Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 77
Текст из файла (страница 77)
14.4) ль!оваться методами конт)рных токов, узловых потенобРаж мо.ьно по активного двухполюсника, преобразований и т. д, цссаЛОв, тд„пм обРазом, операторный метод позволиет использовать „рсделения изображений токов и напряжений весь аппарат для оп , „енин, применяемый для расчета установившихся токов и вычисле напряжений Составим теперь характеристическое уравнение, например, иравнивая нулю числитель входного сопротивления для источ„„, и д с, включенного в первую ветвь Ят„„(рис.
14-3): такая возможность вытекает из теоремы разложения, когда для получения характеристического уравнения приравниваем нулю знаменатель изображения В Обжси СЛЮСаЕ ОПО будЕт Чстзсртпй СТЕПЕНИ ОдиаКО, ЕСЛН ПараистрЫ Каз н либо паоы параллельных ветвеи, например второй и третьей, удовлетворяют соотношению гзгге = — ьз газ =- С,сСз, то характервстнчсское уравнение будет только второй степени В самом селе, выРажаЯ из последнего УРавнениа йз и Сз чеРез сопРотивлеииа гз с г„). и '", и попставляя пх значеннв в выражение Лсз„после преобразований пол)чаев Р С 1(гз-!-сч) ) г .! гз) с)+РСсгсгз+сч (г,: г,) РСз Таким образом, возможность преобразовывать операторные сопротивления, так же как н ьомплекспые, позволяет очень просто чстаповнть сл)чав, когда из.за пропорэапальпостн сшоаиетров ветвей г, 1.
и 1!С степень характеристического уравпеаия понсгсс,асгс я Ссс чассное относится также к параллельным ветвям г, ь и параллельным евсеям г, С, еспи пх параметры соответствснао пропорциональны, Пример !4-1. 1)оп н ток в инлуктпвнгитп (рис 14 Ы после включения рубильника, если Лацо [/ 200 В, и (0) =- 100 В, г, = 300м, гс — — 100м, ). = 0,1 Г, С вЂ” !000 мкср Р е ш е н и е Составим уравнения лля "зображеиий по методу контурных токов. с, — с а 401 +О,)р),— 0,1, (О) — !0)а=200; Р зс!а) 1000 и (0) — !ОУ, + !ОУ,+ )з — ' = О, Р " Р гле Рис 14-5.
'с (О) = сгпсс (0) =200)40=5 А Реш сшив зги )равнения, найдем ) . 200УР+0,5 НЮ Р !О- !ООО Р ~ Л 395 где =!— 40+ 0,1р — 10 Л= — 10+ 1000)р Отсюда 300 >=- (р + Л>-)-400Л-(-40000~' Оригинал первого слагаемого равен 5 Корни знаыенателя второго слагаемо р, = ра = р =- — 200 Гак как корни кратные, то теорема разложения в „„ (14-10) неприменима Представив второе слагаемое в виде 5. 300 1500 р>-1-400Л-)-40000 (р-'5200)' ' найдем его оригинал по таблице (првложение 2): Е.
> ~ — -~= 1500(г ееег, 1500 (1>-1 200)> = Оригинал того же слагаемого можно вайти и по формуле (!4-12)! г (2 — 1)> >)р г — — — (1от(л>ел>) = 1500!е е®'; для » окончательно получаем: =5+15(К)!е ем>> А, В частности, прн 1=- О, как и должно быть, >, (О) = 1>„г (О) = 5 А, Пример !4-2. Определить напряжение на ннлуктнвносгй (рис 14-6, и) после включения рубильника, если>, = 100м, /..=- 0,15 Г, г, =-!00м, С == 25 10'Ф, и = 150 ч1п (3141+ 60') В. 11 (6) ~РУ~(Й г,— ы са пс(р) ! )>л Рис. 14.6.
Р е ш е н и е. Июбражение тока 1 найдем по методу активного двукпочюс, ! ника Составим для пепи (рис. 14-Г>, а) зквивалентную операторную сте> (рнс !4-6, б) и определим расчетные з. д. с, Из расчета режима до коммутан" анки найдем: '>ар- = 4 2 а(п (314' — 13 45') А; и,„=.53,5 зш (314! — !03'45') В и, следовательно, >> (О) = >„, „(О) = 4,2 Мп ( — 13'45 ) = — 1 А; ин(0)=ин, (О)= — 52,1 В. 396 оду активного двухполюсннка По мет д ()аха ~+~в где гв)рС 37,5. !О врз-)-0,17Бр-1-20 2 Р~в="+Р' ' г,+и!(рС 25 10 р+! Н йд,м далее напоя кение Ува при отключенной ветви с индуктивностью На де —, (О) О, !305 за= в р (гг+ 1)рС) в 26 1О 'р+1 Напряжение на рубильнике 0 — 37'5 1О- рв ьО 30ббрв+ 152р-(- 21650 (Газа=~в + + "() (25 !О р+Н(рв+3!4в) 7ок н веввн с индуктивностью рз+815рв+405. !бар+578.
10в (рв+ 314") (р'+ 467р+ 534 10в) Поскольку в момент коммугацни в индуктивности был ток, изображение напрязкения на индуктивностл представится разностью изображений потенциалов точек а н с: (),=-Є— Р =7РС и,(О)= 9 2Рв-' 836 !О'р'+ 155 6 10-р 79 !Ог (Р" + 3 14 в) (Рв+ 467Р + 534 . ! Ов) — à —,) . Наводим корни харакгернстичсского уравяения Г, (р) =0 р, = — 267; рв = — 200; рв= 1314; рв =- — 1314. Далее находим: Г (р), 2р (раз- 467р -~; 534 10в)-1.(р' + 3!4в)(2р.1- 467); Г,' (1 9 = — ! !3,5 ° !О; Г„'(р ) = 93 Р. '(Рв) = — (92+128 3) 10в Г (Рв) = (92 — 128,3) 10". Аннтогнчно находим Гв (рв).
ПРименяя теорему разложения (14-10), учитывая, что в теореме разложения глвгаевюе от нория ов, сопряженного рь получается сопряженным слагаемому от верня р,, сумму обоих слагаемых найдем сразу как удвоенную вещественную "есть слагаемого от корня р,: в у р,(рв) а в !ОБ.!бв 53.10в С~ Р'(Рв) — 113,5 10в 93 10' а=-1 )( — 0,749 — 11,066) . 10в езвгис — 157 ми (314.'— ', 81')(-92 бв мм — 57е ™ В, ( — 92 — 128,3) . 10' ) "Ример!4-3. Найти напряжение на конденсаторе и после включения ру" "кина (рнс.
14-7, а). ~~с н не Представим заданную гармоническую э д с комплексной ре изинчнной г Й) и составим эквивалентную операторную схему (рнс. 14-7, б). Обозначим т=г,С гв+гв 397 И найдем напряжение на конденсаторе до коимутацигп (/)=-Е,+ — '" х м1(ы/-~ ф — ф-йО), спа- с. где а=1 (г-!- г,)з+(1/юС)"', х = —; !без=†ыС ' ыС(г+гт) Счедовательно, ис [О) = — — Гт+ — ""' хс мп (ф — гр — об ). Найдем по методу двух узлов комплексное изображение н~пряжения // аь Ет пс (0) // рй' / р г, ' ~р — !ы р ~ г+!/рС аа ~'. У 1 ! 1 гг г г !/РС Зная его, находим комплексное изображение мгка й и (О) — / Саь р — /ы г+ 1/рС Далее, поскольку конденсатор в момент коммутации был заряжен, пай!ем комплексное изображение н»пря,кения па конденсаторе /) как разность комплек- Рис 14-7.
оных операторных потенциалов ф/ и гра в зквивалептиой операторной схе" ече (рис 14-7, б) ,, (о) ф р рс' Подставляя значение (/ ь в формулу для /, а значение / в формулу для /гс' паоле ряда алгебраических преобразований получаем Е г,/Е !и (0) т с — (р ы)(!+ р) р,, !.г,)(!.( ) + ! ртр 1(ричен ,щв теорему разложения (14-!О), найдем комплексный оригинал иско- „яжения на конденсаторе; го напри ' Е,гг, 1уые Ег, Еы пс( = „+г, ' 1-, 'т)ы р),! — г+ —,— +гиь(0)Е ' +1 Г гт+ гг 1+тгы ' С,четам пРиведенного выше значениЯ ис (О) нандем напРЯжение С уче' Ег,, Е„, а (1)=-!пз(пс(01 =:+ — хс Мп(ы(+Р— е,— 90")-!.
г,+», г, + ' г с Е 4 — ~ х. з(п (зр — !р — 90)+, — — х з)п(зр —,р,— 90ч)" е- 1 Еы Ег, Еи — гт г,+га гт где г,=-=)/г-„'+ (1,'езС)т; !я от= — 11гоСг,. В частности, при 1= 0 получаем для ис (О) приведенный выше результат. 14-4 Переходные процессы в цепях с взаимной иидуктивиостью рассмотрим псреходныс процессы в пепи (рис. 14-8), у которой дие катушки с сопротпвленпяьш г,, г, и пндукгнвиостяьзи 1.„1а связаны взаимной индуктивностью М, причем вторая катушка замкнута накорозко, а первая включается на постоянное напряжение (1. Токи й и й в обеих катушках связаны уравнениями Кирхгофа / тг гд(, +йт -„-'+ М „'-'= (1; (!4-26) га(а+Ее' "+М ' =О, (14-27) С)гме!им.
принципиально важное обстоятельство, что учет взаим- Рис. 14-8. ной индуктпвности между ка~ушками не повышает порядка дифференциальных уравнений. Перепишем уравнения (!4-26) и (14-27) для изображений (гз+Р(-з) 1т+РМ!з= 1 РМ1т+(га+Р1а) 1з =О. и решая пх, находим; Ег (1+ Ртт) Ьйбз) . Рсгт !1 — й ) (Рт+пр+Ь) РР (Р) ' й(и 1а (Р) !г(е (! — Ь~) (Рт +оЛ + Ь) Ра (Р) где т = е, гб т, =- Т.з1га — постоЯнные вРемени каждой из катУ- когда другая разомкнута; а=- — ~ -+ — ~); Ь= 1 — йа (т т 11 (1 — йз) т т 'ы 1тггЕтЕг — коэффициент связи. Решая характеристическое уравнение системы Р, (Р) = Р'+ ар+ Ь =-О, находим его корни: 1 ( 1 1 .,/ (! 1)з 4(1 /г~)( 2(1-Ьт))т +т ! )Г (т +т / тт Применив к выражению для тока У, теорему разложения в ви (14-11), а к выражению для тока 1т — в виде (14-10), найдем после некоторых преобразований с учетом равенств 1 /1 ! 1 Рч+Р~ 1 — и '.
+ )1 Р~Рт= ! ьч ' Рт(Р) =2Р Рч-р, оригиналы токов (ч н 1,: Р +Рч т р»и р Р~ т рр иг 1-с т. 14 т ГИ Рз Рч — Рт ИЦ (рчи ррн) (Рт — Рч) (! — Ь'") М Для лучшего уяснения процесса рассмотрим простейший случай, когда обе катушки одинаковы: гч=г,=г; Лч=~т — — Ь; й=М/Р.. Тогда постоянные времени каждой из катушек в отдельности равны между собой: т, = т, = т = Еч/г, = Е,(»э =-1 1».
Коэффициенты затухания и, и а, также упростятся: 1 г 1 г ч=-(1 а) т = Ь 4 41; т= — т=(1 Ь) = Ь Д1 н токи катушек гч (ч= — (,2 — е г- ч "' — е ь — м) !' = — ( — е дем ( р ь-м) (14-28) 2у На рис. 14-9 построены кривые изменения токов !ч и 1', Одна нз свободных составляющих чоков затухает медленно, т. е. имеет большую постоянную времени, определяемую суммой индуктнв ности У и взаимной индуктивностн М, а вторая затухает быстро так как ее постоянная времени определяется разностью 7 и М Т(л" сравнения на рис. 14-9 показано, как изменялся бы ток первой ка тушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (и) нктир ная кривая).
В первые моменты после включения ток первой катуш "я увеличивается быстрее, чем он возрастал бы при разомкнутон вто' рои катушке. Б-этом иочючтгубедвться, -иодечитав-чьзвальньде значе„ иия производных ЙчЫ( в обоих случаях. Прп замкнутой вторичи из первого выражения (14-28) получим Й11 У ш; =а 11 — аз) г. и разомкнутой вторичной катушке (см. 9 13-4) о первом случае производная больше, поэтому ток 1, растет быстрее / г ~ При 1) 1, ток 1, по абсолют- ,/ — 1 му значению уменьшается и знак „о производной изменяется на об- ный, Кроме того, как показано Рна рис. 14-9, ток 1„ начиная с некоторого момента времени, растет — ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
