Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Поэтому для получения характеристического уравнения можно составить любое из входных сопротивлений Я„„(р), Е„„(Р) илн л „(Р). Найдя корня характеристического уравнения системы, напишем общие выражения для каждого из контурных токов. Рассмотрим несколько случаев. а) корни Р„Р2 и Ра вещественные и различные: гг„= Атал '+ А,едл+ Ааел'; б) корни р„ра н Р, вещественные и равные, т е. р, = Р, = Ра = =Р (хс» = (Аг + Аа(+ Аз(2) ел', в) корень Р, — вещественный, а корни Ра и ра — комплексные и сопряженнгле, т е. Р, = — а + (и, Р, = — а — (и, 2„,=-Ага *'+(Аасози1+Ааипи() е-"'. Поскольку порядок расчета не зависит от вида корней характе- Ристического уравнения, рассмотрим в дальнейшем первый случай.
Выберем произвольно положительные направления свободных ~оков в ветвях схемы (рис. 13-25) Целесообразно (но, разумеется, ие обязательно), когда это возможно, выбрать их совпадающимч с принятыми ранее положительными направлениями конт)рных то'«~в (напРимеР, токи гы, и г„„в ветвЯх 1 и 2).
357 Далее запишем выражение переходного тока, например, ветви 1 2, = (,„р+ („, = !1„р+ А,ее" + А,ег '+ АреР" (13-68) и покажем, как определить постоянные интегрирования А„А, и А, Для этого дважды продифференцируем (13-68) и подставим 1 = 0 в (13-68) и в полученные дифференцированием выражения; 11 (О) = — 1'„,р (0) + А, + А, + Л,; 1,' (О) =-2'„,р (0) + р1А1+ р,А, + р2А2; (13-69) 2'," (0) =- !1пр (0)+ р1)А1+ р1А2+ р!1А2 Так как значения принужденного тока 1,„р и его производных при! =- О, а также корпи характеристического уравнения р„р, и рр известны, то из уравнении (13-69) можно найти А„А2, А„, если нз. вестпы значения тока 1, и его производных 2( и 2( при 1 =- О. Для вычисления 1,(0), 2; (О) и 21 (0) запишем уравнения первого и второго законов Кирхгофа для токов ветвей: 21 12 + 22 г,1,+ис1+1222=-е„ (13-70а) (!3-706) (13-72б) где 21 = С12(ис1ЙМ' г212+7-2 -'+ис.— гр(2=0, Ш2 Ж (13-70в) где !2 =- С2 2(ис2(2(1.
По законам коммутации токи в ветвях с индуктивностью и на- пряженна на емкостях в момент коммутации скачком не изменяют- ся. Следовательно, в системс (13-70а) — (13-70в) при 1 =- 0 значения 21(0), ис,(0) и ис, (0) известны. Тогда из первых двух уравнений (13-70) находим 21 (0) и 12 (0). Затем продифференцируем уравнения (13.70а) и (13-70б) и пере- пишем уравнение (13-70в): 21(1/г(1 = Й1Я1 + Йр(е(1; (13-7!а) (13-716) 1 г2!2+ 7-2 —, + ис1 — гр!2= 0. " ри (13-71в) Рассматривая систему уравнений (13-71а) †(13-7!в) для г' =- 0 и учитывая, что в неи известны начальные значения всех токов, а также е1 (0) и ис,(0), из уравнения (13-71в) находим 12 (0), а из первых двух 11 (0) и 12 (0), Дифференцируя еще раз эту систему, получаем: — = — +— ~~ 11 ~~ 12 2~212 .
ри2 ш2 р12 ' (13-72а) л211 ! рнг лир рре1 г1 — '+ — — 1+ 1. 2!Г2 Г.; ЛГ + 2 ЛГ2 2!Г '2 ри2 С2 2 тй (!3-72в) рассматривая систему (13-72а) — (13-72в) для 1 — -- О и зная начальные з значения всех токов и их первых производных, из уравнения (' 13 72в) находим (з (О), а из первых двух г," (О) и (з (О). уепсрь легко найти постоянные интегрирования А„А„Аа системы уравнений (13-59).
В общем слУчае длЯ диффеРенциальных УРавнений, опРедели„, д (р) которых и-го порядка, при вычислении постоянных тегрирования нужно предварительно определить на- =4- 'Е чальные значения искомой 7 величины н ее и — 1 произ- 77 г 'г водных. Из подобных жс уравне- и ~~ы ний определяются постоянные интегрирования, например, Т для тока г'„если его нельзя найти пз уравнений Кирхгофа по найденному току гг. Впро- Рис. 13-26. чем, часто это можно сделать. Например, для схемы, изображенной на рис.
13-25, следует после определения тока г, найти напряжение на зажимах ветви 1 и по нему ток га. Затем по первому закону Кирхгофа легко найти ток га Пример 1З-З. Найти токи 1, г, и (, в цепи (рнс 13-26) после выключения рубгжьника, если известны )7 = — 30 Ом, г = 1О Ом, 1. = 9 ° 10 з Г, С = 9 ° 1О 4 цт, и = 180 жп (300 Г+ 45') В. Р е ш е н и е, Найдем ток г и напряжение и на индуктивности в принужден. ном режиме до коммутации )пр-= = 3 14+10,40 А Ег 7,ха хг+хз где 2=77+)гоЕ; 2,=17)гаС; Х,=г!2; гав — — 4,48 Мп (3001-1-7'20') ум га (0)=4,48 Мп 7'20'=0,574 А; Е)с -— — ! ' ' =6,5 — 1'6,8 В; Спр- = пр- яг + хз = Е)㄄— — 7„1таЕ = — 10,9+185 В; иг„=121,3 з!п (3001+ 97ч20') В; иг (0) =120,3 В.
Найдем все токи в принужденном режиме после коммутации: )пр=- 7, = 3 21+10,44 А Е) т о 1 7 ~", ' г,+г; 359 где Е;=г; )ьп — (п — 3,04 д 28 48 Аь ьпР пР с — !1оьС )эпр=)пр 1: =1,65 д — 63'05' А; эпв ЬР г 17мС ьпр — 4,58 з)п (3001 —,' 7'45') А; (пр (О) = 4,58 з!и 7'45' =0,618 А, Переходим к расчету переходных токов. Разбнв схему на контуры, как показано на рис. !3-26, составим уравнения для свободных контурных токов: Ос+с) ьасв+й с((асвьс(!+~сьев=й 1 г'псв+с'ьсв+ ~ 'ьсв с((=0 С Алгебраизуя эту систему дифференциальных уравнений, получаем: (40т9 ' 10 эР) ьасв+ 10(ьсв=О' 10(асв+(10+ 9 10 ь (ьсв =0 1 Р,9.\О ь/ с 40+9 10 эр 1О =О, 9 Рй Р' 81.
10-врэ 1 36,!О-эр ! 4 0 Корни его Рь= Р,=Р= — 222 с ь Напишем сначала выражение для тока й ь = ьпр+ ьсв — — 4,58 зьп (300(+ 7'45')+ (Аь+ Ав() с ввэй В момент коммутации (1= О) ток в нндуктивности ие изменяется скачком, Поэтому ь (0) =вар- (0) =0574 =0 618+Ах Аь — — 0,044 А, откуда Так как при 1 = 0 не изменяется скачком напряькение на конденсаторе ис, то„ как видно из схемы рис. 13-26, не изменится скачком и напряжение на индук.
тивности и, что позволяет сразу найти (6 с(ИГ)ь с.' их (0) = ихп (0) = 120,3 =(6 ЖЩь и = 9, 10-ь (4 58, 300 соз 7'45 1 0 044 . 222+ Аь) откуда А, = — 35, 76 А!с. Окончательно для 1 получаем: ь = 4,58 зьп (300(+ 7с45') — (0,044-1- 35,761) е вэн А. Составив для внешнего контура схемы рис.!3-26 уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов О-)(1„+6 61„(б(-Р „.„„ Характеристическое уравнение составим, приравняв нулю определитель втоц системы однородных алгебраических уравнений: наядеи, »то 1» — — 0,1 (30(св+9' 1О в»1св(й) =(О 366+35 761) а ела А. Тогда стев='св сасв= — (041+7! 521)а п~ А.
Теперь запишем переходные токи 1в и ст: !в =1ввз+1всв = 1,65 апт (3001 — 63'05')+ (0,366+ 35,761) а ™ А; 1д=!твр+1тсв — — 4,325 Яп (3001+28'48') — (0,41+71,521) а-авва А. 13 15. Включение пассивного двухполюсника на непрерывно изМеняющееся напряжение (формула или интеграл Дюамеля) Пусть к источнику непрерывно изменяющегося напряжения и (1) (рис. 13-27) подключается произвольный пассивный линейный двухполюсник (рис. 13-28). Требуется найти ток 1 (1) или напряжение в любой ветви ив (7) двухполюсника после включения рубильника.
Рис. 13-28. Рнс. 13-27. Задачу решим в два приема. Сначала найдем искомую величину при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения (т. е. когда включаемое напряжение постоянно и по величине равно единице). Эти ток 1, (1) илн напряжение и„(1) могут быть выражены так: '1, (1) = 1 ' й (1) = а (1); (! 3-73) ивт (1) =1. У(1) =У (1). Функция д (1), численно равная току, называется п е р е х о дней проводимостью, а функция у(1), численно равная напряжению, называется переходной фун кц ней напряжения.
Обе зти функции называются в р е и е н н ы м и ф у н к ц и ям и или в р е м е н н ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и и часто обозначаются через й (1). Например, для цепи г, 7. переходная проводимость й'(1)= —,(1 — ) ! для цепи г, С переходная функция напряжения на емкости (1) — 1 - с1вс 361 Переходную проводимость д (Г) и переходную функцию нап, апря- жения у (() при любой схеме пассивного двухполюсника можно панай. ти классическим методом (или операторным методом, или методо,, интеграла Фурье — см. ниже).
Таким образом, в дальнейших р, четах д (1) и у (1) будем считать известными. Так как включается пассивный двухполюсник, то при 1.--0 токи и напряжения в любой ветви равны нулю. Поэтому при ( -0 следует считать любую переходную проводимость д (Г) =- 0 и лкбу, переходную функцию напряжения у (1) = О. Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нуж рассчитать ток. Непрерывно изменяющееся напряжение и (1) заменим отупев чатой функцией с элементарными прямоугольными скачками Лц Тогда процесс изменения напряжения можно представить как вклю.
чение при 1 — — 0 постоянного напряжения и (0), а затем как включе. ние элементарных постоянных напряжений Ли, смещенных друг отнбсительно друга на интервалы времени Лт и имеющих знак плюс или минус, смотря по тому, рассматривается возрастающая или па дающая ветвь заданной кривой напряжения. Составляющая искомого тока в момент 1 от постоянного напря- жения и (0) равна и (0) д (1). Составляющая тока в момент ~ от эле- ментарного скачка напряжения Ли, включаемого в момент времени т (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
