Диссертация (1152448), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(2.37)59Таким образом математически формализованная задача минимизации интегральных дополнительных затрат, возникающая в процессе управления запасами,представленная соотношением (2.38), заключается в определении момента назначения поставки ∗ , который соответствует минимальному значению математического ожидания суммарных дополнительных издержек.( ∗ ) → min.∗(2.38)Представим соотношение (2.37) двумя слагаемыми (2.39):( ∗ ) = ( ∗ ) + ( ∗ ).(2.39)Первая из функций соотношения (2.39) представляется как (2.40): ( ∗ ) = ∫( ∗ + Δ − )(Δ)Δ .(2.40)Интеграл в формуле (2.40) существует при > , это равносильно тому, что ∗ + Δ > , а значит, интеграл (2.40) существует и при Δ > − ∗ .Рассмотрим четыре возможных случая.В первом случае, при − ∗ < a < b, неравенство Δ > − ∗ выполняетсяна всем отрезке [, ], следовательно:2(Δ − )1 ( ∗ ) = ∫ ( ∗ + Δ − )Δ + ∫ ( ∗ + Δ − ) ∙( − )( − )⏟⏟112(b − Δ)211∙Δ =∫( ∗ + Δ − )(Δ − )Δ +[( − )( − )( − ) ( − )601+∫( ∗ + Δ − )(b − Δ)Δ].( − )Данный интеграл решаем аналогично полученной ранее формуле (2.15).
Таким образом, в первом случае формула (2.40) примет вид (2.41) (Приложение А):1 ( ∗ ) =1(3 ∗ + + + − 3).3(2.41)Рассмотрим второй случай, когда ≤ − ∗ < c < b. Неравенство Δ > − ∗ выполняется на отрезках [ − ∗ ; ] и [с ; ] и не выполняется на отрезке[; − ∗ ], следовательно:2(Δ − )2 ( ∗ ) = ∫ ( ∗ + Δ − )Δ + ∫ ( ∗ + Δ − ) ∙( − )( − )⏟⏟− ∗ 112(b − Δ)211∙Δ =∫ ( ∗ + Δ − )(Δ − )Δ +[( − )( − )( − ) ( − )− ∗1+∫( ∗ + Δ − )(b − Δ)Δ].( − )Данный интеграл решаем аналогично полученной ранее формуле (2.16). Таким образом, во втором случае формула (2.40) примет вид (2.42) (Приложение Б):2 ( ∗ ) =11( − ∗ − )2 ( − ∗ − 3 + 2) +[3( − ) ( − )+( − )(3 ∗ + + 2 − 3)].(2.42)61Рассмотрим третий случай, когда < ≤ − ∗ < b. Неравенство Δ > − ∗ выполняется на отрезке [ − ∗ ; ] и не выполняется на отрезке [; − ∗ ], следовательно:3 ( ∗ ) = ∫2(b − Δ)21 ( ∗ + Δ − )Δ =∙( − )( − )( − )( − )⏟− ∗ 1∙ ∫ ( ∗ + Δ − )(b − Δ)Δ.− ∗Данный интеграл решаем аналогично полученной ранее формуле (2.17).
Таким образом, в третьем случае формула (2.40) примет вид (2.43) (Приложение В):3 ( ∗ ) =−1( − ∗ − )3 .3( − )( − )(2.43)В четвертом случае, при < − ∗ , неравенство Δ > − ∗ не выполняется, следовательно, интеграл ( ∗ ) в области (; +∞) не существует, а значит,примет вид (2.44):4 ( ∗ ) = 0.(2.44)Теперь рассмотрим второе слагаемое выражения (2.39), которое выражаетсяследующей формулой (2.45): ( ∗ ) = ∫ ( − ∗ − Δ)(Δ)Δ .(2.45)62Интеграл в формуле (2.45) существует при < , это равносильно тому, что ∗ + Δ < , а значит, интеграл (2.45) существует и при − ∗ > Δ.Рассмотрим четыре возможных случая.В первом случае, при − ∗ < a, неравенство − ∗ > Δ не выполняется,следовательно, интеграл ( ∗ ) в области (−∞; ) не существует, а значит, приметвид, согласно формуле (2.46):1 ( ∗ ) = 0.(2.46)Рассмотрим второй случай, когда ≤ − ∗ < c < . Неравенство − ∗ >Δ выполняется на отрезке [; − ∗ ] и не выполняется на отрезке [ − ∗ ; ], следовательно:− ∗2 ( ∗ ) = ∫ ⏟ ( − ∗ − Δ)22(Δ − )Δ =( − )( − )− ∗=22∫ ( − ∗ − Δ) (Δ − )Δ.( − )( − )Данный интеграл находим аналогично полученной ранее формуле (2.11).
Таким образом, во втором случае из формулы (2.45) получаем формулу (2.47) (Приложение Г):2 ( ∗ ) =2( − − ∗ )3 .3( − )( − )(2.47)63Рассмотрим третий случай, когда < ≤ − ∗ < b. Неравенство − ∗ >Δ выполняется на отрезках [; с ] и [с; − ∗ ] и не выполняется на отрезке[ − ∗ ; ], следовательно:− ∗3 ( ∗ ) = ∫ ⏟ ( − ∗ − Δ)22(Δ − )Δ + ∫ ⏟ ( − ∗ − Δ) ∙( − )( − )22(b − Δ)221∙Δ =∫( − ∗ − Δ)(Δ − )Δ +[( − )( − )( − ) ( − )− ∗+1∫ ( − ∗ − Δ)(b − Δ)Δ].( − )Данный интеграл находим аналогично полученной ранее формуле (2.12).
Таким образом, в третьем случае из формулы (2.45) получаем формулу (2.48) (Приложение Д):3 ( ∗ ) =2[( − )(3 ∗ + + 2 − 3) +3( − )1( ∗ + − )2 ( ∗ + 3 − 2 − )] .+( − )(2.48)В четвертом случае, при < ≤ − ∗ , неравенство − ∗ > Δ выполняется на всем отрезке [; ], следовательно:2(Δ − )4 ( ∗ ) = ∫ Δ + ∫ ⏟ ( − ∗ − Δ)⏟ ( − ∗ − Δ) ∙( − )( − )22642(b − Δ)221∙Δ =∫( − ∗ − Δ)(Δ − )Δ +[( − )( − )( − ) ( − )1+∫( − ∗ − Δ)(b − Δ)Δ].( − )Данный интеграл находим аналогично полученной ранее формуле (2.13). Инаконец, в четвертом случае из формулы (2.45) получаем формулу (2.49) (Приложение Е):4 ( ∗ ) =2(3 − − − − 3 ∗ ).3(2.49)Найдем математическое ожидание суммарных издержек в каждой из областей. Для этого сложим полученные формулы (2.41) и (2.46), (2.42) и (2.47), (2.43)и (2.48), (2.44) и (2.49).Сложив формулы (2.41) и (2.46), получим выражение (2.50):1 ( ∗ ) = 1 ( ∗ ) + 1 ( ∗ ) =1(3 ∗ + + + − 3).3(2.50)Сложив формулы (2.42) и (2.47), получим выражение (2.51):11( − ∗ − )2 ∙[3( − ) ( − )∙ ( − ∗ − 3 + 2)+( − )(3 ∗ + + 2 − 3) ] +2( − − ∗ )3 .+3( − )( − )2 ( ∗ ) = 2 ( ∗ ) + 2 ( ∗ ) =Сложив формулы (2.43) и (2.48), получим выражение (2.52):(2.51)653 ( ∗ ) = 3 ( ∗ ) + 3 ( ∗ ) =−1( − ∗ − )3 +∙3( − )( − )2[( − )(3 ∗ + + 2 − 3) +3( − )1( ∗ + − )2 ( ∗ + 3 − 2 − )] .+( − )+(2.52)Сложив формулы (2.44) и (2.49), получим выражение (2.53):4 ( ∗ ) = 4 ( ∗ ) + 4 ( ∗ ) =2(3 − − − − 3 ∗ ).3(2.53)Найдем минимум ожидаемых издержек в каждой из областей:1 ( ∗ ) =13(3 ∗ + + + − 3) - линейная возрастающая функция, мини-мальное значение достигается при 1 ( ∗ ) = 0.
Найдем точку, в которой 1 ( ∗ ) = 0:1(3 ∗ + + + − 3) = 0;33 ∗ + + + − 3 = 0;1 ∗ = − ( + + );31133− + ( + + ) = ( + − 2) > 0, следовательно, 1 ( ∗ ) пересекает ось Оtправее области (−∞; − ], а значит, в этой области 1 ( ∗ ) отрицательная, чтопротиворечит области значений.Чтобы найти минимум 2 ( ∗ ), вычислим производную функции (2.51) аналогично (2.24) и приравняем ее к нулю.
Подробное решение дано в Приложении И.66(1 + 2 )2 ( ∗ )( − − ∗ )2 + 1 .=−( − )( − ) ∗(2.54)Приравняем выражение (2.54) к нулю.2 ( ∗ )= 0; ∗−(1 + 2 )( − − ∗ )2 + 1 = 0;( − )( − )(1 + 2 )( − − ∗ )2 = 1 ;( − )( − )( − − ∗ )2 =1 ( − )( − );(1 + 2 )1 ( − )( − ) − − ∗ = ±√;(1 + 2 )1 ( − )( − )∗1,2=−±√.(1 + 2 )( + )12( − − ∗ )2 + 1 = 0 является парабола,Графиком функции − (−)(−)( + )12ветви направлены вниз, т.к.
− (−)(−)< 0.67Рисунок 2.5 - Схематичное изображение графика функции F2’(t*)Источник: составлено авторомИз рисунка 2.5 видно, что производная2 ( ∗ ) ∗меняет знак с минуса на плюс вточке 1∗ :1∗ = − − √1 ( − )( − ).(1 + 2 )(2.55)Значит, 1∗ является минимумом функции 2 ( ∗ ).Найдем значение функции 2 ( ∗ ) в точке минимума, для этого подставим(2.55) в (2.51):22 (2∗ ) =11 ( − )( − )( − − + + √) ( −(1 + 2 )3( − )( − )1 ( − )( − )1 ( − )(3 − 3 + + 2 −−3 + 2 − + + √)+(1 + 2 )3( − )681 ( − )( − )2( − − + +−3 − 3√)+(1 + 2 )3( − )( − )31 ( − )( − )+√) .(1 + 2 )Данное преобразование аналогично полученному ранее формулы (2.26). Подробное решение дано в Приложение К.2 (2∗ ) =11 ( − )( − )( + − 2 − 2√).(1 + 2 )3(2.56)Таким образом, минимальное значение функции 2 ( ∗ ), представлено формулой (2.57):min2 ( ∗ ) = (−)(−) ∗ =−−√ 1(1 +2 )=11 ( − )( − )( + − 2 − 2√).(1 + 2 )3(2.57)Чтобы найти минимум 3 ( ∗ ), возьмем производную функции (2.52) аналогично (2.27) и приравняем ее к нулю.
Подробное решение дано в Приложении К.(1 + 2 )3 ( ∗ )( − − ∗ )2 − 2 .=∗( − )( − )Приравняем выражение (2.58) к нулю:(2.58)693 ( ∗ )= 0; ∗(1 + 2 )( − − ∗ )2 − 2 = 0;( − )( − )(1 + 2 )( − − ∗ )2 = 2 ;( − )( − )( − − ∗ )2 =2 ( − )( − );(1 + 2 )2 ( − )( − ) − − ∗ = ±√;(1 + 2 )∗1,2=−±√Графиком функции(1 +2 )(−)(−)2 ( − )( − ).(1 + 2 )( − − ∗ )2 − 2 = 0 является парабола,( + )12ветви направлены вверх, т.к. (−)(−)> 0.Рисунок 2.6 - Схематичное изображение графика функции F3’(t*)Источник: составлено автором70Из рисунка 2.6 видно, что производная3 ( ∗ ) ∗меняет знак с минуса на плюс вточке 2∗ :2 ( − )( − )2∗ = − + √.(1 + 2 )(2.59)Значит, 2∗ является минимумом функции 3 ( ∗ ).Найдем значение функции 3 ( ∗ ) в точке минимума, для этого подставим(2.59) в (2.52):33 (2∗ ) =+−12 ( − )( − )− ) +( − + − √(1 + 2 )3( − )( − )22 ( − )( − )+ + 2 − 3) +[( − ) (3 − 3 + 3√(1 + 2 )3( − )2+12 ( − )( − )+ − ) ( − + 3 − 2 − +( − + √( − )(1 + 2 )2 ( − )( − )+√)].(1 + 2 )Данное преобразование аналогично ранее полученной формулы (2.29).
Подробное решение дано в Приложение М.713 (2∗ ) =22 ( − )( − )(2 − − − 2√).(1 + 2 )3(2.60)Таким образом, минимальное значение функции 3 ( ∗ ), представлено формулой (2.61):min3 ( ∗ ) = (−)(−) ∗ =−+√ 2(1 +2 )=4 ( ∗ ) =2322 ( − )( − )(2 − − − 2√).(1 + 2 )3(2.61)(3 − − − − 3 ∗ ) - линейная убывающая функция, мини-мальное значение достигается при 4 ( ∗ ) = 0. Найдем точку, в которой 4 ( ∗ ) = 0:2(3 − − − − 3 ∗ ) = 0;33 − − − − 3 ∗ = 0;1 ∗ = − ( + + );31133− + ( + + ) = ( + − 2) < 0, следовательно, 4 ( ∗ ) пересекает ось Оtлевее области [ − ; +∞), а значит, в этой области 4 ( ∗ ) отрицательная, что противоречит области значений.Чтобы найти минимальное значение функции ( ∗ ), сравним формулы (2.57)и (2.61) и найдем среди них минимальное.72Для этого вычтем (2.61) из (2.57):11 ( − )( − )2( + − 2 − 2√) − (2 − − − 2 ∙(1 + 2 )332 ( − )( − )1∙√) = ((1 − 22 ) + (2 − 21 ) + (1 + 2 ) − 2 ∙(1 + 2 )3( − )∙√( √ ( − ) − 2 √2 ( − )) ).(1 + 2 ) 1 1В полученном выражение знак зависит от параметров: , , , 1 =0, 2 =.В итоге, получим формулу (2.62):( − )( − )( + − 2 −Если (2 − − − 2√>)( + )( − )( − )( − )( − )∗− 2√;) , то = − − √( + )( + )( − )( − )( + − 2 −Если (2 − − − 2√<)( + )( − )( − )( − )( − )∗− 2√,то=−+.)√( + )( + )(2.62)73Разработанная стохастическая модель, учитывающая неопределенность времени доставки и соответствующая ей оптимизационная задача по критерию минимизации математического ожидания интегральных дополнительных издержек в качестве результата определяют время назначения доставки новой партии товара визвестном объеме.
При предположении о треугольном распределении случайныхотклонений момента прибытия товарной партии от договорного было полученоаналитическое решение задачи, выраженное соотношением (2.62).2.3 Модели оптимизации времени поставки в условиях неопределенностивремени доставки с учетом рисков начисления неустоекПредполагается, что поставка товара происходит периодически. Объемы поставляемого товара детерминированы, поскольку рассчитываются, исходя из известного графика поставок, который определяет время и объем поставки.Пусть 1 , 2 , … , – последовательные моменты поставок в рассматриваемый период, определенные графиком, а 1 , 2 , … , – соответствующие объемы поставок,также определенные графиком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
