Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Это время 1, можно найти, приравнивая нулю производную й!й, Напряжение на нндуктивности изменяется от значения — У„ так как при 1 = 0 и ток, и напряжение на сопротивлении равны "улю и, следовательно, напряжения на емкости и на индуктивности Равны по абсолютному значению. Напряжение на индуктивностн ио абсолютному значению сначала уменьшается, затем проходит "срез нуль в момент, когда ток максимален (что следует из соотношения ит = у.
й/ну), и возрастает до некоторого положительного максимума, после чего уменьшается н стремится к нулю. Пока ток 347 13-11. Предельный случай апериодического разряда конденсатора Предельный случай апериодического разряда конденсатора имеет место, если сопротивление контура г равно критическому г,.р, т. е. корни характеристического уравнения (13-34) вещественные и равные: (13-42) р, = ра = р = — г!2Г.. Общее решение однородного дифференциального уравнения (13-33) дается в этом случае формулой ис..г ис=(Ат+Ат1)ем.
(! 3-43) На основании (!3-32) для свободного тока („ получим: 1„= (= С (А,, +)тАт+ рАД ег'. (13-44) -ПРи начальных УсловиЯх ис (О) = У, и 1(0) = 0 находим по стоянные интегрирования А, = 0„А, = — рС',. Подставляя зна- чениЯ А, и Аз в соотношениЯ (13-43) и (13-44), полУчаем ток и напряжение на емкости: ис = (/о (1 Я а" ' (13-45) СР (Уо(с~ = й (е~ (13-46) Определим также напряжение на индуктивности: Й! ит=-!. ш = — (/а (1+Р() е".
Кривые изменения 1, ис и ис по форме не отличаются (13-47) от приве- 1ЩННЫХ НВ ИС. о-, а И О алгебраически уменьшается (в интервале от нуля до (т), э. д. с. само индукции, поддерживая его, будет по закону Ленца положитель, ной, а напряжение на индуктивности отрицательным. Когда ток начинает алгебраически возрастать, э. д. с. самоиндукции проти водействует ему и будет отрицательной, а напряжение на индуктив ности — йоложительным. Максимум кривой ис и точка перегиба кривой 1 получаюгси в один и тот же момент времени („что следует в свою очередь из равенства ис = ~ и1/А1.
Этот момент времени 1, можно найти, при. равнивая нулю производную г(и„(г(1. Отметим также влияние индуктивности на протекание процесса Из выражений (!3-35) следует, что увеличение индуктивносги (, приводит к уменьшению абсолютных значений р, и р, и, стало быть, к замедлению нарастания тока и спада напряжения на зажимах конденсатора.
Наоборот, при малой индуктивности 1. ток растет быстро и быстро спадает напряжение на зажимах конденсатора. Такой случай фактически получается при разряде конденсатора через резистор (см. з 13-6), 13-12. Периодический (колебательный) разряд конденсатора Разряд будет периодическим или колебательным, если сопро,,ивление контура меньше критического г ( г,р, т.
е. корни харак;еристического уравнения (13-34) комплексные и сопряженные. Обозначим в (13-35) а = г/2~; (13-48) .,/ 1,а 2л о — ~l ЬС 4Е' — Т0 ' (13-49) гак что ) ~я'+ н,'=1/Р'1,С, (13-50) з назовем в, — угловой частотой собственных колебаний контура, з Т, — периодом его собственных колебаний. Для корней р, и ря получим: РЪ 2 ~~ — 1 О' (13-51) Так как переходное напряжение на емкости и ток по-прежнему равны их свободным значениям и начальные условия такие же, как в двух предыдущих случаях, то по формулам (13-52) и (13-53) получим: 1/,=Аз)пХ; О=СА( — яз(пХ+мпсозХ). Из последних соотношений находим: А соз Х= — (/я, 0>0 (д Х=м,/а; А =(/,/а,)/ /.С; е0 Я з(п Х=; соз Х= —,— —.
1' сР+в( 1 а~+в', Подставляя значения А, з(п Х и соз Х в выражения (13-52) и (13-53) и обозначая для краткости 1/с =-(/г = — (/,/ы, Т 1С=(/,/з(п Х; !~ = У~/ап(., получим окончательные выражения; ис= 1/сне ' з(п (ао( —,Х) 1=1 ечмз(п(а,/д и); пе==Жт~ зш1%~г= Ф (13-54) (13-55) 349 Решение дифференциального уравнения (13-33) при комплексных корнях его характеристического уравнения удобно записать з виде ис„=Ае "з(п(мп1+Х). (13-52) 1'огда ток Е„= САе- '1 — и з1п (соо(+ Х) + соо соз (мог+ Х)1. (13-53) Кривые изменения ис и ( даны на рис. 13-19.
Ток и напряжения на емкости и на индуктивности представляются затухающими син, соидальными функциями с угловой частотой собственных колебании контура ы„ и коэффнциен том затухания и, причем вд ' как гэ„так и а определяют- ся только параметрами кон. и,. тура г, 5 и С. Начальная -мг фаза )( зависит также тольиа ~ х, -сИ ко от параметров контра в то время как Бс т т и у~ зависят и ог парамет. в ров контура, и от началь.
ного напряжения на емкости. Пользуясь и для затухающнх гармонических ГГс,„, -- „г процессов понятием сдвига .Ъв фаз, отметим, что ток опере- жаетпофазе напряжение на гт -и е емкости на угол л — Х и отстает от напряжения на индуктивности на угол и — у, Кривые ис и 1 касаются огибающих (на рис. 13-19 изображены пунктиром), когда синус равен единице. Строго говоря, кривые ис и 1 не являются синусоидами, а только похожи на синусоиды и максимумы их не лежат посередине между точками пересечения ими оси абсцисс (в пределах каждой половины периода зона воз- Л растания ординат занимает меньше, а зона нх убывания — больше четверти периода. Это объясняется тем, и, что в формулы входит множитель затухания е-"').
При изучении синусоидальных (переменных) токов мгновенные значения Фг Ю +1 получают, проектируя на мнимую ось .фвекторы, длины которых равны амплитудам, и вращающиеся против направления движения стрелки часов с угловой скоростью в. Также и мгно- вспт венные значения ис, 1 и иг (формулы (13-54) — (13-56)1 можно найти как Рис. 13-20. проекции на вертикальную линию векторов ус„е-", 7„е-"' и уг„е ', вращающихся с угловой ско ростью гэ„длины которых уменьшаются пропорционально е-"'. Ко" цы этих векторов описывают не окружности, как при синусоидаль ных токах, а логарифмические спирали. Таким образом, длв 350 затухающих синусоидальных колебаний может быть построена векторная диаграмма, приведенная на рис.
13-20. Эта диаграмма наглядно показывает, что напряжение на емкости отстает от тока на угол и — Х„а напряжение на индуктивности опережает ток на угол и — Х. При этом радиусы-векторы 0г, У„г и Ус, складываясь геометрически, образуют равнобедренный треугольник не только в начальный момент времени АВ+ВО+ОА=О, но и в любой следующий момент А,В, + В,О + ОА„= О. Полученные равенства, естественно, вытекают из второго закона К!!Рхгофа для мгновенных значений иг„+г(„+ис„=О. Быстроту затухания рассматриваемых колебаний характеризуют отношением напряжений в моменты времени ! и Г+ Т,: "с И !7с ' "' Мп (шсе+Х) еп.го и (!+т ) О е "и Л з!и [ (!+т )+Х) Это отношение, называемое декрементом колебан и я, — постоянная величина, не зависящая от времени 1, а зависящая лишь от параметров цепи г, 1., С.
~д Часто быстроту затухания д,з колебаний характеризуют нату- !!,г 4=!!а ральным логарифмом этого от- а,г опт ношения О,е !) дя о, Л =! п с, = иТ„(13-57) иср+т) который называется л о г а - ' 'Ъ Рифмическим декрементом колебания. д ! х ю Ф ю е т 8 я !0 Если кривая затухает медленно, уиопо лрошедшешпе~ооОоо то отношение ес значений, отстоящих на время Т, друг ог Рис. !3-2!. друга, близко к единице, логаРифмический декремент близок к нулю и логарифмическая спираль закручивается медленно. Если же затухание значительное,то логаРифмическая спираль закручивается весьма быстро, На рис. 13-21 представлены кривые изменения отношения амплитуд колебаний в конце 1, 2, 3-го и т.
д. периодов к начальной амплитуде, построенные для разных значений логарифмического декремента Л. 35! Сопротивление г оказывает существенное влияние на скорость затухания колебательного разряда емкости. Кроме того, как пока. зывает равенство (13-49), по мере увеличения сопротивления г уменьшается частота собственных колебаний сгр и увеличивается их период Т,. Когда г достигнет значения г,р, частота собственных колебаний будет равна нулю, период Т, — бесконечности, что соответствует апериодическому разряду. При колебательном разряде конденсатора через идеальную катушку (» =- 0) получим: аг, =-1ф ЕС; 1д у =-со; у =и!2; и=О, (13-58) т, е.
затухание процесса равно нулю, а частота собственных колебаний имеет наибольшее возможное значение и равна резонансной частоте последовательного контура. Из равенств (13-54) — (13-56) следует, что ис, г и иг будут изменяться гармонически с угловой частотой аг,: ис=Ур з1п (сгс(+и/2); = — з(п (сс,(+ и); иг = У, з(п (сс,( — п(2). р сгС 1 Ток г' отстает по фазе на и!2 от напряжения на индуктивности и опережает на и!2 напряжение на емкости. Поскольку сопротивление отсутствует, первоначальный запас энергии остается неизменным и энергия попеременно переходит из электрического поля в магнитное, и наоборот.
д 13-13. Включение цепи г, 1., С на постоянное напряжение Рис. 13.22. Условимся называть контур г, Т., С (рис. 13-22) апериодическим, если каждая из составляющих его свободного тока изменяется по экспоненциаль. ному закону. Сравнивая включение апериодического контура г, Е, С на постоянное напряжение У с а периодическим разрядом емкости (3 13-10), заключаем, что принужденный ток по-прежнему равен нулю, а принужденное напряжение на емкости теперь равно не нулю, а У. Поэтому в отличие от апериодического разряда емкости теперь ис,„(0) = — У, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
