) 2 ( − )( − )√−+++(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )3( − )+∙√22 2 ( − )( − ) 2 √(22 − 3 + 2 ) =+− 2 ∙(1 + 2 )3( − )332 ( − )( − )22 2 22 ( − )( − 2) =++−−(1 + 2 )3( − )333−22 2 ( − )( − ) 22 ( − )( − )√=( + − 2 − 2√).(1 + 2 )(1 + 2 )33Таким образом, минимальное значение функции 2 () на рассматриваемомв случае 2 отрезке, представлено формулой (3.25):113min[( ∗ −);( ∗ −) ]=2 () =22 ( − )( − )( + − 2 − 2√).(1 + 2 )3(3.25)Отметим, что из представления выражения (3.25) в виде221 ( − )( − )((√ − − √ − ) + 2√)(1 + 2 )3следует его не отрицательность.Случай 2.2 1 < ( ∗ − ).Это неравенство равносильно следующему неравенству2 ( − )>−(1 + 2 ), которое в свою очередь равносильно неравенству:1 − <2 − В этом случае, учитывая знаки производной, точка ( ∗ − ).
является минимумом функции F2(Q) на рассматриваемом отрезке. Найдем значение функции2 (( ∗ − )) в точке минимума, для этого подставим ( ∗ − ) в (3.19):min[( ∗ −);( ∗ −) ]1 ( − )2 + 2 ( − )22 () =.3( − )114Чтобы найти минимум 3 (), возьмем производную функции (3.20) и приравняем ее к нулю.3 () 1 3 (0 )= 03 (0 )11(−2)(0 + − ∗ )(0 + 3 −=[( − )(−3) +(03( − )− )−2 − ∗ ) +−)2 =12(0 + − ∗ )2 (−1)] −3( ∗ − 0 −( − )3( − )( − )1 ( − )21(0 2 + 30 − 20 − 0 ∗ + 0 +−( − )3( − )( − )+3 − 2 2 − ∗ − 0 ∗ − 3 ∗ + 2 ∗ + ∗ 2 ) −1( ∗ 2 −3( − )( − )− ∗ − 0 ∗ − ∗ + 2 + 0 − 0 ∗ + 0 + 0 2 ) −−2 ∗ − 20 ∗ + 2 + 20 + 0 2 ) =2( ∗ 2 −( − )( − )1 ( − )1−( ∗ 2 +( − )( − )( − )+20 − 20 ∗ + 2 − 2 − 2 ∗ + 0 2 + 2 − 2 ) −∙ ( ∗ 2 − 2 ∗ − 20 ∗ + 2 + 20 + 0 2 ) =∙ ( ∗ 2 − 2 ∗ ( + 0 ) + ( + 0 )2 ) +2∙( − )( − )(1 + 2 )1 ( − )−∙( − )( − )( − )1( − )2 =( − )( − )115=(1 + 2 )1 − 1 + 1 − 1 ( ∗ − − 0 )2 =−( − )( − )( − )= 1 −(1 + 2 )( ∗ − − 0 )2 .( − )( − )Получаем формулу (3.26):(1 + 2 )3 ()1 2∗= − [1 −( − − ) ].( − )( − )Приравняем выражение (3.26) к нулю:3 ()= 0;(1 + 2 ) 2∗1 −( − − ) = 0;( − )( − )(1 + 2 ) 2∗( − − ) = 1 ;( − )( − ) 2 1 ( − )( − );( − − ) =(1 + 2 )∗∗ − −1 ( − )( − )= ±√;(1 + 2 )(3.26)1161 ( − )( − )1,2 = ∗ − ± √.(1 + 2 )1 2( + )12Графиком функции − [1 − (−)(−)( ∗ − − ) ] является парабола,( + )12ветви которой направлены вверх, т.к.
(−)(−)> 0.+-+Q1Q2QРисунок 3.2 - Схематичное изображение графика функции F3’(Q)Источник: составлено авторомИз рисунка 3.2 видно, что производная 3 ′ () меняет знак с минуса на плюсв точке 2 , а следовательно, эта точка может являться кандидатом на точку минимума. Точка 2 имеет следующий вид (3.27):2 = ∗ − + √1 (−)(−)(1 +2 ).(3.27)Рассмотрим расположение точек Q1 и Q2 относительно рассматриваемого вслучае 3 отрезка, а именно ( ∗ − ) ≤ ≤ ( ∗ − ). Поскольку очевидно, что( ∗ − ) ≤ 2 , а 1 ≤ ( ∗ − ), то возможно всего 2 значимых случая, а именно:Случай 3.1 2 ≤ ( ∗ − ).Это неравенство равносильно следующему неравенству1172 ( − )≤−(1 + 2 ), которое в свою очередь равносильно неравенству:1 − ≤2 − В этом случае, учитывая знаки производной, точка Q2 является минимумомфункции F3(Q) на рассматриваемом отрезке. Найдем значение функции 3 () вточке минимума, для этого подставим (3.27) в (3.20):3 (2 ) =1[( − )(30 + + 2 − 3 − 30 + 3 ∙3( − )2∙√1 ( − )( − )11 ( − )( − ))+(0 + − − 0 + √) ∙(1 + 2 )( − )(1 + 2 )1 ( − )( − )2∙ (0 + 3 − 2 − − 0 + √∙)] −(1 + 2 )3( − )( − )3∙ ( + 0 − √1 ( − )( − )1(2 − + 2 −− 0 − ) =(1 + 2 )3( − )−2 2 − 3 + 3 + 3√1 ( − )( − )1 ( − )( − )− 3√)+(1 + 2 )(1 + 2 )118+11 ( − )( − )+(( − )2 + 2( − )√(1 + 2 )3( − )( − )++1 ( − )( − )1 ( − )( − )) (2 − 2 + √)+(1 + 2 )(1 + 2 )1 2 ( − )( − ) ( − )( − )1√ 1(2 + −=(1 + 2 )3( − )( − )(1 + 2 )3( − )−2 2 + 3 − 3 + 3√+1 ( − )( − )1 ( − )( − )− 3√)+(1 + 2 )(1 + 2 )11 ( − )( − )(( − )2 − 2( − )√) (2( − ) +(1 + 2 )3( − )( − )+√1 ( − )( − )1 1 ( − )( − )(2( − ) +)+(1 + 2 )3(1 + 2 )( − )( − )1 ( − )( − )1 2 ( − )( − )1√ 1(2 ++√=)+(1 + 2 )(1 + 2 )3(1 + 2 )3( − )1 ( − )( − )1+ − 2 2 + 3 − 3 + 3( − )√∙)+(1 + 2 )3( − )1191 ( − )( − )1 ( − )( − )∙ (2( − )2 − 3( − )√−2)+(1 + 2 )(1 + 2 )212 ( − )12 ( − )( − )1 2√ 1+++∙(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )3(1 + 2 )1 ( − )( − )1(2 + − 2 2 + 3 − 3 +3( − ) ∙∙√=(1 + 2 )3( − )1 ( − )( − )1 ( − )( − )∙√+ 2 2 − 4 + 2 2 − 3( − )√)−(1 + 2 )(1 + 2 )21 1 ( − )( − ) 212 ( − ) (12 + 1 2 ) 1 ( − )( − )√−++=(1 + 2 )3( − )(1 + 2 )3(1 + 2 )3(1 + 2 )=1 ( − ) 31 ( − ) 1 ( − )( − )1√++((2 − 3 +(1 + 2 )3( − )3( − )3( − )+22)212 ( − ) 212 ( − ) 1 (1 + 2 ) 1 ( − )( − )√−++=(1 + 2 )3(1 + 2 ) 3(1 + 2 )3(1 + 2 )=−1 1 ( − )( − ) 1 ( − )(2 − ) 1− 1 √++ ∙(1 + 2 )33( − )31201 ( − )( − ) 11 ( − )( − )∙√=∙ (2 − − − 2√).(1 + 2 )(1 + 2 )3Таким образом, минимальное значение функции 3 (), представлено формулой (3.28):min[( ∗ −);( ∗ −) ]=3 (2 ) =11 ( − )( − )(2 − − − 2√).(1 + 2 )3Отметим, что из представления выражения (3.28) в виде222 ( − )( − )((√ − − √ − ) + 2√)(1 + 2 )3следует его не отрицательность.Случай 3.2 2 > ( ∗ − ).Это неравенство равносильно следующему неравенству2 ( − )>−(1 + 2 ), которое в свою очередь равносильно неравенству:1 − <2 − (3.28)121В этом случае, учитывая знаки производной, точка ( ∗ − ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
