Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 70
Текст из файла (страница 70)
13-27), равна Ли й (1 — т). Здесь аргуменгом переходной про- водимости служиз время (1 — т), поскольку элементарный скачок напряжения Ли начинае~ действовать на время т позднее включения рубильника или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом т начала действия этого скачка и моментом времени 1 равен г' — т. Элементарный скачок напряжения Ли может быть выражен следующим образом (рпс, 13-27): Ли Лт 1йа=-Лт и'(т), Поэтому искомая составляющая тока Ли д (Š— т) = и' (т) Лт й (1 — т).
Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от 1 = 0 до момента г', для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при Лт — ~ 0 и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения и (О), получаем: 1(1) = и (О) ч (() -~- ~ и' (т) д (1 — т) бт. (13-74) о Последняя форм)ла для определения тока при непрерывном нз' менении приложенного напряжения называется формулой или "" ..тегралом Дюамеля Выражение (13-74) называют первой формой за писи формулы Дюамеля. Зб2 Р(з теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций н (з (1) сугцествует соотношение с ~ )1 (1 т) !з (т) ~с = ~ 7г (т) гг (У т) иг (13-75) Ъ й торос легко прове ить заменой переменной интегрирования.
которо !(а основании (13-75) перепишем выражение (13-74) и получим вторую форму зап и формулы Дюамеля; ! (г)=и (0) я (1)+ ~ и' (! — т) 3(т) г(т, д где и' (( — т] — производная функция и (( — т) по ее аргументу у — т илн, что , же самое, ее производная по Г. Интегрируя по частям в правой части равенства (!3.74), получаем; г ~ й (à — т) и' (т) бт = й (О) и (1) — д (Г) и (О) + ~ д' (( — т) и (т) дт, Ь о где д (( — т) — производная функция д (1 — т) по ее аргументу ) — т или, что тох,е самое, ее производная по У Подставляя значение полученного интеграла в правую часть равенства (13.74), получаем третью форму записи формулы Дюамеля; г (1) =3(0) и (1)+)г д' (1 — т) и (т) г(т.
о Применяя формулу (! 3-75) к интегралу правой части последнего выражения, получим четвертую форм> записи формулы Дюамеля: г ((1)=л(0) и(!)+53 (т) и(( — т) Ит. с Далее легко видеть, что выполнением дифференцирования выражение И 1 (Г) = — и (! — т) я (т) Ф г Ж,) в пРиводится к первой нли второй формам Оно представляет собой пятую форму записи формулы дюамеля, Наконец, шестая форма записи формулы д)намели 1(() = — 1 и(т) д(1 — т) йт 3(,1 о выполнением дифференцирования приводится к третьей или четвертой формам. Уу илн иную из полученных первых четырех форм выбирают, руководствуясь Ухобством и простотой выполнения вычислений.
Следует отдать предпочтение той о" яз первых четырех форм записи формулы дюамеля, для которой будет проще па ы одь'нтегральное выражение и которая имеет меныпе слагаемых, что зависит от Условий конкретной задачи. т е КРоме того, если напряжение, воздействующее на цепь, изменяется с нуля, и (0) = О, то первые слагаемые в первой и второй формах записи формулы в кото анеля Равны нулю и их выражения несколько упрощаются. Если в ветви, г) "алерой определяется ток, последний не может изменяться скачком, то л (0) = О.
Ри этом первое слагаемое в третьей и четвертой формах записи формулы Дюамеля '" нулю, поэтому онн также несколько упрощаются. равно ~ "тая а имстая формы представляют собой сокрзщеилую ванна первой ялц Рой н соответственно третьей или четвертой форм. 363 13-16. Включение пассивного двухпопюсиика иа напряжение любой формы В дальнейшем под любой формой напряжения будем понимат~ его изменение, определяемое кусочно-аналитической функцией, т. е функцией, аналитически заданной на каждом конечном интервале и(г) и имеющей в точках стыка интервалов разрывы непрерывности первого рода. Пусть произвольный пассивный юЯ - двухполюспик подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рис, 13-29.
д гг Для вычисления тока определим, как и выше, переходную проводимость д (1). Рис. 13-29. Так как в промежутке 0 ( включаемое напряжение задано функцией и, (1), то, воспользовавшись первой формой записи формулы Дюамеля (13-74), можем написать для этого промежутка времени: 1 (() = и, (О) д (1) + ~ и, '(т) д (( — т) дт. а (13-76) В следующем промежутке У, == 1 == тх напряжение задано другой функцией и, (г), причем в момент т, оно изменяется скачком от величины и, (Уг) до величины и, (г,). Для учета скачка напряжения в точке 1 = 1, будем считать, что в этот момент к двухполюспику прикладывается отрицательное постоянное напряжение, равное из (1,) — 'и, (1,).
Кроме того, учтем составляющие тока от начального скачка напряжения и, (0) и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой ит (1) и действующего от 1 = 0 до 1 = (м Тогда получим: 1 (1) = и, (0) д (1) + ~ и, '(т) гг (1 — т) с(т -(- о + 1иа ((х) — и, (1,Ня (1 — ' 1з)+ ~ и., '(т) д (г' — т) г(т. (13-77) и 364 В этом равенстве в третьем члене аргументом переходной проводимости служит величина 1 — 1„так как напряжение и, (1,) — и, ((г) включается в момент (,. Аргумент 1 — т переходной проводимосп' д в обоих интегралах один и тот же, поскольку он имеет смысл промежутка времени, прошедшего от включения элементарного скачка напряжения Ли до рассматриваемого момента времени 1 (рис. 13-2 ).
-Однако-,-разумеетеяг пределы- изменения г в обоих интегралах различны. Если скачок тока принципиально возможен, то д (0) Ф О. Тогда кпчок напряжения в момент 1 = 1, от величины и, (1,) до величины „, (1,) вызовет, разумеется, и скачок тока (Ас)1 = с, =-"1из (1,) — сс, (1с)) д (0). (13-78) Если скачка тока быть не может, то д (0) = — 0 н по формуле (13.с8) в момент времени 1 = 1, также и (Лс)с = с, — — О, несмотря на на- лнчие в этот момент скачка напряжения. Наконец, для промежутка времени 1, =-1 ( со учтем, что в мо- мент 1.= 1, включается постоянное напряжение — и, (1,) н что эле- ментарные скачки, определяемые кривой напряжения и, (1), дейст- вуют до момента времени 1 = 1,.
Поэтому ; (1) = и, (О) йс (1) + $ и; ( т) д (1 — т) йт+ (и, (1,) — и, (1)) д (1 — 1,) + з + ~ и', (т) д (1 — т) с(т — из (1з) л (1 — 1з). (13-?9) Рациональнее, однако, воспользоваться для решения этой задачи третьей формой записи формулы Дюамеля. Для промежутка времени О ~ 1 ~сг согласно третьей форме записи формулы Дюамеля имеем: 1(1) = д (О) и, (1) + ~ я' (1 — т) и, (т) и'т. Ь Сравнивая последнее равенство с (13-76), заключаем, что для этого промежут- ка времени третья форма записи преимушеств не дает. Для следующего промежутка времени 1, «1=- 1, сначала преобразуем ин- тегрированием по частям входящие в (13-77) интегралы: ~ и, '(т) я (1 — т) от =я (1 — 1г) эг (1г) — я (О и, (О) + ) я' (1 — т) и, (т) с(тс Ь Ь с ) и,' (т) и (1 — т) Лт = д (О) и, (Π— и (1 — 1х) иа (1,) )- ~ д' (1 — т) и,.
(т) от. Ь Подставляя полученные значения интегралов в (13-77), будем иметь после простых преобразований для промежутка 1, ~ 1=-' 1,; с (О = я (О) и, (1) + ) л' (1 — т) и, (т) от+ ) я' (1 — т) и, (т) сст. о Здесь внеинтегральный член и интегралы записаны озгласно третьей форме записи формулы дюалселя. Легко видеть, что расчет тока( (О по последней формуле ~~сколько проще его расчета по формуле (!3-77), так кзк в (13-77) нужно учиты- вать еще одно дополнительное слагаемое (иа (сд) — и, (101 и (1 — 1,).
РазУмеетсЯ, эти выводы будут правильны, если подынтегральные выражения в (13-?7) и в по- следнем вьсраження примерно одинаковой сложности. Аналогично для промежутка 1з ~ 1 = со с, 1(1) = ~ я' (1 — т) и, (т) с(т + ( л' (1 — т) ц, (т) от. о Легко видеть, что расчет тока с' (О по эсой формуле проще, чем по формуле об '73), так.как в последней нужно .)шитывать. три..дояолнительиых слагаемых„... )словленных скачками пРиложенного напРЯженнЯ в моменты 1= О, 1,, сз. 365 Преимущества третьей формы записи формулы Дюамеля тем более ощутимы чем больше разрывов непрерывности первого рода у приложенного напряжс3щ„ ~3а заданном промежутке его действия. Рассмотрим, наконец, переходные процессы прн включении произвольного активного двухполюсника к напряжению любой фОРЯ1Ы. Найдем ток г' в любой ветви активного двухполюсника (в част.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
