Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 75
Текст из файла (страница 75)
(1(г)) или тс (р) —,'у (г), где Е (р) называется Лапласовым изображением функции г'(т) Обратно, если нужно по имеющемуся изображению г" (р) найти оригинал ( (~), то зто может быть выполнено в общем случае пр и я 384 братного преобразования Лапласа (интеграла Бромвича) помоши о Р и -, '/ос ( (() = —. ~ ер'г (р) с1р, (14-2) представляет собой решение интегрального уравнения которое от 1) относительно неизвестной функции Г (с) и может быть получено метода амп теории функций комплексного переменного. Интеграл 14.2) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного р =- „- == з + (н, параллельной мнимой оси и расположенной правсех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции р (р).
Интеграл (14-2) обозначается еще так: ) (() =1,-' (г" (р)) или 1(1),= — 'г" (р). Иногда изображение функции г" (1) определяется несколько иначе: сг(р) =р ~ е-р"1(1) Ш. о Последнее выражение называется прямым преобразованием Карсона — Хевисайда. Очевидно, 'р (р) = рг (р). Основным преимуществом изображения функции по Лапласу является очень простая связь его с частотным спектром функции (см. гл. 15).
В случае применения преобразования Карсона — Хевисайда эта связь сложнее, но изображением постоянной величины является она сама, так что с точки зрения физики оригинал п изображение имеют одинаковые размерности, В дальнейшем будем пользоваться преобразованием Лапласа. Переходные процессы, как было показано в гл. 13, описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с формулой (14-1) приходится находить изображения производных и интегралов от оригинала.
При этом оказывается, что изображения производных и интегралов от оригинала выражаются алгебраическими фуикциямн от изображения и начальных значений самой функции, ее производных и интегралов. Поэтому система интегродифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений, т е.
производится алгебраизация исходной системы интегродиффеРепциальных уравнений. При решении полученной системы алгебраических уравнений о"Ределяются изображения искомых функций, а затем при помощи еебратного преобразования, вытекающих из него формул или спе1альных таблиц — оригиналы, т.
е. искомые фуньц1ш времени. 13 Основы ееареп цепей то 1.(г (!))=рГ(р) — 1(О+); Е Г (1)) = р' ~Е (р) — — „' (1 4-4) (! 4-6) и т.д. Отметим, что если функция Г (т) и ее производные Г' (1)„1" (1),. при ! = 0 изменяются скачком, то в (14-4) и (14-5) нужно подставлять их значения с учетом этих скачков, т. е. справа от нуля, что и отмечено в их аргументах знаком 0 +. Если начальные значения функции и ее производных при! = 0+ равны нулю, то изображения первой и последующих производных находятся особенно просто: Е Т(1Н =Ф'(р); Е У" (1)) =р'Е(р) (14-6) и т.
д. Изображения интегралов от оригинала имеют вид: (14-7) (!4.8) оЕсли интеграл ~ г(1) Ж при г=-0 изменяется скачком, то нужна а брать его значение справа от нуля, что и обозначено в его верхнем пределе знаком 0 +. Итак, если начальные (т. е. при ! =- 0 или в случае скачков пра 1 =- 0 +) значения функции, ее производных и интегралов разин нулю, то величину р можно рассматривать как оператор; умножа" на оператор изображение данной функции, получаем изображение ее производной (14-6), деля на операзор нзображенпе эзой функции получаем "и.оорзже!пге-ее гпггеграла -(14=7).— 386 Ряд таких функций и их изображений приведен в приложении з Подробные таблицы ори иналов и соответствующих им изображена!: нп! приводятся в справочниках.
В наиболее полном из них, составл и ном В. А. Литкиным и П. И. Кузнецовым, содержится свыше 1600 оригинзгоз и изображений по Карсону — Хевнсайду, Необходимость вычисления постоянных интегрирования по „, чальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия у„„ тываюгся при переходе от системы иптегродифференциальных ура . нений к системе алгебраических уравнений. Приведем (без вывода) формулы для изображений производнь, и интегралов от оригинала. Если 1. У (!Н =Е (р) (1 4-3) о всегда иметь в виду, что при расчете переходных пропесераторным методом необходимо не только находить нзображесов ф икций, их производных и интегралов, но и решать обратную чу — находить функции (оригиналы) по их изображениям.
Для как указывалось, можно пользоваться таблицей, приведенй в приложении 2, илн справочником. Однако могут встретиться н,й в п ~ражеыггя, для которых оригиналы неизвестны и само их отыскание я „вляется весьма трудной задачей. В таких случаях можно польаться приближенными (численными) методами отыскания оригизовать , ла по изобРажению.
Часто изображение имеет вид рациональной дроби г,~» ь„я +ь,р -+ ..+ь (14-9) "я (гг) ггоР-~ ггггг" г+" +гг~ нрн гл ( п, причем дробь г'г (р),'г', (р) =- г (р) несократимая, т. е. миогочлеиы Гг (р) и г", (р) общих корней не имеют, и а„Ьь — вещественные числа. Оригинал 1" (1) изображения (14-9) можно найти по формуле, называемой т е о р е м о й р а з л о ж е н и я: л ь —.! которая представляет собой сумму вычетов подынтегральиой функция г" (р) ем выражения (14-2) относительно всех ее полюсов р„, здесь р„— просг ые корни характеристического уравнения гэ (р) = = О, причем один нз вих может равняться нулю. Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя (14-9) есть множитель р, г.
е. знаменатель (14-9) имеет один нулевой корень. Необходимо найти оригинал для изображения гг (р)(ранг (р), где в составе Ег (р) уже нет множителя р. Предполагая, что уравнение гт, (р) = 0 имеет и различных и не равных нулю корней р„(й = 1,2, ...,гг), получим другую форму теоремы разложения: Если уравнение гг (р) =- 0 имеет комплексные сопряженные корин, зо нет необходимости вычислять слагаемые суммы, стояшей н правых частях равенств (14-10) или (14-11) для каждого из комнлеггсных сопряженных корней в отдельности. Известно, что функ"ии с вещественными коэффициентами от комплексных сопряженных значений независимого переменного — сами комплексно сопря~еггные. Поэзому, если корни р» и р' — комплексные и сопряжен~ ель то достаточно вычислить слагаемое сумм (14-!0) или (14-11) л"г<о для корня р„а для корня рг", взягь значение, сопряженное ему слагаемому.
' ' гз» 387 Если среди корней многочлена Р2 (Р) есть кратные, то можа„ записать теорему разложения аналогично формулам (14-10) и „ (14-11), но с двойной суммой в правой части (одна сумма по числ, корней, а вторая — для каждого корня по порядку его кратности) Однако эта формула довольно сложна и здесь не приводится, Если изображение г (Р) наряду с и простыми полюсами в точка~ Р„..., Рр, ..., Р„илгеет, например, еще один полюс кратности о в точке Р»„, т, е.
то, применяя формулу вычета в кратном полюсе, получаем: И » ! Р! (Рр)Е ' Да-1 (Р 071 »Р! ! +(о — !)' Ира ''Ь Р.(Р) .)»= 2=! ( 1~ 2(Р) (Р Рл-.г) 1р=-р Р А (14-12) !7 2О (14-14) ~ (оо) =- ! )гп рг (р). р- О Дополнительно отметим, что теорема разложения применима не только к рациональным дробям, но и когда »1 (Р) и т72 (Р) содер.
жат трансцендентные, например зкспоненциальные, круговые и гиперболические функции. 14-2. Законы Ома и Кирхгофа а операторной форме Рассмотрим иепь г, (., С (рис. 14-1), которая была подключена к источнику з. д. с. е1 (() и в момент! =- 0 переключается к источнику э. д. с.
е (г). Закон Ома для мгновенных значений после переключения запи шется так: Д'=~У вЂ” =~ - - ~ ! <П === Е Я7 (!4-15) 388 Это соотношение позволяет учесть кратные корни характеристического уравнения. Если кратных корней несколько, то для каждого из них нужно записать слагаемое, аналогичное второму слагае.
мому в правой части последнего равенства. Если нужно вычислить начальное (при ! = 0 +) и установившееся (прп г' = со) значения оригинала, т. е. г' (О +) и ( (со), то можно, ко!!ечно, пользоваться формулами (!4-10) или (14-11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, когда установившийся процесс непериодический, определяются гораздо проще по так называемым предельным соотношениям: 1(0+) =.— 1ип РЕ(Р) (14-13) Рис. 14-1 с ~ (с(с+с ~ ~(1е ис(О)+Е ~(с(г, (14-10) ний предел интеграла, равный — сс, берется в том случае, Нижн" моменту переключения рубильника И = 0) режим в цепи когда к м вился, т. е.
к источнику (г) цепь была включена стаиовил цент времени 1 = — со (только при эти тих условиях режим к моменту екл1очения рубильника теоретиперекл мог установиться) ° д 1 Рели к моменту переключения реж ,ким не установился, то в ка- и ~0) с честв естве нижнего предела нужно брать — (4, где 1, — время, прошедщее с момента включения источника э. д с. е, (() до момента ( = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
