Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 64
Текст из файла (страница 64)
д. с., изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим, а источник постоянной э. д. с. или э д. с., изменяющейся по гармоническому закону, создает принужденный или установившийся режим. Когда наступит принужденный режим, уравнение (13-1) примет вид: Уравнение (!3-4) показывает, что при переходе цепи от одного принужденного состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравнове. шиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от э. д. с.
е источника. Уравнение (13-3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов — принужденного, который как бы насту пнл сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к принужденному режиму. Следовательно, во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие принужденного режима и свободного процесса: и,=и„„р+и,с„; ис = ис яр+ ис ся 1= 1„р+ 1,„; ис=ит„р+иг„ 330 Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения и разложение их иа принужденные и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях.
Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения н общего решения однородного уравнения. Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (13-4) и, следовательно, в его выражешри должны быть постоянные интегрирования, число козорых равно порядку дифференциального уравнения.
Принужденный ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (13-1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования, Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Тогда переходный ток 1, равный сумме 1,р и 1„(13-5), и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.
При помощв законов коммутации нетрудно найти начальные значения свободного тока в ветви с индукзивностью 1т„ (0) и свободного напряжения на емкости ис„ (О), что необходимо для определения постоянных интегрирования. Пусть цепь до коммутации находилась в произвольном режиме, Обозначим ток и напряжение этого режима 1т (Г) и ис (1). В мо— — -мент коммутации-1= 0 ток-рь -(0) и напряжение ис (0) режима,до коммутации будем считать известными. Так как переходный ток в индуктявности и переходное напряжение на емкости в момент коммутации не могут изменяться скачком, то на основании (13-6) имеем: Ег (0) Ег др (0) + Ег „(0); ис (0) = ис,р (О) + ис,„(0), ( 13-6) )ЕЛи ы„(0)=~с (0) — ы„р(0), цс,„(О)=цс (О) — пс„р(0).
(13-ба) Если цепь до коммутации находилась в принуждеяном режиме, то, обозначая ток и напряжение этого режима Ег„р (Е) и Ес„(Е), получаем: Ех„(0)=Ег, (0) — Ег„г(0); ис-(0)=испр-(О) — исп„(0) (!36б) В частном случае, когда до коммутации цепь была отключена и на емкости не было заряда, т. е. Ег„р (0) = 0 и ис„р (0) = О, имеем: Е„, (0) = — Ег,р (0); ис,. (0) = — ис „р (О). (13-7) Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым к л а с с и ч е с к и м м е т о до и.
Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определения постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации. Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивностях и напряжений на емкостях при Е =- О, т. е. те величины, которые в момент коммутации не йзменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независи, мыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальнымв условиями. Зависимьее начальные условия определяются по 'независимым начальным условиям при помощи уравнений, соста'ьвленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.
13-3. Короткое замыкание цепи г, Е Ветвь с сопротивлением и индуктивностью (в дальнейшем сокращенно называемая цепью г, й), иначе говоря, реальная катушка внезапно замыкается рубильником накоротко (рис. 13-1). Ток в катушке до коммутации был постоянным Е ЛР-= ЕЕ Найдем закон изменения тока в катушке. 331 Принужденный ток в катушке после коммутации равен нулю Следовательно, .1= о„. На основании уравнения (13-4) свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению первого порядка Ес((„~й+г(„=0, (13-8) общее решение которого (13-9) 1„= Ае При 1 = 0 из (13-9) имеем: 1„ (0) = А = 1 (0), т е, г 1=- 1„=1(0) е '- = 1„(0) е- П'= 1„(0) е-"г; здесь о,в (О) = А — начальное значение свободного тока, кривая изменения которого дана на рис. 13-2.
11 вс Рис 13-1 Рис 13-2 Величина т = Е~г, имеющая размерность времени, называется п о с т о я н н о й в р е и е н и цепи г, Е и может быть определена как время, в течение которо1о свободный ток, зат) хая, уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением о„(0). В самом деле, о„(т) = о„(0) е ' = — '" -г ссв (О) Для графического определения т проведем касательную к криВОй 1,в В ЛЮбОй ЕЕ ТОЧКЕ С.
ЗиаЧЕНИЕ ПОдКаСатЕЛЬНОй ВР МОжст бь1ть найдено из треугольника СВР, а Ссв ~св т = — = „= ' = т, ВР, где пг„т,еа, т,— масштабы 'св~' — 'св се а ~ т е постоянная времени численно равна длине любой подкаса тельной В частности, она численно равна длине подкасательной ОВос опрсделяемои касательной С,В„проведеннои в начальнои точке Со 332 Величина, обратная постоянной времени, а=1/т=г/Е называется коэффициентом затухания цепи г, Е.
Свободный ток затухает тем медленнее и, следовательно, новый принужденный режим не устанавливается тем дольше, чем больше постоянная времени т или чем меньше коэффициент затухания а, т е. чем больше индуктивность Е и чем меньше сопротивление г. Значение тока /,„(0), т. е. постоянной интегрирования А, пределим из начальных условий. В ветви с индуктивностью переходный ток в момент коммутации 1 = 0 не может измениться скачком. Поэтому (св (О) = 1' (0) = /вр (0) = — "' и ДлЯ тока 1 катушии получи Е св — р, (1З-10) Электродвижущая сила. самоиндукции Й ег= — Е -=Š— е '/'= — иг сй /с+ г (13-11) ))рв = Е/йр- (0)/2 = Е(в (0)/2 в течение переходного процесса превращается в сопротивлении г в тепло: св сс Ед ~ /вг Ш=Р(0) г ~ е ' с(/=Е/в(0)/2.
Заметим. что теоретически процесс исчезновения тока в корот- козамкнутой катушке длится бесконечно долго, чем и объясняется необходимость в качестве верхнего предела у интеграла взять бес- конечность. Однако практически для многих катушек этот пере- ходный процесс закончится весьма быстро. Постоянная времени цепи г, Е обычно лежит в пределах от нескольких микросекунд до долей секунды. Последнее значение относится к большим катушкам со стальным магнитопроводом и значительным числом !итков, Если до короткого замыкания в катушке был переменный ток, о характер переходного процесса нисколько не изменится, но 1(0) анно значению тока в катушке в момент короткого замыкания. равна при 1 = 0 напряжению на сопротивлении г н в момент коммутации поддерживает значение тока на начальном уровне. С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи г, Ь характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в магнитном поле катушки, С переходным процессом в цепи г, ~ приходится считаться во многих случаях электротехнической практики, например при измерении сопротивления г обмотки трансформатора с большой индуктивностью (рис.
13-3), которая д питается от источника постоянной сс э д. с. Е через дополнительный резиг стор с сопротивлением )с. Напряжение на обмотке измеряется милливольтметром. Если после отсчета показаний амперметра и милливольтметра отключить обмотку трансформатора от источника напряжения, то ее ток замкнется Рссс СЗ-З. через милливольтметр. Так как ток об- мотки трансформатора может быть до. статочно большим и в момснт отключения рубильника не изменяется скачком, то, пройдя через милливольтметр, ток может его сжечь. Обмотку возбуждения мощной электрической машины при необходимости быстро снять возбуждение не отключают от цепи питания (постоянное напряжение), а замыкают на разрядное сопротивление, в котором энергия магнитного ьа поля превращается в тепло (рис. 13-4).
Если просто разомкнуть цепь обмотки возбуждения, то даже при наличии электрической дуги ток очень быстро ухсеньшсстся до нуля ( — с(ссс11 будет очень велико). Так как обмотка возбуждения имеет большую индуктивность Е„то в ней возникает весьма значительная э. д. с. самоиндукцсси ес — — — Е,ЙМ, которая может пробить изоляцию на корпус машины или изоляцию между витками. 13-4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
