Диссертация (1152448), страница 11
Текст из файла (страница 11)
является минимумом функции F3(Q) на рассматриваемом отрезке. Найдем значение функции3 (( ∗ − )) в точке минимума, для этого подставим ( ∗ − ) в (3.20):min[( ∗ −);( ∗ −) ]14 () =31 ( − )2 + 2 ( − )23 () =.3( − )(3 ∗ − − − − 3 )- линейная убывающая функция, значит,минимальное значение достигается на правом конце отрезка (−∞; ( ∗ − )], следовательно, в точке = ( ∗ − ). Минимальное значение функции 4 (), представлено формулой (3.29):min∗[−∞;( −) ]4 () ==1(3 + 30 − − − − 30 )31(2 − − ).3(3.29)Отметим, что в силу того, что ≤ ≤ , справедливо1(2 − − ) ≥ 0.3Для получения итогового результата необходимо рассмотреть 4 случая соотношения параметров a, b, c, K1, K2.
А именно:Случай 1.12−−≥ − и 1 ≥ −В этом случае2122min () =122 ( − )( − ) 1min { 2 ( + − 2), ( + − 2 − 2√) , (2 − − (1 + 2 )3331 ( − )( − ) 1− 2√) , (2 − − )}(1 + 2 )3Сравним первые два выражения в фигурных скобках:222 ( − )( − )( + − 2) − ( + − 2 − 2√)=(1 + 2 )33=22 2 ( − )( − )√> 0.(1 + 2 )3Откуда следует, что первое из выражений можно исключить из рассмотрения.Аналогично сравним третье и четвертое выражения в фигурных скобках:11 ( − )( − )1(2 − − − 2√) − (2 − − ) =(1 + 2 )33=−21 1 ( − )( − )√< 0.(1 + 2 )3Откуда следует, что четвертое выражение можно исключить из рассмотрения.Таким, образом:min () =1232min {2√3( + − 2 − 2√2 (−)(−)1),(2(1 +2 )3−−−1 (−)(−))}.(1 +2 )(3.30)Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества2 ( − )( − )1 ( − )( − ), ∗ − + √.}{− + ∗ − √(1 + 2 )(1 + 2 )в зависимости от выбора минимального из выражений в (3.30).Случай 2.12−−≥ − и 1 < −2В этом случаеmin () =1K233min { K 2 (b+c-2a),K 2 (b-a)(c-a)(b+c-2a-2√(K 1 +K 2 )),K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)2 K 1,3(b-a)3(2b-a-c)}.Согласно рассуждениям для случая 1, первое выражение можно исключить из рассмотрения.
Таким образом:KK 2 (b-a)(c-a)min F(Q) =min { 2 (b+c-2a-2√3Q(K 1 +K 2 )),K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)2 K 13(b-a),3(2b-a-c)}(3.31)124Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества2 ( − )( − ), ( ∗ − ), ( ∗ − ) }{− + ∗ − √(1 + 2 )в зависимости от выбора минимального из выражений в (3.31).Случай 3.12−−< − и 1 ≥ −2В этом случаеmin () =1min { K 2 (b+c-2a),3K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)23(b-a),13(2 − − − 2√1 (−)(−)(1 +2 )),K13(2b-a-c)}.Согласно рассуждениям для случая 1, четвертое выражение можно исключить израссмотрения. Таким образом:min F(Q) =Q1K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)233(b-a)min { K 2 (b+c-2a),,K13K 1 (b-a)(b-c)(2b-a-c-2√(K 1 +K 2 ))}Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества1 ( − )( − ).}{( ∗ − ), ( ∗ − ), ∗ − + √(1 + 2 )(3.32)125в зависимости от выбора минимального из выражений в (3.32).Случай 4.12−−< − и 1 < −2В этом случаеmin () =1K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)233(b-a)min { K 2 (b+c-2a),,K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)23(b-a),K13(2b-a-c)}.Исключая одинаковые выражения, получаем:min F(Q) =Q1K 1 (c-a)2 +K 2 (b-c)233(b-a)min { K 2 (b+c-2a),,K13(2b-a-c) }(3.33)Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества{( ∗ − ), ( ∗ − ), ( ∗ − )}в зависимости от выбора минимального из выражений в (3.33).Разработанная стохастическая модель, учитывающая неопределенностьспроса и соответствующая ей оптимизационная задача по критерию минимизацииматематического ожидания интегральных дополнительных издержек в качестве результата определяют размер новой партии товара при известном времени поставки.126При предположении о треугольном распределении случайных отклонений фактического спроса от прогнозируемого было получено аналитическое решение задачи,выраженное соотношением (3.30) – (3.33).Результат, а именно вид аналитического выражения и его содержание, зависят от входных параметров модели, а именно − оценка среднесуточного количества реализации товара, 0 - прогнозируемое время обнуления запаса товара, цена удельных складских издержек единичного объема товара, - удельная прибыль от реализации товара, ∗ − объем партии товара, которая прибудет после реализации завезенного товара в объеме Q, ∗ − время доставки товара, а также параметров треугольного распределения a, b, c случайной величины Δ, представляющая разницу между фактическим временем доставки и договорным.3.2 Модель оптимизации объема поставки с учетом неопределенностивремени поставки по критерию минимизации дополнительных издержекРассмотрим стохастическую модель с неопределенностью реального времени прихода товара на склад.
В большинстве случаев данную неопределенностьнельзя полностью ликвидировать, а возможно лишь уменьшить, даже если грамотно спланировать весь процесс поставки. Основные результаты данного параграфа опубликованы автором в работах [60], [62].В данной модели предположим, что спрос детерминирован, т.е.
что моментокончания товара точно может быть рассчитан. Такая ситуация характерна дляслучаев отпуска товара по предварительно согласованным графикам. Однако предполагаем, что существует неопределенность момента поставки товара. Пусть неопределенность времени доставки товара на склад , выражена соотношением(3.34):127 = ∗ + Δ,(3.34)где ∗ - время заказа поставки товара; Δ-случайная величина отклонения фактического момента доставки от назначенного.Будем считать, что случайная величина Δ распределена по треугольному закону распределения на отрезке [, ].
Параметры , , – определяются из статистических данных, либо с помощью оценок экспертов, при соблюдение следующего условия: ≤ ≤ , < , где - нижний предел, - верхний предел, мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто). В частном случае = или = треугольное распределение строится по двум точкам. Тогдавремя реального прихода товара имеет также треугольное распределение случайной величины на отрезке [ ∗ + a, ∗ + b] (рисунок 2.4).В качестве целевой функции рассмотрим, как и в модели параграфа 2.1, интегральные дополнительные издержки, возникающие в результате расхождениймомента завоза и момента обнуления товара на складе.Дополнительные складские затраты пребывания объема в течении промежутка времени от доставки и до фактического окончания товара , в случае, когда прибытие товара на склад было реализовано до времени ( < ) выражаютсясоотношением (3.35): = ( − ),(3.35)где = - цена удельных складских издержек единичного объема товара.Издержки дефицита товара от момента времени фактического обнуления товара и до времени доставки товара в объеме , в случае, когда поставка товарапроизошла позже срока ( > ), составят, согласно формуле (3.36): = ( − ),(3.36)128где = -прыбыль от продажи единицы продукции, q-средний суточныйобъем продаваемого товара.Суммарный объем дополнительных затрат, возникающих в следствие несвоевременности завоза можно выразить соотношением (3.37):( − ), < ;+ ={( − ), > .(3.37)Общая графическая схема рассматриваемой задачи представлена на рис.
3.3.В качестве целевой функции интегральных дополнительных издержек примем их математическое ожидание, поскольку суммарные издержки являются случайными.Пусть в рассматриваемой модели неопределенность доставки выражаетсяслучайной величиной Δ, которая распределена согласно треугольному закону распределения с плотностью, выраженной соотношением (2.36).Q*Q-?t0+at0t0+bt*αРисунок 3.3 - Общая схема задачи определения объема поставки с учетом неопределенности момента доставкиИсточник: составлено авторомРассмотрим несколько диапазонов для поиска оптимального значения переменной Q. А именно, случаи 1 – 4, исследованные ниже:Случай 1.129 ≤ ∗ , или 0 + + ≤ ∗ , или 0 ≤ ≤ ( ∗ − 0 − ).
Графически этот случайпредставлен на рис. 3.4. В этом случае возможны только издержки дефицита, математическое ожидание которых представляется формулой (3.38).0 + + 0 + + 0 + + t*Рисунок 3.4 - Графическая схема случая 1Источник: составлено автором() = ∫ ( ∗ − 0 −− Δ) (Δ)Δ(3.38)В результате вычисления интеграла (3.38), получаем вид функции F(Q) для случая1, а именно:1() = (( ∗ − 0 − ) − ( − ))3(3.39)Таким образом математически формализованная задача минимизации интегральных дополнительных затрат, возникающая в процессе управления запасами,представленная соотношением (3.40), заключается в нахождении размера поставкиQ, которому соответствует минимальное математическое ожидание суммарных дополнительных издержек.130() → min.(3.40)Как видно из выражения (3.39) функция F(Q) является линейной убывающейфункцией, а следовательно, достигает своего минимума на правом конце рассматриваемого отрезка, то есть в точке, представленной выражением (3.41).
Значениефункции в этой точки представлено выражением (3.42).∗∗min1 = ( − 0 − )2133(3.41)∗min1 = ( + )(3.42)Случай 2.0 + + ≤ ∗ ≤ 0 + + или ( ∗ − 0 − ) ≤ ≤ ( ∗ − 0 − ). Графическиэтот случай представлен на рис. 3.5. В этом случае возможны как издержки дефицита, так и издержки хранения, суммарное математическое ожидание которыхпредставляется формулой (3.43).0 + + 0 + + t*Рисунок 3.5 - Графическая схема случая 2Источник: составлено автором0 + + 131Для упрощения дальнейших выкладок сделаем замену переменных, аименно: = ∗ − 0 − . При этом допустимый диапазон новой переменной в случае 2 представляется как ≤ ≤b. Тогда с учетом данной замены и выражений(3.37) имеем:() = ∫ ( − Δ)+ ∫ ( − Δ)− ∫ ∗ ( − Δ)2(∆ − )Δ +( − )( − )2( − ∆)Δ −( − )( − )2( − ∆)Δ.( − )( − )Для упрощения записи дальнейших выражений введем обозначение двух новых констант, а именно:1 =22и 2 =.( − )( − )( − )( − )С учетом замены () = 1 ∫ ( − Δ)(∆ − )Δ +1 ∫ ( − Δ)( − ∆)Δ − 2 ∫ ( − Δ)( − ∆)Δ.(3.43)Для нахождения точек минимума функции (3.43) необходимо найти ее производную.
Поскольку параметр T входит как в подынтегральные функции, так и ввыражения нижнего и верхнего пределов интегрирования, воспользуемся известной формулой Лейбница [34, с. 218], которая имеет следующий вид:Пусть1322 ()() = ∫ (, )1 (), тогда2 ()()(, )2 ()1 ()= ∫ + (2 (), )− (1 (), )(3.44)1 ()Используя формулу (3.44) для вычисления производной функции (3.43) получим:()= 1 ∫(∆ − )Δ + 1 ∫( − ∆)Δ − 2 ∫( − ∆)Δ(3.45)Вычисление интеграла (3.45) приводит нас к следующему соотношению(3.46):()(1 + 2 ) 2=− + (1 + 2 )21+ ( (1 2 − 2 2 ) − 1 ( + − ))2(3.46)Заметим, что производная является параболой с отрицательным главным коэффициентом, то есть параболой с ветвями вниз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
