Диссертация (1152448), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Далее найдем корни уравнения()= 0, которое преобразуем к виду( − )2 = ,где константой P обозначим следующее выражение:(3.47)133−21 ( + − ) + 1 (2 − 2 ) − 22 2=.1 + 2Очевидно, что в случае P<0, уравнение (3.47) не имеет корней, в случае P=0,имеет единственный корень T=b, а в случае P>0, имеет два различных коня, аименно: 1 = − √ и 2 = + √ . Далее рассмотрим различные случаи, которые определяются взаимным расположением границ рассматриваемого интервалаи корней 1 и 2 . Отметим, что 1 < < 2 . В каждом из этих случаев определимточку минимума для функции F(T) на рассматриваемом отрезке ≤ ≤b и значение минимизируемой функции в точке минимума. Используя формулу Лейбница,мы вычислили производную функции F(T) без явного вычисления этой функции извыражения (3.43), однако сделаем это сейчас, поскольку далее будем вычислятьзначения минимумов функции ().( 3 − 3 )( 2 − 2 )() = 1 (−+ ( + )− ( − )) +32( 3 − 3 )( 2 − 2 )+1 (− ( + )+ ( − )) −32( 3 − 3 )( 2 − 2 )−2 (− ( + )+ ( − )).32(3.48)Случай 2.1 ≤ 0.В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.47) либо не имеет корней, либо имеет единственный корень на правом конце отрезка в точке b.
Тогдапроизводная функции F(T) на всем отрезке [c, b] является неположительной, а следовательно, функция F(T) является невозрастающей на всем отрезке, а следовательно ее минимум достигается на правом конце отрезка в точке b. То есть:134∗min2.1 = ,∗∗min2.1 = ( − 0 − ),∗min2.1 = ().(3.49)Случай 2.2 > 0, ≤ 1 < < 2 .В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.47) имеет два различныхконя, а именно: 1 = − √ и 2 = + √ , а в силу их взаимного расположенияс параметрами c и b, производная функции F(T) отрезке [c, 1 ] является отрицательной, а следовательно, функция F(T) является убывающей на этом отрезке. Производная функции F(T) отрезке [1 , ] является положительной, а следовательно,функция F(T) является возрастающей на этом отрезке.
Из вышесказанного следует,что минимум функции в этом случае может достигаться только в точке 1 . То есть:∗min2.2 = 1 ,∗∗min2.2 = ( − 0 − 1 ),∗min2.2 = (1 )(3.50)Случай 2.3 > 0, 1 ≤ с < < 2 .В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.47) имеет два различныхконя, а именно: 1 = − √ и 2 = + √ , а в силу их взаимного расположенияс параметрами c и b, производная функции F(T) отрезке [c, ] является положительной, а следовательно, функция F(T) является возрастающей на этом отрезке. Откуда следует, что минимум функции в этом случае может достигаться только вточке с. То есть:∗min2.3 = с,∗∗min2.3 = ( − 0 − с),∗min2.3 = (с)(3.51)Таким образом, для случая 2 решение по функционалу будет определяться∗∗∗одним из значений min2.1 , min 2.2 или min 2.3 , в зависимости от соотношения па∗раметров, обозначим его как min2 .
Оптимальный объем заказа будет определяться∗∗∗соответствующим значением min2.1 , min 2.2 или min 2.3 , обозначим его как∗min2.135Таким образом, случай 2 рассмотрен нами полностью. Перейдем теперь крассмотрению случая 3.Случай 3.0 + + ≤ ∗ ≤ 0 + + или ( ∗ − 0 − ) ≤ ≤ ( ∗ − 0 − ). Графическиэтот случай представлен на рис. 3.6. В этом случае возможны как издержки дефицита, так и издержки хранения, суммарное математическое ожидание которыхпредставляется формулой (3.44).0 + + t*0 + + 0 + + Рисунок 3.6 - Графическая схема случая 3Источник: составлено авторомКак и в случае 2, для упрощения дальнейших выкладок будем использоватьзамену переменных: = ∗ − 0 − .
При этом допустимый диапазон новой переменной в случае 3 представляется как ≤ ≤ . Тогда с учетом данной замены ивыражений (3.37) имеем:() = ∫ ( − Δ)− ∫ ∗ ( − Δ)2(∆ − )Δ −( − )( − )2(∆ − )Δ −( − )( − )136− ∫ ∗ ( − Δ)2( − ∆)Δ.( − )( − )Для упрощения записи дальнейших выражений введем будем использоватьте же константы 1 и 2 , что и в случае 2.С учетом замены () = 1 ∫ ( − Δ)(∆ − )Δ −−2 ∫ ( − Δ)(∆ − )Δ − 2 ∫ ( − Δ)( − ∆)Δ.(3.52)Для нахождения точек минимума функции (3.52) необходимо найти ее производную. Поскольку параметр T входит как в подынтегральные функции, так и ввыражения нижнего и верхнего пределов интегрирования, как и в случае 2, воспользуемся известной формулой Лейбница, общий вид которой был представленвыше выражением (3.44).Используя формулу (3.44) для вычисления производной функции (3.52) получим:()= 1 ∫(∆ − )Δ − 2 ∫(∆ − )Δ − 2 ∫( − ∆)Δ(3.53)Вычисление интеграла (3.53) приводит нас к следующему соотношению(3.54):() (1 + 2 ) 2= − (1 + 2 )21+ ( (1 2 − 2 2 ) + 2 ( + − ))2(3.54)137Заметим, что производная является параболой с положительным главным коэффициентом, то есть параболой с ветвями вверх.
Далее найдем корни уравнения()= 0, которое преобразуем к виду( − )2 = ,(3.55)где константой P обозначим следующее выражение:−22 ( + − ) + 2 (2 + 2 )=.1 + 2Очевидно, что в случае P<0, уравнение (3.55) не имеет корней, в случае P=0,имеет единственный корень T=a, а в случае P>0, имеет два различных коня, аименно: 1 = − √ и 2 = + √ . Отметим, что 1 < < 2 .
Далее рассмотрим различные случаи, которые определяются взаимным расположением границрассматриваемого интервала и корней 1 и 2 . В каждом из этих случаев определимточку минимума для функции F(T) на рассматриваемом отрезке ≤ ≤ и значение минимизируемой функции в точке минимума. Используя формулу Лейбница,мы вычислили производную функции F(T) без явного вычисления этой функции извыражения (3.52), однако сделаем это сейчас, поскольку далее будем вычислятьзначения минимумов функции ().( 3 − 3 )( 2 − 2 )() = 1 (−+ ( + )− ( − )) +32( 3 − 3 )( 2 − 2 )−2 (−+ ( + )− ( − )) −32138( 3 − 3 )( 2 − 2 )−2 (− ( + )+ ( − )).32(3.56)Случай 3.1 ≤ 0.В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.55) либо не имеет корней, либо имеет единственный корень на левом конце отрезка в точке a.
Тогда производная функции F(T) на всем отрезке [a, c] является положительной, а следовательно, функция F(T) является возрастающей на всем отрезке, а следовательно ееминимум достигается на левом конце отрезка в точке a. То есть:∗min3.1 = ,∗∗min3.1 = ( − 0 − ),∗min3.1 = ().(3.57)Случай 3.2 > 0, 1 < < 2 ≤ .В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.55) имеет два различныхконя, а именно: 1 = − √ и 2 = + √ , а в силу их взаимного расположенияс параметрами a и c, производная функции F(T) отрезке [, 2 ] является отрицательной, а следовательно, функция F(T) является убывающей на этом отрезке.
Производная функции F(T) отрезке [2 , ] является положительной, а следовательно,функция F(T) является возрастающей на этом отрезке. Из вышесказанного следует,что минимум функции в этом случае может достигаться только в точке 2 . То есть:∗min3.2 = 2 ,∗∗min3.2 = ( − 0 − 2 ),∗min3.2 = (2 )(3.57)Случай 3.3 > 0, 1 < < с ≤ 2 .В этом случае, как мы отмечали выше, уравнение (3.55) имеет два различныхконя, а именно: 1 = − √ и 2 = + √ , а в силу их взаимного расположенияс параметрами a и c, производная функции F(T) отрезках [a, ] является отрица-139тельной, а следовательно, функция F(T) является убывающей на этом отрезке. Следовательно, минимум функции в этом случае может достигаться только в точке с.То есть:∗min3.3 = ,∗∗min3.3 = ( − 0 − ),∗min3.3 = ()(3.58)Таким образом, для случая 3 решение по функционалу будет определяться∗∗∗одним из значений min3.1 , min 3.2 или min 3.3 , в зависимости от соотношения па∗раметров, обозначим его как min3 .
Оптимальный объем заказа будет определяться∗∗∗соответствующим значением min3.1 , min 3.2 или min 3.3 , обозначим его как∗min3.Таким образом, случай 3 рассмотрен нами полностью. Перейдем теперь крассмотрению случая 4.Случай 4. ≥ ∗ , или 0 + + ≥ ∗ , или ≥ ( ∗ − 0 − ). Графически этот случай представлен на рис. 3.7.
В этом случае возможны только издержки хранения, математическое ожидание которых представляется формулой (3.59).t*0 + + 0 + + 0 + + Рисунок 3.7 - Графическая схема случая 4Источник: составлено автором140() = ∫ ∗ (0 ++ Δ − ∗ ) (Δ)Δ(3.59)В результате вычисления интеграла (3.59), получаем вид функции F(Q) для случая4, а именно:13() = ∗ ((0 + − ∗ ) + ( − ))(3.60)Как видно из выражения (3.60) функция F(Q) является линейной возрастающей функцией, а следовательно, достигает своего минимума на левом конце рассматриваемого интервала, то есть в точке, представленной выражением (3.61).1433∗∗∗4= ( ∗ − 0 − ), min4 = ( − ).(3.61)Рассмотрение случаев 1 – 4 завершено. Сформируем итоговое решение задачи.∗∗∗∗min F(Q) =min{min1 , min 2 ,min 3 ,min 4 }Q(3.62)Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества∗∗∗∗{min1 , min 2 , min 3 , min 4 }…………………………………………….(3.63)в зависимости от выбора минимального из выражений в (3.62).Разработанная стохастическая модель, учитывающая неопределенность времени доставки и соответствующая ей оптимизационная задача по критерию мини-141мизации математического ожидания интегральных дополнительных издержек в качестве результата определяют время размер новой партии товара при известномвремени заказа доставки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
