Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Из (15-13) получим закон Ома для частотных спектров при нуле' вых начальных условиях Е (/н) (15.15) У ()ь!) ' а из равенств (!4-20) и (14-21) при р = — )ы — уравнения пера~ге и второго законов Кирхгофа для частотных спектров 1ь (1ха) =0; (15.15) л=! ,„, образом, в общем случае вычисление токов или напря'ракц«! , !Одом интеграла Фурье выполняется следующим образом нг да>!ион цепи составляется эквивалентная комплексная схема. ений ме! '(тн определяются частотные спектры токов или напряжений задан ' схеме По ' ц(ц лгобого из известных методов расчета линейных цепей ц помо ановившемся режиме (методы контурных токов, узловых прн,у валов и т д ) Расчег можно также свес!и, применяя принцип поте,„ения, к нулевым начальным условиям (см у 14-5) Лля нахож>цгинала можно пользоваться таблицамц (см приложение 3) „цменять теорему разло'кения, формула для которой получая' „„, (14!10) при р =- )ш Поэтому, если (15-18) то 1(~)- у дн(~шр) е!.,г ~.
(циу) !=! (15-19) гае Е.,' ((со) — производная от ге ()ю) по )го, а )о>а — простые корни хара«терцстического уравнения га ()о!) =О. Заметим, что при комплексных ц сопряженных корнях )го характеристического уравнения частоты гоа получаются также комплексными, но сопряженными относительно вещественных частей. Пример (Б-!.
Найти ток и напряжение на конденсаторе прн включении пенн г, С на экспонепцна !ьное напряжение г(г; ! пр (-О, и(!) =-> 0 при ! О, гле и ) 0- р е ш е н н е Прежде всего !белимся, что ф)нкция и(!) прелставима инте!пало«! Фуре де!!с!ннтетьно, ф! пкцня и (!) абсолюгно интегрируема в бесконечен« пределах, гак как интеграл :„ы!!,а, ),!! !а о (и а (г «онечен прн любом сс ы: 0 взвеси По таблшым фуп«ций и их частотных спектров (см приложение 3) или по сгюмУ лаял,юов) иообРалсенню П ) пкцнн и (!) аапгппем ее частот ныи спектР.
и И (> (ь!) =' — == — — ' ф (с>) = — агс(а 1 и--гш! Я (у '! (у (à †! агс!и (нуи> (г(ло)=~ — — ) =- =(г(го)егр! '=-.—,— ', я+и,)„,м 1> ма+ юе о!к! аа пол«чае ! амплитудно- и 4 азоч,!стоги>ю ларактеристнки приложенного апра кения Отсюда следует, что включение апериодического наврягкения и (уг сматриаать как вклю егпгс бесконечно болыпого числа злсмстариых',ар рао . можа~ ьнх колебашггт, часгогы котрых изменяюгся непрерывно ог мнн,Р ова'ис бесконе нчости. с до пл Рнс 15-2.
Рнс 15-3. На рис 15.2 даны аиюпитудно- и фачочастотная характеристики (у (в) и г) (а) На рис. 15.3 построена частотная характеристика (У (уа), т. е., иначе говор„ годограф комплексной функции (У (ув) при изменении а от О до со, которая пред. ставляет собой полуокру ккость, что следует из выражения для (у (уст). Комплексное сопротивление цепи 1 1+угаС Л (!а) =- г -1- —. уаС уаС Так как начальные условия нулевые, то на основании закона Ома для частот. ных спектров у(уа)=— и(у'а) (УУ С =2(уа) = Оа+.)О С+1) Примеггяя для вычисления тока г (у) теорему разлоячения (15-19), обозначив Г,(Уа)=; С(У; Ра()а)=Па+Я) (;,С+1) и найдем корни характеристического уравнения гз (уа) = О: уа,= — а и уа = — !угС.
Вычислив значения множителей обоих слагаемых теоремы разложения Е, (уа,) =- — яС(У; Р, (ув,) = — (УУг; гй [айаг) = 1 — гСя,' Г, '(уаз) = — 1-1- гСа, после простых преобразований получим; — и ! -уугс г г (у)= — (ае — — — е агС вЂ” 1 ( гС Напряженые на конденсаторе и (у) находим, интегрируя ток и полат~~" ая по. с жеииг1 стоянную интегрирования равной нулю. Эго ясно из физических сообрзже" сл чие (никакой постоянной составляющей в составе напряжения и (у) в данном сту с быть не мажет); ис(')=- — ~ У(У)б(=ис +ис = ( — ' "'+' спр Сси огС ! ~ ново' Найдем напрягкение и .
(у) несколько иначе и притом для случая одинакоиг аггы'и затухания и ни, когдая = 1угС, г. е, в случае равных корнен зьа' Сир Сии' 430 у Уи так 'как еля ь г У уууиС Уа (ус. (уи) а-).ув г-1-1уувС (а+!в)' ' яя для вычисления ис (у) формулу вычета в кратном полюсе (14-14), го, применяя елуча'и в + Ое ! гу ес (У) 2гг ) (' и Уи)ел 6 =- — — !У (ув) '( +у )з~ = !г гу (уга) С -'СО го= — и = Уа — (ег'РУ) =Уа)е о'.
г( Ви) ууо = — а В имер !5-2. Найти ток г, в ветви с сопротнвлениеьг г, после включения ру. ла,гьиика (ряс 5 4) Вряме '"л"дагго ег - — !Оо (314!+И') В, еа=200еин В, гг=-!О Ом. С=ЗОВ мГ1 20 Он, С=100 мггф, га=ЗО Оч. гр= ;,,() и,,еуг) гг(у) Е Рис 16-5. Рис !5-4 Рис 15-6 Решен не Рассчитываем регкиьг до коммутации (рнс 15-6). г,ер — — егер -— — 1,01 мп (3!4( — !2'20') йч иге„(У) = 10,1 мп (314( — 12=20') В. Задачу решим методом приведения к нулевым начальным условиям Для етого найдем напряжсаие на зажимах рубильника ир„а (У) = игаар (У) — еа (У) = 10,! мп (314! — 12'20') — 200е " В.
г!асготвый спекгр аапряжения па зажимах рубильника — уи-(-!435 200 б (уи)=2 !6 314з-1-(ув)е 5+!и ' Рассчитаем переходный процесс в схеме рис !5.6 для этого найдем сначала ан«ую комплексную проводимость первой и третьей ветвей для любой частоты Еа уог(О,Зги+20) бгВг+Згба+ЛаЛг 12(уев+105,В) (у!о+2362) ' Частотный спектр тока г, (у) в схеме рис !5-6 У;(У )=У„У ) Уюа(У )= !го (О Зуог-1-20) (2, !б ( — ув+ !435) (5-Ь!и) — 200 [(ув)а+314зЦ (5+!и) (3!4 — ) (3!4-(-ег) 02 (уи )-105,3) (ув ! 236,2) а!гикал тока г, (Г) на основании теоремы разлогкения (15-19) раасн ~7(У)=0,!942 мп (3!4!+3!') г 0,066!с гг+ ! 665,— ге,ег О,вуе г'вг А, Пользуясь ыетоловв наложении, ннхолнв ток переходного пронееев с сопротнпленнен г;.
'"' ' ветвь И (1) =- — вп, (1) + ю,' (!) = — 088 в1п (3141 — 2!'02) '.. +0066!в в +1686г-ве,в' 687в мво А Примеры показывают, что расчеты переходных процесс раторным методом и методом интеграла Фурье весьма по„ ов оп друг па друга. Преимущества метода интеграла Фурье сказы при расчете переходных процессов приблпженнымн способами аютсн (5-3. Приближенный метод определения оригинала по вещественноЙ частотнОН характеристике (метод трапецн- Для любой линейной электрической цепи по законам Кпрхг ), можно составить сне~ему интегро-дифференциальных уравнений описывающих процессы в этои цепи. То же самое Нож~о одел для любой динамической системы; элекгромагцптной, механично»он или электромеханической. В электрических цепях и динамических ) в»в) () и .
)й-а. Рис. 18-7 светел!ах любую величину можно рассматривать как входную и считать ее изменение во премснп заданным. Любую другую величину можно рассматривать как выходную и определять ее изменение. Переходя в уравнениях, характеризующих эти системы, от оригиналов к изображениям, можно искл!очить изображения всех остальных величии, кроме входной Х, (р) и выходной Х, (р). Кв» уже было указано выше, отношение переменных состояния цепи пр~~ нулевых начальных значениях называется передаточной фунхш1е! электрической цепи или системы К (р) = — '--'-'-'-'.
() 5-20) 7(в (р) Наприлиер, легко найти передаточную функцию четырехпол!кс ника, приведенного на рпс. 15-7: (г, (р) — — =-К(р) =- и,(р)= 1-; Ср Пусть входная величина х, (!) задана в ниде единичного скал» х, (!) = — 1 (() (рис. ) 5-8). Тогда р, — "-'""'".,Тук~"(Гу-'='-"Т(т)т" '""'"'"" Т) „„, образом, изображением производной от временной харак„„ки системы является передаточная функция последней. , „я в правой части (!5-23) р = (о, получаем, что й' (Г) связана ~!' ((„) формулон обратного преобразования Фурье (15-10); с ( 1-га й' (1) =--;; 1 К(1ы) ег"' (, 1 г (15-24) игииг' , и щ годной величин1ч (иаяываел1ый, гак было Указано ОР меинбй функцией или временной характеристикой) алаи „„, для этого случая через й (1): вре' о базна ч им (') — 'х ( (15-22) залучаем; ь' ((), (15-25) К ((зг) = К (га)е '1"1 — частотная характеристика нли спекРзльиая функция системы; К (ы) — амплитудно-частотная и 6 (го)— фззочзстотная характеристики системы.
Разлагая ег!"' М >1 по формуле Эйлера, получаем: -Ь го 1й(1) =- — ~ К (ьг) соз [ы(+и (вг))г(аз+, ~ К (ы) зи1 [ы(+ З (м)( г(ги Модуль частотной характерисгикп системы или ее амплитудночзстотизя,зрактсристика К (ы) — всегда четная функция, а фазочзстотная характеристика 6 (ы) — всегда нечетная функция частогм и. Так, для цепи рис. 15-? 1 1 К (1гг) = — = г.-г агсгз гсгг Откуда ! К (ы) = . = —. б (гз) = — агс!и г Сго. У 1+.-СЗ Локажем это для более общего случая, когда К (р) представляет собой частное от деления двух многочленов.
Полагая р = !зз, 1~ждаемся, что вещественные части числителя и знаменателя будут " Ржать только чезные, а мнимые — только нсчезпые сзепени зз. Поэтом сУммы 1, тому К (гв), равная чгзстнолгу от деления квадрагных корней из ченателя, квадратов гсщественныл и мнимых частей числителя и зла- та„ате"'ч будет четной функцией ы, . О (и), равная разности аркнсов от огношсций мнимой к вещественной части числителя "твсгспзснио знаменателя, будет нечетной функцией частоты аг. основании сказанного заклгочаем, что подынтегральная нвт в'"'"Рого интеграла — нечегиая а так как ппеделы этого Ункц1щ раи" Разинь! по величине и противоположны по знаку, то этот (13-26) Обозначим К (а) соз 0 (ь) .= В (ь); К (е>) зш 0 (а) ==. М (ь), следовательно, К (1'ь) = В (а) + уМ (ь), где В (а) — вещественная, а М (ь) — мнимая частотные характе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
