Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 79
Текст из файла (страница 79)
с'„ в" 11122 сасз ав) Р Рис. 14-13. Для этого сначала вычислим значения свободного тока в иидуктивпости 1„, (О +) и свободного напряжения на емкости ис„(0 +) в момент 1 = О. Это легко сделать по формулам (!3-бб). Составим да. лее уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для свободных токов, считая их положительные направления такими же, как и у переходных токов 1„12. 1111св 11св+ 11св+1зсв О1 11 1св+ Т 11 212св 1 г — г21„.+гз1,„,+, ~ 1;„с!1+ ис..(0+)=-О.
а Перейдем в этих уравнениях от оригиналов к изображениям~ опуская у изображений обозначение их аргумента йс ~1св+ ~2св+ ~зсв О1 г11„,+ Цру„, — 1„. (О+)! — гзт'„,=О; Узвссв1О) 12~2св+1в~всв+ ~ + 406 „операторные сопротивления ветвей, перепишем сокраи водя полученные алгебраические уравнения: шенно п ° ун,+ 72;„+ (м,=-о; Лг(ы.— гз! ~~:=-У(ыв(0+) — -Емв' иг (О+ ) — г,7„,+г,(а„= Р (14-32) ! Г пссв = 'С ~ ~зсв ~(( причем постоянная интегрирования принята равной нулю,так как постоянной составляющей в составе свободного напряжения быть ие может.
Зная ис„„, легко найти напряжение на конденсаторе ис в переходном процессе. Разумеется, на основании уравнений (!4-32) можно составить эквивалентную операторную схему (рис. 14-13, б) и для определения изображений свободных токов применить любой из мезодов расчета элекгрических цепей при установившихся режимах. Рассмотренный метод проще, чем непосредственный расчет токов переходного процесса по теореме разложения в тех случаях, когда ввешнве э.
д. с. имеют простые формы, например синусоидальную или постоянную, т. е. когда легко вычислить принужденные токи. В тех случаях, когда заданы э. д. с. относительно сложной формы вли когда э. д. с. представлены в виде кусочно-аналитических функций, этот мезод теряет свои преимущества и рациональнее пользоваться формулами дюамеля. 14-7. Формулы включения При включении источника экспоненциального, постоянного или "армонического напряжения к пассивному двухполюснику с вход"им операторным сопротивлением Л (р) можно на основании теоремы разложения (14-!О) и с учетом для гармонического напряжения формул (14-24), (14-24а) и (!4-24б) получить простые расчетные формуы называемые формулами включения, Для случая экспоненциального напряжения (/е", изображение Рог" (' (Р) = СЧР— а) (см.
приложение 2) получим, применяя (!4.19): о" Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях ц(Р! ы 7(р) —: — Р='' ' ' ." (44е33) г (Р) (Р - 1 г (Р)' 407 шя которые, легко найти изображения всех трех свободных решая токов. в, Затем по теоРеме РазложенпЯ найдем их оРигиналы, т. е. сво б тиые токи, а следовательно, и токи переходного процесса (;вободное напряжение на конденсаторе по свободному току ;ио найти, например, интегрированием Определяя оригинал (14-33) по теореме разложения (14.1 получим формулу включения для экспоненциального напрях я жених. л л! ((лы чт ()е " '(~) =~-' (1(Р)) = — +,~,.
— —, (14.3 2(о) х~~ (Ри — е) Х' (Лл) ' 4) л ! предполагая, что Л (и) = О имеет и простых корней, и учитывая,, 7 (Р„) = О. Здесь 2 (ст) = Е (Р) при Р =- а и Л' (р~) = д7ЯР и „, Р =-Ры Первое слагаемое (14-34) представляет собой принужденный ток а сумма всех остальных слагаемых — свободный ток.
Формулу включения для постоянного напряжения У получаем из (14-34), полагая сс =. О. (14-33) При включении гармонического напряжения и = 1т((( еды+а~) = !т(() е("'), полагая в (14-34) и =- )ьт и заменяя (( комплексноя амплитудой ОС =- (л Ф', получаем из (14-34) ток ( (() как мнимую часть комплексного оригинала: Ьт лм~ л лл~ х=-1 т. е, формулу включения для гармонического напряжения. 14-8.
Расчет переходных процессов методом переменных состояния Метод переменных состояния (называемый иначе методом пространства состояний) основывается на двух уравнениях, запнсьь ваемых в матричной форме. Структура первого уравнения определяется тем, что оно связы' вает матрицу первых производных по времени переменных саста» ния х(" с матрицами самих переменных состояния х и внешних воз действий и, в качестве которых рассматриваются э. д.
с. и токи ис' точников. Второе уравнение по своей структуре является алгебраическим и связывает матрицу выходных величин у с матрицами переменных состояния х н внешних воздействий и. Определяя переменные состояния, отметим следующие их свой ства: 1, В качестве переменных состояния в электрических непа следУет выбиРать токи (г в индУктивпостЯх и напРЯжениЯ ис на емкостях, причем нс во всех пндуктивиостях и не па всех емкости .' стях и тозько дтя ~( зависимых г с таких, которые опредсл порядок системы дифференциальных уравнений цепи.
.~.,~ еренцнальные уравнения цепи относительно переменс Дифф ~~па записываются в канонической форме, т. е. представим ешеннымп относительно первых производных переменных гх состоян~ л яния по времени. состои и что только пРи выбоРе в качестве пеРеменных состоЯОтмет™ в ~ в независимых индуктивпостях и напряжений ис на "ия „„мых емкостях первое уравнение метода переменных состоя- име|ь указанную выше структуру, В ли в качестве переменных состояния выбрать токи 1с в ветвях тами или токи 1„в ветвях с сопротивлениями, а также напряс емкост женин виях, то первое уравнение метода переменных состояния также меж но представить в канонической форме, т. е. решенным относительн но первых производных по времени этих величин.
Однако струк- , а их правых частей не будет соответствовать данному выше опре„ению, так как в них будет еще входить матрица первых произдпых от внешних воздействий а ~П г Б 3. Число переменных состоя- — ' 6, ис с'„. яия равно порядку системы диф- с ~(г) ференциальных уравнений ис- еЯ сг1 г следуемой электрической цепи, 4. Выбор в качестве переменных состояния токов 1г и напряжений ис удобен еще и потому, Рис. !4Л4.
что именно эти величины согласно законам коммутации 8 13-1) в момент коммутации не изменяются скачком, т. е. одинаковы для моментов времени 1= 0 + и 1= Π—. 5. Г!еременные состояния 1г и ис потому так и называются, что в каждый момент времени задают энергетическое состояние электрической цепи, так как последнее определяется суммой выражений ьч12 и Сис/'2. 6. Представление уравнений в канонической форме очень удобно зри их решении на аналоговых вычислительных машинах и для "Рограммирования при их решении на цифровых вычислительных машинах. Поэтому такое представление имеет очень важное значе""е при решении этих уравнений с помощью средств современной "ычислительной техники. аия Г)окажем на примере цепи рис. 14-14, как составляются уравне- "н по методу переменных состояния.
ветств Сначала получим систему дифференциальных уравнений, соотпем сгвующую первому матричному уравнению метода, а затем запилля л и ее в матричной форме. Алгоритм составления этих уравнений Урав Я любой электрической цепи следующий. Сначала записываются 3 ения по законам Кнрхгофа или по методу контурных токов „„~м выбираются переменные состояния и путем дифференцирова— -"-я ~сходных уравнений и исключения других переменных полу- 409 чаются уравнения метода переменных состояния. Этот ал„ очень напоминает применяемый в классическом методе расче а,~~~™ ходпых процессов для получения одного результируюьцего та пе1, ренцнального уравнения относительно одного из переменных В частных случаях, когда в цепи нет емьостных контуров .„ контуров, все ветви которых содержат емкости, и нет узлов п соединенными ветвями, в каждой из которых включены ипд),, с при.
уктив. ности, может быть указан и другой алгоритм. Не останавлива~ . иваясь на нем, отметим лишь, что оц основан на замене емкостей исто,„ оции. яами 3. д. с., инду ктивностей — источиикамн тока и применен метода наложения. Для цепи рис. 14-14 по законам !(ярхгофа — (1) — 7, +, +(с= О, Н, + 7. Й~/Й+ г(,, — е (1); (14-36) ис — г1,=0. Определяя 1, из первого уравнения, подставляя в третье, заменяя !с — — С Лис/г!! и представляя полученное дифференциальное уран. нение в канонической форме относительно Лис/г(6 получаем: Й~с аг С гл ~С ис+ С '(1)' (14-37) Решая второе уравнение (14-36) относительно 7.
Йг!й, заменяя 1, согласно первому уравнению (14-36) и подставляя 1с —— С Й~сМ, получаем: 7 й~(г!1= — 2тг+ гС г(ис7г)!+ е (1) — и' (!). (14-38) Складывая почленно (14-38) с умноженным на гС уравнением (14-37) и определяя из полученного результата ЖгЫА получаем; сиг г 1 ! — — — — 1г — — ив+ - е(1). .=Ш= Г. б (14-39) 11ерепишем уравнения (!4-39) и (14-3?) в матричной форме: О ~1( е(1) ' ! (14-40) 0 .1~1(1) с): или (14-41) хсо = Ах+ Вц, где для рассматриваемой цепи имеем: (14-42а) ( и, ! !е(!)( и ( ,( (14-42 ,у()! )! С 70! ! О1 410 лучае первое уравнение метода переменных состояния „и форнге запишется в виде общем с .
инион н мз "Р )~ х,' хнп ( х1 ~ч, ~ ',х,' ~и, ' =Л ' 3 -3 В( = — Ах+Вп )х, ~ 1и„,,' (14-43) (14 Зб) О ~г +ис!г+О е (Г) + О г (Г), гс.= г (Г) + гг — г, == Π— псlг + О е (Г) +! г (г), (14.44) их=-- — ггг — ис+1 е(Г)+О г(Г), ннн в матричнои форме О ~1иг 1( / — ! нлн сокращенно (14-46) у=Сл+ 0и, где для для рассматриваемой цепи (!4-46) 411 ппы д и В в линейных цепях зависят только от парамезров й!атр пи С, т е являются постоянными величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
