Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 82
Текст из файла (страница 82)
'Я(ТР", в виде суммы вычетов выражения т Е !Тро(т+РЕ.)~ Ер~ Т!(-)-РС)~)=О+ р..= о т ! +е л ') (14-99) .. !ттл(.+р'", . Е енный ток найдем согласно (14-88): Прин) -„'и — т1 гг'+Ь ( — 1+е ~ ~ — Ье ' ~пр — 'г~ (,1 — е ) (14-94) званная выше проверка выполняется, так как указа à — г 1„(0) = 1„(Т) =- У + ( ) .
(14-95) йналогично находится изображение при периодическом знакопереме ремениоы прямоугольном напряжении и (Г) (рис. 14-18): и и 1 — е не (l(р)=- (1 — 2е ягм+2е-ет ) (1495) так как бесконечный ряд в скобках, как легко проверить, представляется делением двучленов числителя и знаменателя правой части. Рис 14.19. Рис 14-18 8 самом деле, постоянное напряжение + у, включенное в момент 1= 0, действует бесконечно долго. Изменение знака напряжения з момент Г =- Т(2 реализуется включением в этот момент постоянного иапйяжения — 2У, действующего также бесконечно долго.
Далее а момент 1 =- Т включается напряжение + 2У и т. д, что и учтено Формулой (14-95). Подобным же образом можно найти изображение напряжения "иде тре1 гольной кривой (рис. 14-19). Рисунок 14-!9 показывает, что т треугольная функция и (() = 1 (г) получается наложением и пер"однческнм повторением трех прямых 1, (Г) = 2Ы)Т, т (Г 9-) и тз= — (1 — Т), рассматриваемых с моментов на- а их действия до 1.== со, Ражеи рименив теорему запаздывания (14-85), найдем лапласово изобеиие первого треугольника функции и (1): зи 4и г,„йи — - МФ вЂ” — -"' -~ — ' .— — 64-Н вЂ”вЂ” тр' тр тр 423 Разумеется тот же результат получится непос)гедствеппым лением интеграла прямого преобразования Лапласа на яреме,„, Вмч~ от О до Т: тг т (гг (р) = ! 2--Ге-Р'г(т'+ ! ~2У вЂ” — 1~енмг(Г.
д тг Глава пятнадцатая ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 15-1. Преобразование Фурье и его основные свойства В 2 12-2 было дано разложение периодической функции с пери . дом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле, в ряд Фурье: ~ (Г) =А,+ '~", (А„соя агаг+Ва„21пагаГ), (1З-1) где + Т/2 А.=-т- — тм тм 2 А, = —, ~ 1' (т) сов аг„т г(т; — тгг +т тг 2 Ва =т 1 г'(т) 2!пил™ вЂ” угг ага г — ма=(й+ 1) 2л)Т вЂ” )г 2ЯТ=2п!7=биг, получаем: -',- Т/2 -~- тг2 ОЭ ! (Т) = т ~ г (') "'+ г~~ — Т,г г-1 — Г (т) (соз егаГ созы„т+ 2 Т вЂ” тгг + зш аг„г з (п аг„т) г(т = ла Т~г 1 Лег 1( Т (т) соь(ага И вЂ” т)Т г(т.
угг — тм и Гая = и2и(Т принимает дискретные значения: аг, =- 1 2л(Т; агг = 2 2ЫТ и т. д. Подставляя значения А„, Аа и В„,„в (15-1) и обозначая инте)ь вал между соседними частотами ( ! — т) ( ~ 1, поэтому 3десь ~ соз" 1 т,г т7,2 ((т) сов ыл(! — т) 7(т -= ~ ! (т)! 7(т.
7'7 ) — Т)'2 устремляя ляя Т к бесконечности, заключаем, что если фУнкциЯ „о интегрирусма в бесконечных пределах (т. е. если итеграл ~ )гс (т),' 7(т ь то конечное значение имеет также конечен нн -,'- со пр любых интеграл условии 177 1 т. е. приближенно оо -1-со ~, бн ~ ) (т) соз го, (! — т) (т ! (15-2) 425 Но так как Лго = 2игТ- О при Т- оо, сумма в правой части (15-2) переходит в интеграл, а приближенное равенство (15-2)— в точное (прн этом Лы заменяется иа 7(го, а дискретные значения час- тоты гоэ — на непрерывно изменяющуюся частоту ы)1 со -)-со ~(!)= ~ Йа ~ ) (т) созо7(! — т) 71т.
(15-3) о — со Поскольку Т вЂ” ~ оо, то функция !" ((), заданная на промеж)тке — оо =- ! = -~ оо, является уже непериодической функцией. По- этому можно утверждать, что формула (!5-3) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непре- Рывно изменяющимися частотами гэ и бесконечно малыми амплиту- дами. В самом деле, выражение + со ! сгсэ ~ )'(т) сов 27(! — т) 7(т представляет собой бесконечно малую по амплитуде гармонику часто ы Конечно, эта бесконечно малая гармоника частоты го затем может б:)гь найдена только по заданной функции Г (!).
Суммируя "Ри яз, гармонические составляющие (внешний интеграл по со) ао га Рн нз'1енс*;шя ы ос О до оо (т. е. учп) 721вая все бесконечное множес1- гармоиик с непрерывно изменяющимися часготаын ы),получаем нн; фи цп!7(О) и иь1мц словами, непериодическая функция харзктеризуется ие- „Р Рывныы спектпом часгот, в то время как периодическая функ- ция = ДИСКРЕгнЫМ, Формула (15-3) называегся и н т е г р а л о и Ф у р ь нометрической форме. Отметим, что абсолютная инте ур ье вт „ нтегрир уемо функции !". (1) в бесконечных пределах является для вывода фо (15-3) достаточным условием, но не необходимым. да рм, Ввиду четности сот ы (! — т) относительно га формулу (!5.3! репишем еще в виде ) вь -1-оо +со 1 )(1)=--- ~ Йо ~ !(т)созга(г' — т)сй.
(!5 — ОЭ СО (!54) Подчеркнем, что прн решении электротехнических з адач га . моники с отрицательными частотами физического смысла мысла не яме~ (см. также гл. 12). Однако введение их позволяет представ цню Г" (1) вместо формулы (15-3) более симметричной формулой (15.4) Далее в силу нечезности функции з)п м (г — т) относительно аналогично (15-4) найдем, что — осительио щ —,'со Ч ос 1 О = й — ~ пы ~ ! (.г) зш ы (1 — т) (1,).8) Умножая (15-5) на 1' и складывая с (15-4), получаем интеграл Фурье в комплекснойформе, козорый часто значительно удобнее зля расчетов: -~-со +со ! ) (1) =- — ~ йо ~ ( (т) е~ " с> Нт.
еслн функция г (() задана на промежутке от 0 до оо, а на проне. жутке от — ОО до 0 равна нулю, то соответственно +ОС ОО 1(1)=~„- 1 г( 1)() о (1 — )д~; ! — о +СО СО 1 )(1)=;. ~ ~О ( ~~-"1(~)(' (15-8) — 'СО О Внутренний интеграл с заменой т на 1 (значение определенног~ интеграла не зависит от того, как обозначена переменная интегриРо вания) может быть переписан так: Р (11 о) = ~ е ~"'у (Е) пг'=Е(оз) еаза'"'>. (15-8! о (! 5-7) 425 Комплексная ф)пкцня часго~ы Р ()га) дает закон измене"' комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты м и н зывается ч а с т о т н ы м с и е к т р о м (спектральной гглогност" ' спектралыюй, частотной пли амплитуднафазово"..характеристик~а 'зйданнои функции !" (1).
(Само соотношение (15-9) называется п Р преобразованием Фурье н обозначается еще !н 1,„том (15-9) перепишем (15-8) так: С учето ) о~ 7 (() =- - - ~ Е ()ы) еик ась ! (15-10) Поэтому установленные в гл. 14 свойства преобразования Лапласа справедливы и для преобразования Фурье. Выше было показано, что операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа, применим для расчета переходных пронессов Поэтому н частотный метод, основанный на преобразованиях Фурье, может быль как частный случай операторного метода применен для тех же целей. !5-2.
Законы Ома и Кирхгофа и эквивалентные схемы для частотных спектров рассмотрим цепь г, 7, С (рис. 14-1), которая была подключена "источнику э. д. с. е, (() и в момент ( = 0 переключается к источнику э. д. с. е И. Найдем согласно (15-9) частотный спектр э. д. с. е ((): Е(!ы)=~ е лме(() Й=Е (р) о (15-! 2) Услов В~к~и Ома для частотных спектров при ненулевых начальных виях получим из (14-17) при р =- )ы: е Ое)У ь( (о) — и . (0)йм г+(еЬ+ !ЛеС - - -(Б-48)- им образом, функция Е (!нл) по модулю и фазе характеризует нику частоты га, а выражение — Е()ы) егыс(га представляет гармон 2л и гармонику с частотой а функции 7' (().
Эта гармоника выраяеиа '~ а в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и и,,вается элементарной. Соотношение (15-10) называется о б р а т„,„, преобразованием Фурье иобозначаетсяГ '(Р(!сэ)), Сравнивая формулы прямого и обратного преобразований ((апласа (!4-1) и (14-2) с формулами прямого (!5-9) и обратного (!5.!О) преобразований Фурье (см, также приложение 3), заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при р = — !ы и применимо для более узкого класса функций )" ((), что и было отмечено выше. Следовательно, частотный спектр Р ((ы) функции ) (() получается из ее лапласова изображения Е (р) по формуле Е(!') =Е(р) —, .
(15-11) елЬ П л 2» ()аз) 1л ()ьз) = — ~ ~Е» ()ьз) + Ел!л (О) — — — ). (1 з (, "сл (о)1 15-17) л=! л=! 428 Знаменатель этого выражения 1 г(, )=г(р),„=.+1 Е+ — с Р хм 1!ОС' представляет собой комплексное сопротивление цепи г, Е С и нявшееся ранее для расчета установившихся (гармонических) и ' прил!е. цессов. Как показывает (15-13), оно находит применение и счета переходных процессов, когда токи и напряжения мог) дча ра. няться во времени не гармонически, а по самым различным зак „ изме. Б самом деле, при помощи Е ()ы) по формуле (15-13) най частотный спектр тока У ()ьо).
А далее по формуле, аналогичи й найдел (15-10), и ток переходного процесса ичиой +аз ()=,— „~ ~( ) "'~. ! (15-14) Как следует из более подробных исследований, если э. д с и токи ограничены, но не удовлетворяют условию абсолютной ии. тегрируемости в бесконечных пределах, то нри вычислении интеграла (15-14) полюсы подыа. Г тегральной функции при интегрировании по Ф ),,) вещественной оси нужно обходить снизу, т(! л!) Из (15-14) за клзочаем, что ток также может быть представлен в виде суллмы элементарных гармоник с частотами, непрерывно нзлзеняю.
л!(а) щнмися от — со до + оо, а величина ! ! — — е!"Ч ()ьз) !(ха представляет собой элемен- 1'лл!С ! 2л тарную гармонику с частотой ьз функции ! (1). аль Аналогично изложенному в 4 14-3 и яа основании соотношения (15-13) можег быть Рис 15-1. составлена эквивалентная комплексная (Дза частотных спектров) схема (рис. !5-1) Па этому при расчете переходных процессов частотным методом можне сначала составить эквивалентную комплексную схему и по аей прямо находить частотные спектры токов и напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
