Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Постановка у интеграла нижнего предела, равного — со или — 1„имеет целью подчеркнуть, что в момент коммутации конденсатор уже был заряжен, т, е. о где ис (О) — напряжение на емкости в момент переключения, т. е. при (=О. Чтобы перейтн от закона Ома, записанного для мгновенных значений (оригиналов), к его выражению в операторной форме, нужно в соответствии с формулой (14-1) поступить так: умножить обе части равенства (14-15) на е-мп( и проинтегрировать от нуля до сс. Тогда получим: « ~ е-рЧ Ш+ (.
~ е-о' — й', с((+ с ~ е р' ~ 1 й с(1 = ~ е же (1) с(1. о о — со 'о Полагая, что 7(р)=1.((Ю',; Е(р)=) (е(1)) и Учитывая формулы (14-4), (14-7) и (14-!б), получаем следующее алгебраическое уравнение: ис (О) / (р) 7(р)+(р7(р) — (-'(О)+ ' + с =Е(Р) ~~блуда получается закон Ома в операторной форме для цепи г, Е., С г+ рс+! (рс Е (р) + Ы (О) — иг (0))р (14-17) Последнее равенство справедливо и в том случае, когда процесс до переключения рубильника еще не был установившимся.В обоих лучаях под 1 (0) и ис (О) надо понимать ток в индуктивности и на'ирюкени)е на смкос1 и в момент" переключения-рубильника-;Заметиот.— 289 что и соответствии со сказанным выше нужно было бы писать ! (О, ) и ис (О+).
Но так как ток в индуктпвности и напряжение на ем кости не изменяются скачком прн ! =- О, будем писать коро„, 1(0) и ис (О). Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротн„ пением цепи г, Е, С в операторной форме или о п е р а т о р н ы „ сопротивлением 2(р)=г-! рЕ+1!рС. (14-18) Сопротивление в операторной форме уже встречалось в й 10 1,1 и теперь получено вполне с>рого. Напомним, что сопротивление цепи г, Е, С в операторной форме построено так же, как ее комплексное сопротивление, если в последнем заменить (ы через р. Величина, обратная операгорному сопротивлению, называется о п е р а с о р. ной проводимостью: Операторная э. д.
с. цепи, стоящая в числителе (14-!7), соссо>ст не только из операторного выражения внешней э. д. с., г. е, Е (р), но и еще нз двух слагаемых, ко~орые определяются начальными условиями, т. е. током в индукгнвностн с' (0) —: сс, (О) и напряже. пнем на емкости ис (О). Иными словами, наличие двух дополнительных э, д. с. Б (О) и — ис (0)!р, которые можно назвась внутренними или расчетными э. д.
с., указывает на то, что в магии ном поле катушки и в электрическом гюле конденсатора в момент коммутации была запасена энергия. Положительные направления этих э. д. с. выбраны совпадающими с положительным направлением тока ветви. Заметим, что, как и ранее, положительные направления тока и напряжения на конденсаторе считаются совпадающими. Если же до коммутации конденсатор был заряжен и„стало быть, положительное направление напряжения на пем до коммутапии ис было задано, а положсгсельное направление тока через конденсатор выбрано противоположным положительному паправленшо ис, то внутренняя или расчетная э. д. с., обусловленная емкостью, должна быть взята с обратным знаком, т. е. +ис (0)!р.
Особенно просто выглядит выражение (14-17) при нулевых на чальных усс>опиях, т. е. при сг (0) == 0 н ис (0) =- О, ! (р) =- Е (р)сЯ (р). (14-!9) Тогда оно полностью аналогично закону Ома в комплексной форме. Для любого узла разветвленной цепи с',+с,+...+с'„= — О, поэтому, обозначив изображения токов 7„(р) 1„(!), на основании (14!) получим первыи закон Кирхгофа в опе- риой форме: рата У» (р) -( 1» (р) + . + У (р) = У, /» (р) = О. (14-20) 0ли любого замкнУтого контУРа, состоЯщего из л ветвей, л и л л »Н» и~и 1 ч' г»!» + У 7.» — + Ъ вЂ” ~ !» Й = ~ е».
х! '4! х! С» » -! » = ! — ии »=! Полагая » (Р) = 1. (е» (1)) и повторяя все рассуждения, которые были сделаны при записи икона Ома в операторной форме, получаем в т о р о й з а к о н К4!рхгофа в операторной форме: л л и»!» (р) + ~~! ЕДр!» (р) — !» (0)1+ » ..- ! »=! л и и что можно переписать так: л и ис» (о)1 2» (р) 1» (р) = ~~ ! Е» (р) +Е»!» (О) — — ~. (14-21) '.=! »=-! 391 В последних выражениях !» (О) и ис» (О) — начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах а соответствующих ветвях.
Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т. е. при !» (О) =- 0 и ис» (О) = 0: л л ~х; 2, (р) 1, (р) = ~; Е, (р). (14-22) »=! »=- ! В такой записи он полносгью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме.
1(так, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в опера- в ком торной форме аналогичны по форме своей записи тем же законам имегь ~~мплексной форме для цепи гармонического тока. Нужно только „'сть в виду, во-первых, что в каждои А-й ветви при ненулевых нане тол "аль"ых условиях, т. е. при !» (О) =,й0 и ис» (О) чь0, действует ная э только внешняя э. д. с. Е» (р), но еще и внутренняя или расчетрой ' ". с 1.»!» (О) — ис» (О)/р, положительное направление котов этои " вь!брано совпадающим с положительным направлением тока Рется „. ой ~стаи, и, во-вторых, что в качестве сопротивления ветви бе' " се операторное сопротивление.
Найдем, например, ток при переключении ветви г, (, С(рнс 14 1) от источи» синусоидальной э д с ед (!) =- Е„„мп (ш! ! д!) к источнику постоянной з „ панка е(!) — — - Е На основании закона Ома а опергпорной форме имеем Е/Р+Ед(0) — ис(0) Р С(Е+РЕд(0) ддС(0)) Р, (Р) Е(р)- г+РЕ+1(РС 1+гСР+(Срз Ре(р) ~ где д (0) и и (0) надо найти, рассчитав цепь в установившемся режиме до комл, !ута. ции Оригинал для ! (Р), т е ток д, определим при помощи теоремы рвало»геня„ Сначала вьшислим корни р, и р, уравнения Рз (р) = О, которые примем д„„ определенности вещественными и рази!,„ йр) я,[р) 2Е г' 442 (С уз[р) Затем наияем (р! ф) Еа[р) ~ ~ Р, (р ) =С(Е+РЕд (0) — ис(0)~ т [Р) гд(ра)=-С(Е-(-Р,Ед(О) — и.(0)~ Р.„'(р)=гС+2ЕСР, Г'(рд)=(гы.р(р,)С Рнс 14 2 Р;, (р,)=(г+2!.р ) С Подставим эти результаты в формллу (14-10) 2, Рл! )д (Рл) г л Е+Рд(д (0) — ис (0) г Е+РлЕд (0) — ис (0) ~',(Рл) г-'-2(Р.
г+2!Р. — ."+ л=д или после простых преобразований Š— ис (0) ... !.д (О) )Рг' — 4Е)С ) дл — 4Е(С Как и следовало скидать, принужденной составляющей в составе тока д нег, ° а свободньщ ток состоит из двух энспонент с коэффициентами затухания ! р, ( и 1р, ! Для цепи с нулевыми начальными условиял~и во всех ветвях(рис 142) нзо бражение тока, например, во второй ветви нандем из очевидного соотношения Зз (Р) Е (Р) Лз (Р) у. Е (о) (Р) + 2 (Р) 2 (р) л (р) 2 (Р) 2 (р) 2~(Р)+7 (Р) Здесь Ум (р) — взаимная операторная проводимость ветвеи 2 и ! Изображение гармоинческон э д с г.= Ем мп (ш г+ ф) (см приложение 2) р яп ф," гэч сгн ф — довольно сложное Зная, что эта э д с представляет собой мнимую част' комплекса е=!щ(Е е'! ' +'"!), можноопернровать с мгновенной комплекс»о нв ! ай эдс е(!) =Ем (сов (гол(+ф)+! з~п (шо(+ф)) =Емед !и" + э!=Е е(и~, изображение которой Е(р) хотя и является комплексной функцией р, все дя дяе будет значительно более прог тым Е (р) = Е 1 (!)) = (14 231 Р ! о яснення расчетов с гакимн взображениями рассмотрим сначала неЛл к цепь с пулевыми начальными условиями, в которой после коммутараз „.
ет один источник э д с е(Г) вегвлеян1 пв „ ну 0ма в операторной форме комплексное изображение тока н действу ()о вако )(Р) = Е (Р))Е (Р), (14-24) ый оригинал переходного тока камплексн г(бр Е г(,( (14-24а) (14.24б) н пер реходный ток ' (!) =- !ш Р ((В Е лл в этой цепи после коммутации кроме источника с гармоническои э д с вует, напрчмер, еше источник с постоянной Е н аг ернодическои Еее ига д с действ зн начальные уашвня были ненулевые, что учитывается введением расчетных эх с с !.г (О) н — ис (О))Р, то все з д с, кроме е (!), должны быть внедены в чи„тель формулы (14 24) с множнгелеч 1, т е Е(Р)+!Е (О) — )иС (О)ГР Нр) = г (Р) (14-25) где Ем Е Ео Е(Р)= "' +! — +1=' Р— !гве Р и+и только в этом случае онв будут учтены прн определении переходного тока хзк мпнмой ча" гн комплексного оригинала ) (!) Необходимость умножения нзобрзженкн всех внешних э д с (кроме сннчсондачьных) н внутренних дополнительных з д с вегвей на ! распространяется также и на уравнения второго закона Кархгофадляразветвленныхцепей, если счнусондальные внешние э д с заменяются нх мгновенными комплексными значениями е (!) 14-3.
Эквивалентные операторные схемы Пргг расчете переходного процесса операторным методом полезно сост авить для заданчтой цепи эквивалентную операторную схему. схем осы покпзптго кпк сосгавчпетгЯ эггеивчтентнаи опеРатоРннЯ сма в досгаточпо общем случае прн ненучевьгх начальных )счо- 393 В случае включения пепи по рнс 14-2 к источнику тока 7 (р) = =- Цг (!)) прн ус ювни г (О) ~ 0 необходимо, чтобы ветвь Я, (р) и хотя бы одна из ветвей Ез (р) или Л, (р) не имели нндуктивностей. В ветви Лг (р) сразу будет принужденный режим с током Н (!) = = г (!) Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, образоьанного ветвями 7з (р) и Уз (р), и уравнение по первому закону Кирхгофа на точки разветвления Переписав нх для изображений и Учитывая, что 1, (р) = 1 (р), решим два уравнения с двумя неизвестными !з (р) и !з (р), т е най (ем нх изображения.
Токи г, (!) и! (!) определим по теореме разложения нлн при помощи таблицы соответствий Достаточно найти один из токов 1, (р) илн Уз (р) и соответственно 'з (!) илн г, (!), так как другой ток сразу определяется по первому закону Кнрхго виях, запишем для схемы (рис. 14-3) уравнения Кирхгофа в оп,а торной форме, опуская для кратности аргумент Р у изображен, Г , ений гг+ Ег т ~з — — О; ) гг,, (О) Ег (РХг — гг (О)) — гз)з — 1 з (Р!з гз (0)1 с =- Ег Е ' 72 ис, (0) гз~з+ ЕЛР)з гг (0)1+ + " ггпу Езр)з Переписав их в виде 1г+ Уз+ (з-- 0; ! ЕгР~г (~з+РЕз+ "С ) гз=Ег+" ггг (О) ~Ез+(з'г(0) РС)- 17 ~' с+ РЕз + ' ' гз )гз+ Рйг + — ) гз— 1 ~ ( рСг,! ' РС (О) ! с,,(О) =-Е,+У,п,(0) — + Е, + — ~, р р составим по ним эквивалентную операторную схему, представлен.
ную на рис. 14-4 Из рисунка ясно, что, вводя операгорные реактив ные сопротивления РЕ и 1/РС, заменив заданные э д с. нх изображениями и включив в каждую ветвь с индуктивностью и емкостью дополнительные внут- ) гз Рас 14-3 Рис 14-4. ренине э. д. с. Гл (0) и — ис (0)!Р, причем положительные нг правления этих дополнительных виугренних э. д с. прпняг совпадающими с положгпельным направлением тока в данно ветви, получим уравнения Кирхгофа для иэображении, аналоггп ные уравнениям цепи гармонического гока Л тзк ьаь ч""-месил расчета цепей выводятся из уравнений Кирхгофа, то для расче" .ений какого-либо тока или напряжения в схеме (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
