Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 68
Текст из файла (страница 68)
е, знаки коэффициентов А, и А, изменяются на обратные. Переходные напряжение на емкости, ток и напряже'ние на иидуктивности ис = У+ — (ргер ' ргергг); (13-59) Рг-Рг — (СРгг ЕРР) . сг (13-60) с (Рг Рг) иг = (ргер ' — р,ер*г). У ( и-61) Рг Рг 352 Кривые ис, 1 и ий даны на рис. 13-23. Напряжение на емкости монотонно возрастает от нуля до напряженпя источника (>', причем точка перегиба кривой при > = — 1, получается в момент, когда ток достигает максимального значения. Касательная к кривой ис в начальный момент 1 == 0 горизонтальна, так как ток в начальный момент равен нулю.
Кривые тока 1' и напряжения иг по характеру такие же, как и в Ь 13-10. Включение цепи г, Г., С на и ~' и постоянное напряжение при р» с и г .= г„р исследуется аналогично рассмотренному в ~ 13-11. ир Будем называть колебатель- г> ( ным контуром цепь г, 1', С, сво- 1 бодный ток которой изменяется по затухающему синусоидаль- и г> ному закону.
о Сравнивая включение колебательного контура г, Е, С с колебательным разрядом емкости, закл>очаем, что свободные напряжения н ток в рассматриваемом Ряс. 13-23. случае изменяются так же, как при колебательном разряде, только теперь ис„(0) = — У и знак коэффициента А изменяется на обратный. Поэтому, как было показано вьппе, знаки свободных напряжений на емкости (13-54) и на яндуктнвности (13-56) и тока (!3-55) тоже изменяются на обратные: ис = ис,р+ ис- —.— (>' — е-"' з!и (о>ог'+ т); (13-62) и о> !/ >'.С 1'= 1„= — е "' з!и Р>о1; -а (! 3-63) о>еп пу, = — Ве св = — Е 8>п (о>ос — К).
и (13-64) )'сс Кривые тока и напряжения на емкости даны на рис. 13-24. Ток совершает затухающие колебания относительного нулевого значения. Напряжение на емкости колеГ>лется около своего принужденного значения (> и не может превзойти 2К Оно достигает наибольшего значения примерно через половину периода после включения цепи. Этим пользуются в импульсной технике для получения напряжения на конденсаторе, равного двойному значению напряжения источника питания.
Колебательный контур г, 1., С с определенной частотой включают на постоянное напряжение н отключают. Соответственно с той же частотой на зажимах конденсатора образуются импульсы напряжения, величина которых почти вдвое больше напряжения источника питания. Так же как и при колебательном разряде емкости, заслуживает В>ШМания случай включения на пОСтОяннОЕ НапряжеНиЕ пдеаль- 12 Основы теорвв цепей 353 ного колебательного контура (» =- 0). В этом случае выполняются равенства (13-58). Поэтому из (13-62) — (13-64) для тока и напра. жений на емкости и индуктивности имеем: ис=(1 — (I позой; У 1= — =. з)пы,1; иг=(/соз со1, )»1.С О' О ' Ток и напряжение на емкости изменяются гармонически с частотой свободных колебаний ы„.
При этом напряжение на емкости колеба лется от 0 до 2У. С энергетической точки зрения процесс включения цепи », 1., С на постоянное напряжение интересен тем, что при любых», 1., С Рис 13-24. половина энергии, полученной от источника за время переходного процесса, перейдет в тепло, а другая половина запасегся в электрическом поле конденсатора.
Действительно, энергия, поступающая от источника: СО ж ОЭ о п ~ И Ж =~ (и„1+иг1+ис1) Й=~ »(т Й+~ Бй+~ Сис 3ис а о о о о т. е. СУ" »12,11 2 о Как частный случай, из доказанного следует, что те же самые энергетические соотношения будут иметь место и пря 1 =- О, т. е. при включении цепи», С на постоянное напряжение. Аналогично рассматриваются явления, возникающие при включении апериодического и колебательного контуров», Е., С на синусоидальное напряжение и = 0 ейп (ы1 + $). 13-14.
Общий случай расчета переходных процессов классическим методом рассмотрим общую методику расчета переходного процесса на примере разветвленной пепи, в состав которой входят хотя бы по одному разу элементы», Ь, С и источники постояинои или гармони 354 кой э. д. с. или тока (рис. 13-25).
Рассчитаем токи во всех ветвях и напряжения на всех ее элементах в переходном процессе при включении рубильника Рв. б' для этого прежде всего опреде- ьг лим принужденные токи и напря- 1, лжеиия до и после коммУтации. е. Р Поскольку э. д. с. или токи источников предполагаются постоян- ! 11 ~ ~гг ~ ными или гармоническими, расчет 1 г принужденных режимов до и после коммутации выполним одним из Е, известных методов. Определение свободных токов и напряжений начнем с составления Рис, 13-25.
характеристического уравнения, для этой пели (разумеется, при замкнутом рубильнике Рв) вос- пользуемся, например, методом контурных токов применительно к мгновенным значениям свободных составляющих: 1 Г. (11 т 12) 11св+~ ) 11свг~~ 1212св 1 слв„, 1 —..'„.+(,+.,)(„,+(.,— „-; + —,- ~ „, (1=6. Введем обозначения г„, г„, Е22 и Сиь С,в — сопротивления, индуктивности и емкости каждого из контуров; г„— общее сопротивление двух соседних контуров. С учетом этих обозначений последние уравнения примут вид: 1 11111св+ л 11св Е(1+ г Мггсв О 11 г'1всв 1 2111св + 12212св + 1.22 в + сТ ггсв С(1 = 11.
вг (! 3-65а) (13-65б) 1„, = Л'ее11 1„, = Асеев, Тогда 11 с в г' — РЛ 'еег — р11 ггсв с'1 Р 355 Решение системы уравнений (13-65а) и (13-65б) для любого из ~~~он 1„, или 1'„, представляется в общем случае в виде суммы экспоненциальных функций, каждая пара которых, имеющая одинаковые показатели, должна удовлетворять этим уравнениям, Поэтому дальнейшие рассуждения проведем для любой из пар: Подставляя значения производных и интегралов токов г„„ в уравнение (13-65), получаем: (гы+ 1/РСтг) г'„, + гт,г„,=О; 1 гят!гсв+(гее+Р(.ея+ С !зев=-О (13-бба) (13-66б) Дифференциальные уравнения (13-65а) и (13-655) относительно функций г„„, („„превратились в алгебраические ((13-бба) и (13-666)] относительно этих же фракций.
Такое преобразование называется а л г е б р а н з а ц и е й системы дифференциальных уравнений, Полученная система двух однородных уравнений (13-66) с двумя неизвестными г„„(„„имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю: ! гы+ рСы гы = О (13-67а) 1 г„+ р!.ее +в рс„ (! 3-67б) представляет собой характеристическое уравнение для данной системы дифференциальных уравнений, В расслгнтриваемом прилгере получаем характеристическое уравнение третьей степени. Решение уравнения Л (р) = О (точное или приближенное) производится по обычным правилам алгебры. Поэтому его корни Р„ Р, и Р, в дальнейшем будем считать известными.
Выбор контуров при расчете методом контурных токов здесь целесообразно делать так, чтобы для каждого из контуров порядок дифференциального уравнения был наименьшчм В качестве таких контуров нужно выбирать по возможности контуры, содержащие только сопротивления, только индуктнвности, только емкости, только сопротивления н индуктивности нли только сопротивлении и емкости В самом деле, уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов в контуре с одними сопротивлениями является алгебраическим 7!лч контура с одними индуктивносгями оно хотя и дифференциальное, но интегрированием легко приводит. ся к алгебраическому В контуре с одними емкостями оно интегральное, по дифференцированием приводится к алгебраическому Наконец, для контчров с сопро.
тивленяями и индуктивносгями или с сопротивлениями и емкостями получаем дифференциальные уравнения первого порядка Кроме того, коятуры, конечно, надо выбирать так, чтобы уравнения по второму закону Кнрхгофа были нсзависимымн Тогда порядок дифференциального уравнения относительно олной неизвестной функции а степень характеристического уравнения цепи б1дут равны сумме порядков дифференциальных уравнений отдельных конт!ран. Степень характеристического уравнения цепи можно нанти, не составляя н яе раскрывая определитель системы дж)хрерснциальных т равяснян Например, чяя НЕПИ рие 1З-2б ВЫбсрЕМ КОНтурЫ таК.
ЧтОбЫ ВтОрОй ВКЛЮЧаЛ Иадтхтяаность ья и емкость Са а первын — амелько емкость Сг !огда порядок двйхре. 356 (нулевое решение гы„ = !.„, = О означает отсутствие свободного процесса, что возможно в частном случае и притом только в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка). Из (13-67а) следует, что Р является корнем уравнения Л (Р) = О.
Само же уравнение ренн нального уравнения для второго контура равен двум, а для первого — единице це Следовательно, степень характеристического уравнения цепи равна трем Н общем случае, когда цепь разбивает~я указанным выше способом на а конт „уров и каждый контур содержит в своем составе индуктивность и емкость, пень характеристического уравнения цепи будет 2 и Составить определитель Л (Р) в общем случае можно следующим образом Рассматривая коэффициенты при свободных контурных ках г„, и г„, в равенствах (13-66а) и (13-666), видим, что они записаны как комплексные сопротивления тех же контуров, но с заме„ои (и на Р НапРимеР, комплексное сопРотивление втоРого контУРа 722 = г22+1И1 22+ 1//ИС22 заменяется величиной 22+Р 22+ 1!РС22 Следовательно, определитель системы может быть составлен подобно тому, как это делается прн расчете цепей переменного тока методом контурных токов. Как будет показано ниже 814-3), можно записать в зависимости от Р входное сопротивление цепи (рис 13-25) для любой из ветвей, например первой - »= г(,)+22 % (Р) х~ (р) г, (Р)+г, (Р) и, приравняв его нулю, сразу получить характеристическое уравнение цепи При этом легко убедиться, что числители вход- ных сопротивлений любой из ветвей будут одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
