Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 72
Текст из файла (страница 72)
При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная к (1), вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. 8 13-18). Реализацию внешнего воздействия в виде единичного импульса 6 (1) обычно представляют как экспоненциальное воздействие с очень большой начальной ординатой (С'„) и очень малой постоянной времени т, так что 6(1)= !пп (У,т)=1, (13-86) и,- т-о где (увт — площадь, ограничиваемая экспоненциальным импульсом, т. е. 1пп ~ У,е — '" т(! = У,т.
(! 3-87) о Отметим еще, что если в теории электрических цепей типовыми внешними воздействиями считаются ступенчатое н гармоническое, то в теории автоматического управления и в других дисциплинах— единичное ступенчатое 1 (1), единичный импульс 6 (1) и гармоническое внешние воздействия.
13-18. Запись теоремы свертки при помощи импульсной переходной характеристики Пусть на вход пассивной системы илп цепи действует источник напряжения и, (1) или тока 1, (1). Для того чтобы охватить оба случая, будем говорить о действии внешнего возмущения х, (() (рис. 13-36). Определим реакцию на выходе в момент времени 1.
Разобьем кривую к, (1) на огдельные импульсы шириной с(т и высотой х, (т) для момента времени 1 =- т. Для единичного импуль — са лействующыоямомент времени т, реакция.на.выходе па.апреле лению равна импульсной переходной характеристике к (1 — «) 370 где т — промежуток времени от момента т действия импульса до м омента Г. Но плошадь рассматриваемого импульса не равна еди;„,це, а равна х, (т) //т.
Поэтому реакция ог него на выходе в момент / будет равна й (г — т) х, (т) //т. Суммируя действия всех импульсов, дый из которых имеет бесконечно малую площадь, от т =- О до = Г, получим реакцию на выходе (() = ~ й (à — т) х, (т) ц/ Хз т= 0 = ~ й (т) хх (à — т) г(т. (13-88) с Эта запись, применяющая им- Рис. 3-36 пульсную переходную функцию, бг",лее удобна, чем запись, определяемая пятой или шестой формами интеграла Дюамеля, использующая переходную проводимость й (Г), так как здесь от интеграла не нужно брать производную, и называется она теоремой свертки двух функций й (7) и х, (Г).
Представляет интерес случай, когда внешнее воздействие было приложено к входу задолго до начала счета времени, т. е при 1= — аь, и действует далее непрерывно (рнс 1З-З?) Гогда вместо (13-88) можем написать хз(1)= )г й(1 — т) х,(т) /Гт. (13.89) Осуществив в (13-89) замену переменных 1 — т = т„получим, х,(1)=~ Ф(т,) х,(? — т,) /)тт. (1 3-йо) 371 При этом легко видеть, что новая переменная интегрирования т, изменяется в пределах от т, = О (импульс, примыкающий слева к точке 1) до т, =- ю (им пульс, расположенный в начале действия возмущения х, (1), т. е при ? — — — сс) Предпологким, что внешнее воздействие, приво/кенйое к входу системы нчи цепи продолжается и правее точки й вплоть до 1 =- + ьь Ясно, ч ю все импульсы, действующие в моменты времени, большие й не могут дать никакой ревнции на х/('гу выходе в момент д им предшествующий, 6 твк квк следствие (реакция нв выходе) не может возникнуть раньше причины (возмущение на входе) Иначе говоря, л/(г) физически не осуществимым является воз- никновение следствия раньше причины г г/т г-г г / Наоборог, физически осуществимым ян ляется только гвкое положение, когда следствие возникает одновременно илн Рис.
13-37. позже появления причины Однако при рассмотрении систем автоматического управления, находящихся пса Воздействием стационарных случайных возмущений (статистическая динамика) апнходн/ся иногда рзссмаз ривзть идеальный случай при этол/ с целью получения ниболее дрпс гыхсоотншпсиий (тзкцазывагмые. злдаии.
1цег/нова.—.... авдея.Вице рв)..... ййс'/итаются с положением о физической осуществимости, принимая,что в составе реакции на выходе в момент времени 1 участвуют абсолютно все элементарные „„. пульсы, возникающие на всем промежутке времени от 1 = — оо да 1= + тогда в теореме свертки соозношеннн (13-89) и (13-90) будут запнсывагьсн еле. дующим образом; + оз + СО гз (1) = ) з (1 — т) г, (т) бт = ) г (т,) гз (à — з) бтп (! 3-90з) 13-19. Переходные процессы при скачках токов в индуктивностях и напряжений на конденсаторах До сих пор рассматривались такие цепи и режимы их работы, для которых удовлетворялись законы коммутации (л (О+ ) =- (л (Π— ); ис (О+ ) = ис (Π— ), (13-91) где 1 = (Π— ) — момент времени непосредственно перед коммута цией, а 1 =- (О +) — момент времени сразу после коммутации. Рассмотрим теперь такие цепи и их режимы, для которых законы коммутации (13-91) не соблюдаются, и прежде всего процессы при отключении ветвей в некоторых 'г — с 1 цепях с индуктивностями.
Например, пусть в цепи, питаемой от Гг источника постоянной з. д. с. с на(г "г рг пряжением Е' (рис. 13-38), мгновенно отключается ветвь с сопротивлением гз. "г "г Токи во всех ветвях непосредственно перед коммутацией 1,(0 †), 1з (Π†) и (з (Π†) легко опредерис 13-38 ляются. После коммутации ток)в контуре, составленном з(из первой (г„Е.,) и второй (г„Е,,) ветвей, может быть определен из ди(х)геренциального уравнения (13-92) («,+г,)(+(Е,+Ез) а(1!Ш Е), решение которого известно: з = 1, + Ае — и'= —, + А е — г«', У Р «1+ гз (13-93) где т = (Ез + Ег)г'(«, + «,). Для определения постоянной А нельзя воспользоваться первой из формул (13-91), ибо до отключения ветви с сопротивлением «з токи 372 ь' (г +гз) ° огз 1,(0 — )= и (з (Π— )= гзгз + гзгз + гзгз гзгз + гзгз 1 гзгз были различны, а после ее отключения они, очевидно, одинаковы, -нг-1з..частности, и..пеРвмй момент после коммУтации с, (О +):: = гз (О +) = 1 (О +).
Значит, токи зз и зз в момент отключениЯ РУ Интегрируя это равенство за промежуток коммутации, т. е. от( =- 0 — до Г =- О+, и учитывая, что ввиду конечности правой чати при 1 = 0 и стремления промежутка интегрирования к нулю интеграл от правой части равен нулю, получим: г= 2+ 1, (2+1 1== О+ а<0+> ,(«г((=1.1 ~ 2((1= Е2 ~;~~ г((= Ег ~ гй2 с ='а— 1, 1'Π— > Г='О— 1.
!2 — ! (13-94) Перепишем (13-94) так: Е1 [(1 (О+ ) — (1 (Π— )1 = Е1 [1 (О+ ) — 11 (Π— )1 = .= — Е, [12 (О+ ) — 12 (Π— )1= — Е2 [К (О+ ) — (, (Π— )1, с (13-95) (!3-96а) или Е1Л( +Е2Л(2=0, или ЛЧ',+ЛЧ',=О, (Е1+ Е2) 1 (О+) = — 1 111 (Π— )+ 1.,12 (Π— ). (13-966) Из равенства (!3-96б) следует, что потокосцепление контура Ч', составленного из первой и второй катушек (иначе говоря, сумма потокосцеплений с обеигии катушками), до и после отключения ветви осталось неизменным: Ч'(О+) = (Е1+ Е,) К (О+ ) = Ч' (Π— ) = Е11, (Π— ) + Е,(, (Π— ). (13-97) Отсюда находим: ;(О+)='" " '+""(' ), (13-93) Е1+ ьс далее из (13-93) — постоянную А ( 1 2 2«1) 2 (13-99) (Г1+ Гс) (( 1+ Е2) (Г1Г2+ Г2Г2+ ГЗГ!) Следует иметь в виду, что бесконечно большие напряжения "а катушках игг (О +) и и12 (О +) противоположных знаков (рис 13-39 построен в предположении, что А )0) появились следствие предположения о том, что коммутация произошла за бесконечно малый промежуток времени Л(-~ О.
Эти им- УС срдййс 2 Ы 2 Ы" С" ГЧЕ 2 с« . Ис 373 л ника должны измениться скачком, что приведет к возникновебильн бесконечно больших напряжений на индуктивностях. Но так иию ,„, гоки во всех ветвях схемы рпс. 13-38 конечны, то для промеж)тка К;1К Г ымутации (от 1 = 0 — до( =- О+) алгебраическая сумма бесконечб лыпих напряжений на индуктивностях и напряжений на сои отивленпях должна уравновеситься приложенным напряжением и11+и«2=11 — „'+1., — „'=Е« — 1(«1+«,) при 0 — «(1~ 0-(-. (!з-!оо) и после коммутации )Р (О+) =(Е,,+Е,,) ' ","', (!з-!о!) т.
е. положительна и расходуется на выделение тепла в сопротивлении искры илн дуги, которая появится между контактами выключателя, и на возможное здесь излучение. + !(( При решении задачи была принята ;;а-) идеализация процесса выключения, т. е. мгновенная коммутация. На самом деле она происходит хотя и весьма быстро, по за конечное ;,(а-) ~,,( ) время Л!. При этом в сопротивлении возникающей между контакты(а-) 62 и тамп выключателя электрической ...(и-) искре и расходуется часть энергии и„а~ г Л(Р. Кроме того, катушки 1, и Е1 гг обладают распределенной емкостью между витками и между расходям и щимися контактами выключателя существует емкость, что приводит к образованию сложного колебательного контура, который может излучать энергию (на высокой частоте), па что расходуется другая часть энергии Луй'. Если учесть все эти процессы, то никакие бесконечно большие напряжения на катушках не возникнут и токи в них не будут изменяться скачком т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
