Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Прн атом получаем: (14-71) х!" (т) = Аел'х (О) + ~ Аех('-т)вн(т) т(т+ Вн (1). а 416 етруцно непосредственно убедитьгя„что (14-66) действие ь петр ' Те" р тся решением матричного дифференциального уравпеявляе~ яяя (14 что переходная матрица состояния системы ей' поз° и в пространстве состояний, т. е. в пространстве, число метим воля . которого равно числу компонент вектора переменных ет найт" . с >еиий ко язй1ер (1) перемещение, начинающееся из некоторого началь- сос . ения (при 1 =- О или при 1 = — т), причем вектор х (1) ' 'тояиия х яй ж, значительну1о информацию, так как одновременно описы- ,ержят зн переменные состояния, т.
е. функции времени х, (1), хй (1), „. "' для того чтобы непосредственно воспользоваться решением 466) и вычислить матричную экспоненциальную функцию е", Рибегая к обратному преобразованию Лапласа, следует, напри- йе ири мер, выполнить ее разложение в ряд: 1 13 ею=1+А+АА2, +ААА— =1+А+Ай", ) Айн ( (14-72) 1!ри этом пРавУю часть (14-72) нужно представить в замкнутой форме, чтобы ее вычисление могло быль произведено путем выполне- ния конечного числа операций, как, например, в формуле (14-70).
Вычисление переходной матрицы состояния может производиться различными методами — методом разложения в бесконечный ряд, веюдом, основанным на критерии Сильвестра, методом Кэй1ли— Гамильтона, методом частотной области, методом передаточной функции и др. Рассмотрим кратко два первых метода. Сначала рассмотрим первый метод (разложение в бесконечный ряд) на числовом примере.
Найдем переходную матрицу состояний по заданной основной матрице А системы !1 Π— 2!,' ,11 — 3:,~, Степени А получим последовательным умножением на А: Ай=- , '',,'; А'=-' 1,'— З 71' (7 -16 На основании (14-72) )1 О!' Π— 2' ) — 2 6(п '6 — 14~и ~~О 1;+ 1 — З! +,) — З 7(1~21+ 7 — 16(61+" Складывая матрицы правой части,.получаем: 2П 6Н 61й 14Н 21 31 оцнцвы тсовци цепей 41? Далее следует найти в замкнутом виде каждый элеме грицы. Для данного примера нетрудно убедигься в том, ч емент эт й ов матриць! хтожно представить в замкнутом в! м, что!, ность двух экспонент: . виде ка внд как ра .
!2е ' — е-" 2(е "— е') 1е-' — е" 2е "— е' () 4-73) что и решает поставленную задачу. По методу, основаннолту на критерии Сильвестра, ед'= к~а епа Ф, аа а ! (!4-74) где нс бис Йе ~= — +~а+С вЂ”; Ь вЂ” = и; ,и 1,!! — с' Р !с С, (, (14пб! йс ис — с — бе= — —, ы откуда Ыис ! ! 1 Йе В матричной форме 1 С ы В !+ ' ( ! =Ах+ни. ;.4.) 1~ 0 4 !1,'')Г'а' аа и а а и Ц (А — Р!1) ()4-75) Й (Ра — Рд !'ф'й Здесь Ре, р, — собственные значения или характеристические числа матрицы А, т. е. прость!е г корни характеристического урав- нения цепи (число их равно и). ы с Пример 14-6. Лля цепи рис !4.!5 () прн г= 7 ОмС= !Ф Ь= Г Рас очи~ать ток ! при включении ее к нс точняку тока ! (Г) при условии, что а им мент включения И= О) даны тока инхук у тивности ! (О) и напряжение на коидевРис !4-!б.
саторе и (О), что обеспечивается одна. временной и мгновенной коммчтацае6 всех трех рубильников цепи. Р е ш е н и е В качестве переменных состояния выбираем и и ~, а выходках с г величиной р считаем ток в емкости ! . На основании законов Кирхгсфа составим уравнения состояния цепи и урав' нение дия выходной величины.
ристияеское уравнение цепи тзрзктери 12 = О, откуда р, = — Зс', и, = — 4с'. етз р акая матрица цепи А и матрица связи В равны: ()оковка Н (14 74) найдем матрицы Ф, и Ф,: По ,'1 0 + ('о 1( !' — '7 — 1),()4 о~! — 3 — 3+4 )! 12 0 !'()О 4!! (! 12 4 1 0 А+3 о 1 ('~ — 7 — 1 !!3 01, 4 — 4+3 1( 12 0 ) 0 3;() ! — 12 3()' Но (14-73) найдем переходную матрицу состояний: дз з,е еы -зе) 3 1 ! з,)( 4 1 1 — Зе -зе+ 4е зг — е е+е о — м зе 1 12е м — 12е з' 4е "— Зе з' (14-80) На основании (14-65) найдем матрицу перемевяых состояний; ' и,(7) ! — Зе зе-)-4е з' — е зе-4-е з' ),!! и (О) , ();= ~~-и П,-м 4еыя — ~-м !1~ 1 (О) ! зе з~з-т~+4р зп с~ — е з П 'т)+е хи О ~)1 1 (! 12е зп т' — 12е зн-т1 4е.зн-т~ Зе зп-т~ ''~ 0 ! з — Зе з'-(-.4р м — г зе 1 е-м )! ис (0) ( 1 -с 12е и — 12е зз 4е зе — Зе зе 1! ! (0)!! / Зе-зн-т~ ' 4е — зм-т) 12е з П т' — 12е з П "' , 1(т) Зт.
(14-81) аскрывая матрицы (14-81), находим: ис (()=( — Зе "Н-4е м) чп (О)+(е зе+е '~) (х (О)+ с + ) ( — Зе °" т'+4е з" т') ( (т) Зт; о Е (т) = (12е зе — з2е зе) ис (0) +(4е Ы вЂ” Зе з!) 1! (0)+ (14-82) 4! 9 ~ — 1(еС вЂ” р — 1;С !~ Зе! ! 17~, — р (! тС ' (.С (А-р1) =е)е(~ ! = из+ — р+ --- = О, (14-70) На основании (14-76), (14-821 и (14-83) на!стем аыходн[ю величину, "нс У(г)=-с (О=с — = с Я-,-(эе а' — 16е с) нс(0)+ с(г + ( — Зе ас — 4е сс) с (0)+~ [Ое асс-тс 16г-с'с с)с (с) с(т (14 841 Полученные результаты легко проверить непосредстаенно для устаноа, тося режима, если нссочник тока с (С) — едчннчнын, т е с (С) =- с (т) = оассашь средственно нз схемы рис 14-15 следует, "то пои этих услониях ток едн,н, источника тока замкнется через индуктиьностсь т е сь (со) =- 1, источник "сапого к тех будет ею ааьоро сен, т е.
ис(ю) = О, и ток а конденсаторе б!дсс раасн и ссуде, т е с (со)=0 По формулам (14 83), (14-82) и (14 87) получаем, аьпюлпяя иатегрироаа„а и полагая Г=- о сг (оэ) = 1; нс (оэ) =-О, сс (ж) =р (со)=0. 14-9. Определение принужденного режима цепи при воздействии иа нее периодического иесииусоидального напряжения Как известно, решение этой задачи можно получить в виде ряда Фурье (суммы бесконечного числа гармоник). Здесь будет дано нное решение, основанное на возмокносп! найти изображения периодического воздействия при помощи применения теоремы запаздывания. Согласно этой теореме, если Р(Р) =- 1(1'(!)) 1.
(7(( — т))=е гт[г(р). ) (14-85) то 420 Теорема показыв ет, что изображение функции 7 (( — т), запаздыва!ошеи на время т по огне!венино к исходной 7" (!) (рис 14-16), получаешься умножением пзобра жения Г (р) на е гс (т — время 7'(г-г) запаздьсвания) у(с) Поэтому, если и (() — перс!о' дпческое несинусоидальное на пря кение, подключаемое к весси в момент ! = О, иг (!) — ег' г (7 аналитическое выражение в те чсние первого периода измен~ Рис.
14-16. ния (О ==. ( ~ Т) и его изобра' жение () (р) = 1.(и (()), то изо" бражение напряжения (с' (р) = Ци (()сс для любого момента вРе меня (О -" ( = оо) на основании (14 88) запишется так: сгнт= сс "р цс "зг'-" " г - з. с эсс~ СН-са б жение искомой величины Х(р) =и(р) К(р) =, ~ ~~)„К(р), (!4-87) ее орнгнн . нал может быть найден на основании (14-2) как сумма вы- функции четон 17, (р) — пт К ( ) — передаточная функция цепи, определяемая как отношепласовых изображений выходной и входной величин прн ну„ачальных значениях переменных состояния цепи. Й комая величина х (!) равна сумме ее принужденного х„р (!) ного х„(!) значений, причем х„р (!) равно сумме вычетов относнтеч , ельно полюсов приложенного напряжения (I (р) в выраже„на (!4.87), а х„(г) — сУмме вычетов "нноснтельно полюсов передаточной г(г) =и(!) ф,н.шен К (р) для того же выраже„,н (14.87).
Указанные соображения -~г И задуют непосредственно из закона Ома н операторной форме (14-19) н и были подтверждены вьпперассмотренными примерами !4-2 и 14-3. Из П т, гт (14-86) следует, что число полюсов,' и" 7;(г) приложенного напряжения (7 (р), тг ( ) ~ которые налодя~ся из уравнения 1 — е ' =- О и равны рь — — (2йл/7', Рнс. !4-17. бесконечно велико. Поэтому находить х„р (Г) по изображению Х (р) из (14-87) нецелесообразно, так как это приведет к бесконечно большому числу слагаемых (к ряду Фурье). Но х„, (!) можно определить как разность хчн (!) =х (!) — х„(!).
(14-88) Величину х„(!) нанти по (14-87) нетрудно, так как число полюсов передаточной функции цепи К (р) конечно. Аналитическое выраже""н для х (7) надо найти для каждого периода изменения приложенного напряжения и (!) отдельно, что нетрудно для первых периодов. !!о тогда по (!4-88) находится и аналитическое выражение для х» (!), не одинаковое для каждого из периодов.
Проверить полученное значение дчи хчя (Г) можно из тех сообРажецнй, что значениЯ ~:и (!) в начале и в конце рассматриваемого периода должны быть одинаковы Пусть к цепи г, 7. в моллент ! =- О подключается периодически изменя'ошееся напряжение и (!) пилообразной формы (рис. 14-17). ""чообразное напряжение и (!) можно получить наложением н нерио р одическим повторением трех функций, рассматриваемых с мо. Ментов начала их действия; прямой ( (Г)=- (, другой прямой и 7' ( ((! и ~, ф=7~ап лч «Вф . Ь Я===-Ун --ТЛ 421 Применив теорему запаздывания (14-85), найдем изображ первого зубца пилы (рис. 14-17): ажение У (Р) = — — —,е-р — е р . и 1 Про Тр' Р (14-89) Заметим, что тот же самый результат получится непосред „ ным интегрированием по формуле (!4-1): аен- СО т и,(Р) = ~'т "'"= ~ е",( о 8 Изображение всей пилообразной функции и (() получится в вид суммы изображений одинаковых зубцов, смещенных на врем„Т друг относительно друга: о ~й = «, (е о,-— т — 2 т Ыл(Р) ! — о рт Тр' р(1 .е ~т), (14-90) Изображение тока в цепи 1т — лт Р (! — ' " ) ( +Рт-) (14-9! ) (~) = (Р) К (Р)— Тр' '!т+РЕ) Свободный ток („на всем промежутке времени (О = 1 оо) найдем как вычет функции 1 (Р) еР' в полюсе передаточной функции Р, = — «)Е, т.
е. уЕР 1„= Вез Тро (т+ РЕ) тт,о е р(! — е р ) !т+рь) 1Р= — оа — — — н — тл . ( —.")' Е, (р,) ер' (14-92) '! (Р) где Т, (Р) и То (Р) — числитель и знаменатель изображения тока У ° (Р). На промежутке времени О = ( = Т (первый зубец пилы) полный ток цепи 1 найдем как результат воздействия только напряжения 7, (() = Ш/Т = Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
