Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 80
Текст из файла (страница 80)
При этом пепи г адратная матрица порядка а и называегся основнои матрпматрица  — в общем случае прямоугольная, размера нен пеню па~ыаается матрицеи связи между входом цепи и перемен „остояния, матрицы х и и — матрицы сголбцы или векгоры ными со пере не рап !) (размера т,. 1) я р1ссма1риваемом примере мзтрица В получилась квадратиои рого порядка, так кпь число переменных состояния (гы и ) анно числу внешних возмущении (е (г), с (Г)) Перейдем к составлению второго уравнения мезода В качестве выходных можно выбрать любые из величин Возьмем, например, н качестве выходных тРи величины О, гс и и, Значения пх заппшугся через переменные состояния (Оь ис) н внешнее возмущения (е (Г), г (1)) непосредственно из уравнений а в общем случае второе уравнение 111ь ! вх, '( у== ~-" ~ =С ~' ' .'(+ Р !д„,~ )х„! метода переменных сост я ояиа ' '= — Сх+Рп.
~ и„,) (14.43) где '1 х" > = , ив' '1 Е =-', ,'0 01, 1е'и (() ~~ 0~ ','!(~п (1)1 «С в=-', г'С с~ в с' „' (14-50) Таким образом, действительно, первое уравнение метода переменных состояния будет в матричной форме иметь вид (14-43) тольао при выборе в качестве переменных состояния тока 1~ и напряжв ния ис. Переходя к решению матричного дифференциального уравиеивв (14-43), прежде всего отметим, что оно особенно упрощается, ес"' квадратная основная матрица А порядка и является диагональной Тогда все и линейных дифференциальных уравнений (14-43) Раза"' заны, т.
е. производные переменных состояния зависят каждая тальк лько от своей переменной состояния. иц Рассмотрим сначала решение линейного неоднородного матр' ного дифференциального уравнения (14-43) операторным методов Для этого преобразуем его по Лапласу: рХ (р) — х (0) = — АХ (р) + В 13 (р), (14-ой Х(р)=-?.(х(Г))., 0 (р)=1.
(п(1)); х(О+)=х(0 — )=х(О), (1' Матрицы С и Р зависят только от параметров пепи О ~, С В щем случае — это прямоугольные матрицы соответственно рази еров й ~ л и й х т, причем С называется матрицей связи перемени нных состояния с выходом цепи, а Р— матрицей непосредственной св„ вязи входа и выхода цепи (или системы).
Для ряда физических систем 0 является нулевой матрицеи „ второй член Рц в (14-48) обращается в нуль, так как нет непосре, ственной связи между входом и выходом системы. Если в качестве переменных состояния взять, например, тох; и напряжение ив и представить дифференциальные уравнения отио. сительно них в канонической форме, то (опуская все промежу. точные преобразования) первое из уравнений метода в матричной форме будет иметь вид; хгп = Ах -1- Вц+ Еп~", (1449) в момент коммутации не изменяются скачком, заданы и х значениям в момент ! = 0 —.
вторые аввы и Перепишем (14-5!): (р — А) Х (р) = (р! — А) Х (р) = х (О) -1- В$) (р), (14-54) где е ! — единичная матрица порядка и. для получения матрицы изображений переменных состояния Х ( ) умножим слева обе части (14-54) на обратную матрицу (р!— — А) ': (р! — А)-'(р! — А) Х (р) =-Х (р) =(р! — А)-'х (О) -1- + (р! — А)-' В!1 (р), (1,! 55) Переходя обратно к оригиналам при помощи обратного преобразования Лапласа, получаем: (Х (Р) ) = х (г) =- 1- ' ((р ! — А)-") х (0) (- + 1= ' ((р! — А) ' В !) (р) ).
(14-56) Из операторного метода известно, что 1.-' ~ — (=1-' ((р — а)-') — — 1.-' ((р 1 — а) ') =.Ез'. (14-57) По аналогии, записывая обратное преобразование Лапласа в матричной форме, будем иметь: 1.-т ((р! — А) т) — — ел' (14-58) где ем — переходная матрица состояния системы, называемая иначе Фундаментальной. Таким образом, находим оригинал первого слагаемого правой части (14-56) -т) х (0) =е~~х (0).
(14-59) Обратная матрица определяется делением присоединенной или взаи винной ма~рицы на определитель основной матрицы: М~ (р! А) (14-60) дм (р! — А) ' где де уравнение с1е( (р1 — А) =- 0 (14-61) предст а.г -Р- р-. ° зиам- н лз. Г х (0) — матРица-столбец начальных значений пеРеменных пчем х яиия т е. состояи хт (0) . (14. 55) . (0),.! Оригинал второго слагаемого правой части при помощи теоремы свертки в матричной форме Ь- ' ( Г, (р) Го (р)) = ~ 1, (! — т) 1, (т) о (14.56) наход одитс„ о(т, (14-62) если положить Г,(р)=(р! — А)- В=Е(1,(!))=Е,е В) (14-66) (!4-64) (14-бб) Г, (р) = и (р) = т (1, (!), = т ( (!) ). Тогда на основании (14-62) — (14-64) у Ь ~((р! — А)-'В!! (р)) — — ')е " и Вц (т) с(т (14 бб о и общее решение дифференциального неоднородного матричио„о уравнения (14-43) на основании (! 4-56), (14-59) и (14-65) будет име вид: х (!) = е х 'х (0) + ~ еа о — пВц (т) дт.
о Первое слагаемое правой части (14-66) представляет собой зна. чения переменных состояния или реакцию цепи при нулевом входе, т. е. ц = О. Иначе говоря, оно представляет первую составляющую свободных процессов в цепи х,„(!)('„о, обусловленную ненулевима начальными значениями переменных состоякия цепи, и позтому является решением уравнения хп~ = Ах. Второе слагаемое пред. ставляет собой составляющую реакции цепи при х (0) = О, т.
е, при нулевом состоянии цепи. Нулевым состоянием цепи назовем такое ее состояние, когда начальные значения всех переменных состояния равны нулю. Иначе говоря, второе слагаемое (14-66) представляет собой сумму прп пра. нужденной реакции цепи х„р (!), возникаюшей под влиянием вноаь инх воздействий ц (!) и второй составляющей свободных процессоо хса(!)/мо)=о ° Равенство (14-66) означает, что реакция цепи равна сумме реах ций при нулевом входе и нулевом состоянии.
На основании (14-48) и (14-66) для выходных величии имое" у (!) = Сеюх (0) + С )) ех и - и Вц (т) пт+ 0ц (!). (14 б~) о Если состояние цепи задано не в момент ! = О, а в момент =. т ~ 1, то равенства (14-66) и (14-67) обобщаются: х(!). ехи-'>х(т)+~ели- пВц(т)е(т; (14- -бб) у(!) Сели.,)„(т) 1 С гехи,)Вц(т),(т ! !1цс!) (14. .бб) !4.3, Для разветвленной цепи второго порядка составлены уравне. Пример стояни" яая сос хг =..х — 2х.- е г; х' =-3х — 4х — 2г Г () ° г () н левы' „. начальных условиях х, (О) =- 1, хз (0) = 2 и при единственном „ри не > а ней источнике э д с ш ися анею е (() = з(п ! = и (!). Найти и н переменные состояния хг (!) и хе (!).
реже н не, Перепишем >равнения сосгояння в матричной форме ((хй ' (( 3 — 4 ((, х, ! (( — 2!( где А=,' !!; (О) = , '!(; В=; Найдем сначала первые свободные составляющие переменных состояния при аулево и входе Для этого составим матрицу !! О ! ! — 2", (!р — 1 2 ,'10 1! ! 3 — 4(, ", — 3 р(4!,' Для нахождения присоединенной нли взаимной матрицы заменим в предыдумев матрице каждый элемент его алгебраическим дополнением Получим матрицу ~(р+4 4 3 (! — 2 р — 1((' Транспонируем ее, найдя присоезиненную или взаимную матрицу: Найдем определитель матрицы (р! — А).
р — 1 2 бе! (р( — А)=! ! =рз-(.3р-(-2=(р-1-1) (р-(-2). — 3 р+4 На осьовании (14-6О) обрагная матрица будет равна: (р! — А) г= (р+1)(р+2) (р+1)(р 1-2) 3 р — 1 (р+1) (р+ 2) (р+1) (р+2) еаг г г г, (! ((Р+1) (Р+2)! (,Р-';-1) (Р+2)( . ,(р( — А)-г) =, 3,, ! (р-!) 1 г 2 ( .1-1) (р+2)~, ' (р+ )(р, )1 (р Например, р+4 !(р т- !) (р с ОР 415 По в эюго н двергнем ее обратному преобразованию Лапласа с учетом того, что для умно подвергнуть обратном> преобразованию Лапласа каждый ее элемент, а осчоа оаангнг (14-гЗ) получим переходную матрицу состояния цепи Для переходноб матрицы состояния системы получим.
!', Зе"' — 2» М вЂ” 2е ч+2е и ,' !! — — --" —— ' Зе т — Зе М вЂ” 2е ' 1-Зе тт (!1 19) ДлЯ пеРвых свобоДных составлЯющих пеРеменных'состоЯнии буд удем нмет еть !' хпа (() !! а» ) Зе '-2» а~ — 2» '+2е-т» (~ — е '-1-2е т' ') — +Зе з» !! кт (!) ! -а= — е е+2е ен хт», Я '„е =- — е '+ 3» ". Далее на основании (14-66) найдем сУммУ пРинУзкденных и втоРых свобода„ составляющих переменных состояния: о-т и '!~ Зе " т' — 2е -"» т' — 2» н т'-1-2е ™ т~ е и т Вп (т)»(т= ( .~)' Зе-и-т~ Зе — т~» т> — 2е и т~-ьзе-тн»о (! о »1, 7е-м-т~ 6»-т т.т. ; — 2~, '!(7е лт' — 9е™~ о' 7е ')ее митбт — бе т'')егтз(птбт~ 7 -» 6 — ! 1! 23 о д ! ,'1 7 9 и 1 17 7е» '1 ет з(птах — 9» е»)етт з(п тот! 1 2 е о и) ма ( Нб с»ч1, о о Суммируя полученные результаты, находнл1 искомые значения перемеиамх состояния: 6 ,, 11 23 хт (()= — »+2е т»+ — е» вЂ” е-а» 1 з(п ( — — — соз(= 2 5 10 1О 23 5 4 10 1О 2 о яп ( — - сот(+ — е »-)- — „» м! 7, 9» 1 !7 хт(б= — е т+3» "+ е' — — » т' — — Мп ! — — соз(= 2 5 !О 10 17 5, 6 — — Мп ( — — созе-ь — е»-р -„— е т» 10 10 ' 2 ' о Так как решение уравнения (14-46) было получено выше н да"о формулой (14-6о), то для проверки правильности решения (146 н вычисления с его помощью матрицы переменных состояния х можно сначала непосредственной подстановкой (14-66) в (1 '„„ убедиться, что последнее при атом обращается в тождеств~ этого нужно только сначала вычислить х"! ((), диффере"""ру (14-66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
