Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 59
Текст из файла (страница 59)
5 7 Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис 12-6, б Естественно, что спектр амплитуд осгался прежним Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для й = ! е ! н переходя ог записи (12 2) к (12Ыа), можно этому выражению придать следующий вид. + <:о аа :г" 302 Действительно, при л = О мп ()глг2) л ь в Д 2' а) !Ьк ггкм (нм яж а)г лх б) о) Рис. 12-о. Рис. 12-6. Де О являются не чем иным, как удобным математическим выражением гаомоннк, имеющих пологкительную частоту, соответствующую модулю А. Так же условнз замена изменения знака фазы изменением анака амплитуды. Пример 12ый Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью т с периодом понторепия Т, причем Т + 2т и т может принимать любое значение в интервале О с т с Т.
Р е ш е н н е. Выпишем из таблицы (цриложение 1) разлогкение этой функции в тригонометрический ряд: 2 С~ з!п дсхл соз дшг /(ы)=окакс~сх+ ' 1 д гс=! где с» = т/Т = тю/2п. Раскладывая кагкдую нз гармоник на сумму двух синусоид, соответбтвуюгг!их полсокнтельным н отрицательным значениям А [см. уравнение (12-2а)), придадим выражению / (ог/) иную форму: а„а„, з!п Асхл сов ды/ й Ф вЂ” "еы (12-12) т е получаем постоянную составляющую; при чепгых значениях /с члены ряда „брашаются в нуль, а при Д нечетных з!п (/от/2) = ь 1 н при суммироваяии членов ля положительных и отрицательных а дают амплитуду, равную 2 а„,„,/ ! /г ! и, Спектр амплитуд в эюм случае имеет сггммегричный вид (рис.
12-6, в). Прн этом принимается, что фазы всех гармоник равны л/2, а амплитуды изменяют знак через интернал 2л/т. Такое рассмотрение гармонических составлшощих как совокупности колебания положительных и отрицательных частот во многих случаях позволяет получить более простое об- и а щее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при где постоянная составлявшая получается при раскрытии неопределенности; ан ~ген = мп. ь'О Обозначив го„=- 2л/т = ы!44, получим для г'(Ы) следуюшее выражение: аа„вв, )~ мийппсозйиюч) 1(ю1)= йи На рис 12-7, а — а видно, что вне зависимости от периода повторения им.
пульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя ст) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую) Чеи больше период повторения импульсов, тем болыпее число гармоничесних составляющих укладывается на одном и том гке участке огибающей н тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники Кране того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.
тм -7 -3 — 3 †Πг 3 5 7 гв) - -4 -З -г -С З Г г З о) — 4 -3 -8-Г а Г Е 3 4 Вр Рис. 12-7. Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при Т -~. со Непериодический сигнал будет рассмотрен в гл 20. Пример 12ый Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т.
Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, и, в часпюсти, при рассмотрении импульсных и репейных сисчем автоматики. Р е ш е н и е. Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из выражения (12-12), приведенного в предыдущем примере, при т с. Т. (12-!2а) Танич образом, спектр периодической последовательности кратковременных импульсов приближенно может быть выражен бесконечнык множеством разных по 'амплитуде гармоник с частотами, кратнычи основной частоте импульсов ш = 2п/Т.
Амплитуда гармоник в 71 т раз меньше, чем высота импульсов. Это соответствует среднему участку спекгра, представленного на рис 12-7, при стремлении периода огибакошсй, которая изображена на этом рисунке пункгиром, к бесконечности (когда сс-е О), если, конечно, по оси абсцисс откладывать не йо, а просто й или йы. 12-3. Максимальные, действующие и средние значения иесииусоидальиых периодических э. д. с„напряжений и токов Периодически изменяющаяся несинусондальная ветичина ) (Ы) помимо своих гармонических составляющих характеризуется тремя величинами: м а к с и м а л ь н ы м значением за период а„„„ средним квадратичным за период или д е й с т в у ю щ и м значе- нием А — ) 1Р( зж о (12-13) и средним по модулю значением А и т ~ ~~("~) г'~ (12-14) Т!2 '1'р т ~ 7 (озГ) з((' 2 а (12-14а) причем в последнем выражении начало отсчета времени должно быть выбрано так, чтобы ) (О) == О.
В тех случаях, когда за весь период функция ни разу не изменяет знака (см., например, рис. 12-4, б), среднее по модулю значение равно постоянной составляющей А,. При несинусоидальных периодических процессах, как и при синусоидальных, обычно под значением э, д.
с., тока или напряжения понимают действующее значение. Если кривая периодически изменяющейся величины разложена в тригонометрическии ряд, то' деиствутощее значеннеьзожет быть 305 о Если кривая 7 (ш() симметрична относительно оси абсцисс и в течение половины периода функция 7 (шг) ни разу не изменяет знака, то среднее по модулю значение равно с р е д н е м у з н а ч е н и ю за половину периода: Ю Ю найдено следующим образом: 7 со ч А' — „((2 А (м~.~ч,)~ в о ! ь.—.
о со ~ Аь,„з1п'(йгьГ+фь) й1+ ь — оо оз + ~ ~~~ ~ А,„Аь„щп(ио(+Ф) згп(й~1+~Р~) Нг --о о (12-15) А= 'л,' А$. (12-17) Таким образом, действующее значение периодическойнесинисоидальной величины зависит только от действиюших значений ее гармоник и не зависит от ит фаз зрю Если, например, напряжение и состоит нз ряда гармоник (ум и„и, и т. д, действующие значения которых (у„(у„(у, и т. д,, то действующее напряжение (у= (12-18) Аналогично для тока 1 1 = )гбач + 1~ + 1) + (12-19) Часто среднее по модулю и действующее значения несинусоидальных величин могут быть рассчитаны непосредственно на основании интегральных соотношений (!2-!4) и (12-13). В этих случаях нет необходимости в предварительном разложении функпии на гармонические составляющие.
306 (такое возведение ряда в квадрат вполне допустимо, так как ряд абсолютно сходится при любом значении о). Каждый из интегралов в последней сумме равен нулю, и, следовательно„равно нулю среднее за период значение от произведений мгновенных величин различных гармоник. Учитывая это, для действующего значения получим: со Ае=,~~ т ~ Аь з и'(нЫ+Фь) йг= ь=ь о =Ав+ ~~~ ~ — — Аь+ ,'~ Ах=,т А$ (12-16) ь 1 в=1 в=о действующие значения функций, рис 12-8, а, непосредственно из пример 12-5. Найти средние по модулю и изо зобраисенных на рис !2 8 р с ш е н и е В случае, изображенном на опр д прсделения действующего и среднего по дулю значений следует, что "! = Аср= сгкакс В случае рис !2-8, б по формуле <12-13) тп и по формуле (12-14) 7<4 т 1'""'т ~~ о В случае 12 8, в по формуле (!2 !3) з ! А=- 1!с ~ ~ а,'„„, Ш=анакс ~Гск и по формуле (12-14) 4ср = аааксм Рис 12 8 Расчет действующего значения по формуле (! 2-17) приводит к тем же рез)ль татам, 12-4.
Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидвльных периодических кривых Для синусоиды й, = ) 2 = 1,41. Коэффициент искажения определяется ницего значения основной гармоники к всей кривой: как отношение действу- действующему значению й. =А,/А. л(ля синусоиды <гя = 1 (12-22) 307 При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, пользуются коэффициентом формы кривой йе, коэффициентом амплитуды й„коэффициентом искажения й,. Коэффициент формы определяется как отношение действующего к среднему по модулю значению йе = А/А„.„. (12 20) Для синусоиды йе — — л<2)Г2 =- 1,11.
Коэффициент амплйтуды равен отношению максимального к действующему значению: й, = ак„,/А. (12-21) й=-~( ~А;. Аг ~/ гг =-. 2 При отсутствии постоянной составляющей й= 1~-~„ (12-23) Лля синусоиды й = О. пример 12-6. Определить коэффициенты де, дг, ггк н л длн кривых, изображенных на рнс. !2 8, а н б Р е ю е н н е. В случае !2-8, а по известным дейсгвующему и среднему по модулю значепиим находим: ггдг=кг= ! и по разлогкению функции на гармоники (приложение 1, и. 4) Д„=- 2 1Д 2ггп -- 0,9 и з = — ~~' ! — /г, = 0,49.
к Аналогично в случае !2-8, б lгв=2У!23 1,15; !ге=1' 3 1,73! Да=41 бгиг. 0,995 и /г 0,1. Кривые напряжения промышленньгх сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электроэнергетике вводят понятие о практически синусоидальной кривой, По стандарту напряжение промышленной сети считается практически синусоидальным, если действующее значение всех высших гармоник не превышает йзгз действующего значения напряжения основной частоты. Коэффициент искажения такой кривой с точностью до долей процента равен един!гце. Значения ле, А„и А„простейших кривых приведены в пряложенни 1.
Сопоставляя значения коэффициентов первых четырех кривых, можно установить, что чем острее кривая, тем больше значения йе и Й,. Измерение несинусоидальных токов и напряжений приборами различных систем может давать неодинаковые результаты. Приборы электродннамической, электромагнитной и тепловой систем реагируют на действующее значение излгеряемой величины.. Магниттгэлектрические приборы сами по себе измеряют постоянную составляющую, а с выпрямителями — среднее по модулю значение.
Амплитудные электронные вольтмегры реагируют на максимальные значения. Так как обычно этими приборами пользуются д,чя измерения действующих — значений — еинусоидальных величин, то 308 В электронике и радиотехнике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник, который определяется как отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники: Пример 12-7. Иайтн показания вольтметров различных систем, подключенных к источнику э д с с максимальным значением напрях ения !00 В, для различных случаев бгорьгы кривой, представленных на рис 12-8 Р е ш е н и е В первых двух случаях магнитоэлектрический прибор, реагирующий на посюянную составляющую, покажет нуль Показания же приборов остачьных систем будут различными В случае рис 12-8, а электродинамический прибор покагкет 100 В, прибор выпрямнтельной системы 11! В, а амплитудный электронный прибор 100г'Р 2 = =71 В В случае рис 12 8, б электродигымическнй прибор покажет 10071'3 = 58 В, прибор выпрямительной системы 50 1,11 = 55,5 В, а амплнтуднын электронный прибор 100У! 2.=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
