Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ности, и в ветви рубильника). Расчет проведем по принципу наложе. ния. Сначала будем считать двухполюсник пассивным, т. е. учтем только включаемое напряжение и (1). Расчет тока при этом проведем по формулам Ю Дюамеля. Затем учтем только источни ки активного двухполюсника, т. е. най дем ток в той же ветви при заягыкании Рис. !3-30. накоротко зажимов источника напряжения и (1). Расчет тока в этом случае выполним, например, классическим методом (см.
й 13-14). Суммируя найденные составляющие токи, получаем искомый ток. Отметим еще, что при подаче на вход активного двухполюсника ряда импульсов напряжения (рис. 13-30) расчет токов в любой ветви также можно провести при помощи формулы Дюамеля. 3При действии последовательности прямоугольных импульсов расчет можно вести и без применения формулы Дюамеля. В самом деле, для учета действия любого прямоугольного импульса можно считать, что в момент начала его действия включается постоянное напряжение, равное по величине напряжению импульса, а в момент окончания действия импульса включается такое же постоянное напряжение, но противоположное по знаку.
Пример 13-4, Найти ток в ипдуктивности (рис. 13-31) для промежутков вРемени 0 1 2,5мс и 1» 2,5 мс, если г = 20м, га = 50м, А = 4 мГ. ФоРма кривой приложенного напряжения задана (рис. 13-32), Рис. Гз 32. Рис. 13-31. Р е ш е н и е. Переходную проводимость для ветви с вндуктианостью наяде л,ем по формуле (13-17) а(1)=гы„+(Г~„(~) — Г,ер(~13~ "', —;;; 3; ==О;О-О. 3, —;,— '-333= '3: — — ' ар ' ' ар- пр- Постоянную времени т найдем по формуле (13-!6): г!гз т=Ег — — = - с. / гг+гз 357 тогда и (1) =0,5 (1 — е ззтг) См. уравнение приложенного напряжения (рис, 13-32) и (1) =-!00 (1 — 8001) В.
Применяя первую форму записи формулы Дюамеля для промежутка 0 ~ г. 2,5 мс, получаем: "( ) ч г )+ ~ И 0 — т) и (т) бт= !62 — 4. 10аг 162е-зйгт А й Проверяя, убеждаемся, что 1 (0) = 0 для промежутка времени 1т = 2,5 мс ( 1 с оо оаписываем: й 1 (1) =и(0) д(1)+~ д(1 — т) и'(т) г(т — и (Г,) и(1 — 1,) (а) и получаем: (г (1) = — 11е зттг А, При 1= 1, ток 1 измениться не должен, несмотря на скачок приложенного напряжения.
Проверяя, убеждаемся, что 1ь 1 (à — О) =1 (1 +О) = — — 4,5 А. 1. Кривая тока 1 приведена на рис. 13-33. ! 525 Е,Х .~! е Заметим, что попытка применить для вычисления тока 1 (1) г МЮ в промежутке 2,5 мс: 1 . со вторую форму записи формулы Рнс. !3-33. Дюамеля, когда интеграл )л(1 — т) и'(т) Л в правой части равенства (а) был бы заменен интегралом а ,! к(т) и'(1 — т) Нт, дает неправильный результат. Действительна, из ра'з вспсгва (13-75) следует, что эти интегралы равны гольно при верхних пределах Если же всрханй предел равен Г, то (1) — и(0) о(()~- ~ о(т) и'(( — т) бт — и Яа(! — Гз)г 367 ~ д (1 — т) и' (т) т(т = ~ д (т) и' (à — т) бт, д от«Уда и следУет длЯ пРомежУтка 2,5 мс ~ 1( со выРажение тока гх (О по втоРой форне записи формулы дюамеля; 13-17. Временная и импульсная переходные характеристики В линейной теории автоматического управления и в других дис циплинах часто пользуются понятиями временнбй и импульснои переходной характеристики какой-либо системы или цепи.
Первая из них введена в з 13-!5 для двухполюсника гй Последняя называется иначе весовой функ. цией системы или цепи. Временной характеристи. к о й, например, четырехполюсника называется реакция (напряжение или ток) на вы- Р ходе при приложении ко входу единичного ступенчатого воздействия. Единичный скачок (или единичное ступенчатое воздействие) задается единичной функцией 1 (!), изображенной на рис. 13-34, и представляет собой с точки зрения теории электрических цепей единичное постоянное напряжение или ток, включаемые на вход цепи или системы в момент ! =- О, так что (О при !<О; 11 при (- О.
(13-80) Если определяется ток, то в соответствии с $ 13-15 временная функция й (!) совпадает с переходной проводимостью д (!), т. е. и(!)=к (!) (13-81) а если определяется напряжение, то она совпадает с переходной функцией напряжения у (г), т. е. й (!) = у (!). (13-82) Понятие временнбй характеристики, как реакции системы (или как выходной величины, за которую может быть принята любая из функций системы) на единичное ступенчатое воздействие, приложен- ное к ее входу (причем, за вход системы может быль принята любая точка, ветвь или два ее зажима), применимо не только к электриче- ским цепям, но и к любым физическим системам — механическим, пневматическим, гидравлическим, электромеханическим и т. д.
Таким образом, временныс характеристики цепей г, Ь; г, С; г, Е, С, если, например, в качестве выходной величины выбраны токи, даются формулами (13-12), (13-25), (13-60), (! 3-63) при У = 1, а если выбраны напряжения на емкостях, то формулами (13-24) (!3-59), (13.62) также при (У = 1, Временная характеристика введена в основном по двум причи- нам: 1. Единичное ступенчатое воздействие ! (!) — скачкообразное и поэтому довольно тяжелое для любой системы внешнее воздейст.
вне. Следовательно, важно знать реакцию системы именно при та=' ' ком воздействии. Ийые, например, всевозможные плавные воздействия будут для системы легче. 2. Если определена характеристика й (!), то при помощи интеграла Дюамеля (см. й 13-15 и 13-18) с учетом равенств (13-81) и (13-82) можно определить реакцию системы при любой форме внешних воздействий. Выше были определены переходные процессы в цепях г, !. и г, С также при гармонических внешних воздействиях.
Это делалось потому, что гармонические воздействия очень часто встречаются в электротехнике. Но, разумеется, реакции любых цепей на приложенные к их входу гармонические внешние воздействия можно найти и по известным временнйм характеристикам й (!) при помощи интеграла Дюамеля. Существует еще один вид внешнего воздействия, называемый ед и н и ч н ы м и м п у л ь со м, дельта-функцией 6 (!) илифункцией Дирака, которое определяется как производная по времени единичной функции 6 (!) = (!(!)! (! д Рис 1з-за (13-84) Импульсной переходной характеристикой или весовой функцией системы (например четырехполюсника) называется реакция на выходе, если к входу приложено внешнее возмущение в виде единичного импульса 6 (!), Эту реакцию обозначим как /г (!).
Поскольку внешние возмущения 1 (!) и 6 (!) связаны равенством (13-83), а также полагая, что й (О +) = О, получаем, что подобным же равенством связаны и их реакции на выходе системы, т. е. й (!) = нй (!) !сУ. (13-85) В справедливости (!3-85) можно убедиться непосредственно, вычислив 6(!), й(!)) и ол(!)Я1, что особенно удобно сделать операторным методом (см. гл. 14). Если же й (О +) 4:О, то соотношение (13-85) обобщается: й (!) = — + й (О+ ) 6 (!).
(13-85а) ! представляет собой предельный случай импульса зчень большой величины и очень малой продолжиюльности (рис. 13-35), когда его длительность стремитгся к нулю, но площадь сохраняется равной единице. Действительно, оставляя сейчас в стороне вопрос о законности операций дифференцирования разрывной функции !(!), но отметив, что в теории обобщенных функций эти операции достаточно строго обоснованы, найдем площадь единичного импульса: .~- ОР + ОЭ 6 (!) Ж = ~ г(!(!) = — ! (!) ~, '~ = ! (со) — ! ( — со) = 1 — О = 1 . 369 Например, если при включении цепи г, С на единичный импуль в качестве выходной величины рассматривается ток, то 1(1)=й(1)=- — е-ст и Ь(О+)= — —.
! ! т г' Так как при 1 == О в составе приложенного напряжения имеется дельта-функция и в этот момент по второму закону коммутации ис (О +) = О, то дельта-функция должна быть и в составе тока, что и объясняет наличие второго слагаемого в правой части (13-86а) В задачах теоРпи автоматического УпРавлениЯ часто нУжно бы. вает знать импульсную переходную характеристику к (1). Она введена по тем же двум причинам, что и й (1): !. Единичный импульс — скачкообразное и поэтому довольно тяжелое возмущение для системы или цепи; оно тяжелее, чем плавное возмущение. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи на это возмущение, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
