Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е. сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (г = 0 — ) равна см умлгс их зарядов непосредственно после коммупгоции (г .= 0 +)— закон сохранения заряда. Этот же результат получается и из (13-! 27), 379 откуда з ~ч~ ~с,ис, (Π— ) ис (О+) = з ~с, (13-133) При этом все три конденсатора заменяются одним с емкостью С = С, + С, + С; и напряжение ис на нем после коммутации определяется дифференциальным уравнением ""с гС вЂ”,+ис=(/, (13-134) решение которого известно: ис = (/+ Ае — '/', где т=гС.
(13-135) На основании сказанного выше ис (О +) = (/+ А н А = и,(О+) (/. Тогда из (13-!35) получаем ис = (/+ [ис (О+) — (/) е-'/' (13-136) и ток г/ — ис г/ — ас (о+) с с т г (13-137) Легко показать, что энергия, запасенная в конденсаторах до коммутации, з Ю'(Π— )=,У, С,ис (Π— )/2 (И 138) ю — -1 больше энергии электрического поля эквивалентного конденсатора С после коммутации В'(О+)=Сис (О+)/2, (13-139) а избыток ее Л(Р =-Ог(Π— ) — )Т (О+) (13-140) переидег в 1епло в сопрогивлениях контактов рубильника, сопро' тивлениях проводов и в энергию излучения сложного колебатель' если учесть, что после коммутации (1 = 0 +) напряжения иа вс „ параллельно включенных конденсаторах равны: ис, (О+) = исг (О+) = исз (О+) = ис (О+).
(13-131) На основании (13-128) и (13-131) получаем: С1ис1 (Π— )+ Сзисэ (Π— ) + Сзисз (Π— ) = (Ст+ С, + Сз) ис (О+), (1З 132) нтура, который получится, если учесть, что соединительные ного ко о а всегда имеют индуктивность, хотя и очень малую. ,1ровода Подчеркнем, что при наличии сопротивлений во всех трех вет- конденсаторами напряжения на них в момент коммутации вях с ч м не изменяются, токи в них остаются конечными, т. е, выполскачком няется Р улиро, диого проц режима прн воздействии периодических импульсов напряжения нлн тока для определения переходных процессов и установившихся ре- ,имов в линейных цепях при воздействии периодических импульсов напряжения или тока известно много методов. Некоторые из них основаны на суммировании токов или напряжений, созданных отдельными импульсами.
В других методах для этой цели вводится Ркс. 13-44. Ркс. 13-45. периодическая импульсная реакция цепи. Третьи методы для той же цели вводят другую специальную характеристику цепи; так называемую эшелонную функцию, Рассмотрим метод, основанный на непосредственном суммировании токов или напряжений, созданных отдельными импульсами, Реализуется учетом запаздывания последующих импульсов относительно предыдущих.
Поясним метод на примере расчета тока 1 в простейшей цепи г, (Рис 13-44), которая в момент 1 = О подключается к источнику, соз оздщощему бесконечную последовательность импульсов напряже""" н =- е, представленную на рис. 13-45. Найдем сначала ток в цепи от воздействия первого импульса напряжения и, =- У (1 — И,) при О(1( 1, и и, .= О при в Переходная проводимость цепи находится известными методами: п~с ! (13-141) Применяя интеграл Дюамеля при 0-=-1( то, имеем: и — оас 1=-Уд(У)-1- ~ и, '(т)д(1 — т)а(т= е — 'т'с— Ъ вЂ” — ~ е — и-'»'с о(т= — [ — ТС+ (1, + ТС) е — и ~1. (13.142) и Таа т~а о Для т ) (о получаем: аа и и 1=(уд(1)-(- и1(т)а'(1 — т) а(т= — о и"с (а е и — а»тс,1 т тоа,> о =Ке — и"с, (13-143) где К= — (го+ ТС вЂ” ТСеш'с) ТГа (13-144) ~--л~1 + тг [ ~С+((о+ТС)е 'с 1 (13.145) Суммируя первые и слагаемых, представляющих собой геометра т ческую прогрессию со знаменателем етис, для интервала пТ— ( 1 = пТ + 1, получаем: лтис а — лт1 иг ЕТГас 1 та а 382 Переходя к поставленной задаче, напишем формулу для тока 1 в промежутке времени, когда действует и + 1-й импульс напряжения, т.
е. при пТ ~ 1 ~ и Т + (о. Как было указано выше, ток 1 представим в виде суммы токов, каждый из которых создается одним отдельно взятым импульсом напряжения. Первый импульс напряжения дает составляющую тока, определяемую формулой (13-143). Второй импульс запаздывает по отношению к первому на время Т и ток от него равен Ке-и т» с. Для учета составляющей тока от третьего импульса напряжения нужно в (13-143) вместо 1 подставить 1 — 2Т и т. д. о — о — пт Составляющая тока от п-го импульса равна Ке 'с .
Кроме того, следует учесть действие п+1-го импульса напряжения, который на рассматриваемом промежутке времени еще не закончился. Соз. данную им составляющую тока найдем по формуле (13-142) с учетом запаздывания во времени на пТ, т. е. вместо 1 подставим в (13-142) 1 — пТ. Результирующий ток ~- т а-~л П т 1=Ке 'с+Ке 'с ' .,-1 Ке для (!3-147) будем иметь: тпс — лтпс 1 — К е-гттс оТЭС (13-149) Полагая в (13-148) и (!3-149), что п — нов, находим установившийся ток.
В течение действия импульса т,„, т е «~ с+ 1 — «С+(То+«С) е — гмс1. (13 150) Гоо в течение паузы (! 3-151) Если источйик э, д. с., начиная с момента 1 = О, создает бесконечную последовательность импульсов без пауз, т. е. Гл = Т, то ток н для этого случая получим из формул (13-142), (13-143), (13-144), (13-146) и (13-150), положив в ннх Го == Т. Прн более сложной форме э, д. с. источника иногда целесообразнее рассматривать его как наложение импульсов на некоторое постоянное или какое-либо иное напряжение. Глава четырнадцатая Кд ЕЬТ'.$ Э'"ся1 ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ) 14-1 Применение преобразования Лапласа к расчету переходных процессов Классический метод расчета переходных процессов требует !рави ' 'ощем случае многократного решения систем алгебраических иым р внений для определения постоянных интегрирования по началь"Роизв ' у л-ням и для нахождения начальных значений функции н ее р изводных, что и представляет собой основную трудность расчета этим методом 71 лес запишем ток в промежутке времени, соответствующем 1.и паузе, т.
е. при пТ+ г', =.1( (и + 1) 7': а+ — мептлс =7('е 'с +Ке 'с +... -(-Ке 'с =71 '— ':е .с (13-147) для определения тока установившегося режима преобразуем 3146) и (13-147), вводя замену 1 =-- пТ + 1', где Т вЂ” время, от„я ваемое от начала действия и + 1-го импульса напряжения. для (13-146) получим: л«ПС ! "Т ГТ 1 — К ', е тс + ( — «С+ (То+ «С) е смс1. (13-148) «Го Так как дифференциальные уравнения переходных процессо„ в лнненных цепях с сосредоточенными параметрами представля собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то и можно интегрировать также операторным методом, основанным „, преобразовании Лапласа. Это было впервые показано русским м тематиком М. Е. Ващенко-Захарченко в его монографии «Символи.
ческое исчисление и приложение его к интегрированию линейны дифференциальных уравнений» (Киев, 1882). В конце Х1Х в. аи. глийский ученый О. Хевисайд независимо пришел к операторному методу и впервые применил его к расчету электромагнитных переход. ных процессов. Однако Хевисайд не приводил математических обоснований метода. Дальнейшему развитию операторного исчисле. ния способствовали своими трудами советские и зарубежные ученые В. С.
Игнатовский, Д. Р. Карсон, Б. Ван-дер-Поль, А. М. Эфрос, А. М. Даниловский, К. А. Круг, А. И. Лурье и др. М. Е. Ващенко-Захарченко показал также, что операторный метод применим не только к обьпсновенным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их системами, но также к линейным уравнениям с переменными козффициен. тами и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных производных, т. е. говоря на языке электротехники, к расчету переходных процессов в цепях с распределенными пара.
метрами. Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданноц однозначной ограниченной функции 1 (г) вещественной переменной (например, времени г), называемой о р и г и н а л о и, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном проме. >кутке времени и равной нулю при г ( О, сопоставляется др)гая функция г (р) комплексного переменного р = з + )го, называемая и з о б р а ж е.н и е м.
Напомним, что условия дирихле заключаются н том, что на любом кове юои промежугке функция 1(т) должна быть или непрерывной, или иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, и, кроме того, должна иметь на этом же промежутке конечное число максимумов и минимумов, Это сопоставление производится по формуле (14.1) г" (р) = ~ е ну (г) й, в которая представляет собой прямое преобразование Лапласа над функцией у (г) и обозначается так: Р (р) =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
