Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Включение цепи г, 1. на постоянное напряжение При включении цепи г, 1. на постоянное напряжение (рис !3-5) ток в первый момент равен нулю. Поэтому с (О) = сср (О) + с,„(0) = О. А так как с„„= с'„„(О) =(l/г, то с,„(0) =-А = — 01г. Поэтому ток переходного процесса где т = 1,,'г. Напряжение на индуктивности е(г и! =- иг = ~ = — (р'е — 'у'. св и! ((3-)3) Поскольку до включения напряжение на индуктивности было равно нулю, а в момент коммутации их — (у, то переходное и свободное напри>кения на пидуктивности изменяются скачком.
Кривые изменения г, !пр, !',„и иь приведены на рис. 1п3-6. Как и следовало ожи- Рис 13-6. Рис 13-5. з„=- Ае =- Ае о,оз и для переходного тока г=гвр Рг в= — -1-Ае ггт=.183, Ае г(з зз гв Из условия отсутствия скачка тока г при ! = — 0 получаем: за (О) = Ул з = 1! =- г (О) = 18,3+ 4, откуда 335 дать, они показывают, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется известное время (теоретически бесконечное) до наступления принужденного режима со значением тока У(г. Ток ! возрастает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи т, т. е.
чем медленнее затухает свободный ток. Энергия, получаемая от источника, идет частью на увеличение энергии магнитного поля катушки, а частью переходит в тепло в ее сопротивлении г, Пример 13-1. В пепи г, = 20 Ом, !. = — 0,6 Г, подключенной к исзоч нину постоявной з д с с напряжением (! =. 220 В (рис 1371, происходит внезапное уменьшение сопротивления от значения г, до г, = 12 Ом (рубнльник замыкает некоторую часть сопротивления гь равную г, — гз = 8 Ом) Найти закон изме.
пения тока в цепи Р е ш е и и е На основании форвпл (! 3-9) и (!3-5) напишем сразу выражение для свободного тока Следовательно, ; = 18,3 7,3, — г/о.оз А Отметим, что постоянная времени цепи после коммутации определяется пер метрами 8 их,. Кривые токов ! и йа показаны на рис. 13-8 Из них видно, что „„' постепенно возрастает от меньшего значения !7ггт = 11 А до большего угг„ = 18,3 А. Рис. !3-8. Рис.
13-7. Переходный процесс при внезапном увеличении сопротивления аналогичен рассмотренному. Только ток будет постепенно уменьшаться. 13-5. Включение цепи г, ~ на синусоидальное напряжение При включении цепи г, 7. (рис. 13-5) на синусоидальное напряжение =и з! (ш(+ р) принужденный ток г„р — — — "- яп (ш1+зр — гр), где г = 1,ггз+ (шу.)' 1я ~р =со11г, а свободный ток определяется равенством (13-9), т. е. („=Ае '- = Ае Для переходного тока ! получим: 1= г„р+ 1,„= — яп (со1+ тР— ~р) + Ае-И'. В рассматриваемой цепи до включения тока не было. ПоэтомУ 1 = О при 7 = О.
Отсюда 1„(О) =А = — — з(п(тр — гр). г Окончательно получаем: 1=- — з(п(ш(+тр — гр) — — -япфф — от)е-пт (13-14) Напряжение на индуктивности иг.=ЕЖ(с((=У ~зш ф з(и~си(+~> — ф+-"- + и'1 +созф з(п(ф — ф)е-и'~. (13-15) Правильность полученных равенств (13-14) и (13-15) проверим, подставив в правую часть значение 1 = О.
Эта проверка дает для тока 1 значение нуль. Для напряжения на индуктивности получим дг (О) = У з(п ф, что легко установить и непосредственно. Действительно, в момент включения напряжение на индуктивности равно напряжению источника, так как напряженве на сопротивлении равно нулю. астр Рис. 13-9. Кривая тока 1 изображена на рис. 13-9, а. Она показывает, что по мере затухания тока („ переходный ток стремится к значению принужденного тока. Однако через промежуток времени от Т~4 до 3Т!4 после включения, что зависит от угла ф ток может достигать значений, превышающих амплитуду принужденного тока.
Наибольшего возможного значения ток достигает, если в момент включения цепи принужденный ток равен амплитуде (ф — ф = = п12 или — Ы2), а постоянная времени цепи весьма велика (г = О, т — сир и ф = и(2), т. е. свободный ток затухает очень медленно, При этих условиях ф = и и приложенное напряжение в момент коммутации должно проходить через нулевое значение.
Кривая тока при ф — ф — -- п(2 и достаточно больших значениях т иРиведена на рис. 13-9, б. Примерно через половину периода после включения цепи ток достигает почти удвоенной амплитуды принужденного тока !1„,„., ! = 2 Ттир Итак, при включении цепи г, Е к источнику синусоидального "апряжения переходный ток ни при каких условиях не может - превышать-у-.двоеииой -амплит-;ды-принужденного тока 337 Начальное значение свободного тока равно по величине и про. тивоположио по знаку начальному значенпю принужденного тока Поэтому, если в момент включения принужденный ток проходит через нуль, то начальное значение свободного тока также равно нулю. Свободный ток вообще не возникает, и в цепи сразу уста. иавливается принужденный режим Зто будет, как показывает фор.
мула (13-14), при ф — гр = 0 или ф — гр = и. В разветвленной цепи с одной индуктивностью (рис 13-10, а) постоянная времени свободной составляющей любо~о из токов определяется по формуле (1 3-16) т= с+Газ ' где ㄄— входное сопротивление цепи по отношению к зажимам ветви с индуктнв. постыл. Рнс 13.10. Чтобы полччить г„в формуле (13-16), составим схему для свободных таков, т е исходную схему, нз которой изъяты источники (рис 13-10, б). Из этой схемы следует, что поскольку внешняя (по отношению к ветви г, Е) цепь состоит из одно.
родных элементов — в данном случае сопротивлений, то она могкет быть для рас. чета постоянной времени заменена одним эквивалентным сопротивлением 1 гвх — 1) + 1( + 1( Составим теперь простую формулу для непосредственного определения переходного тока в ветви с индуктивностью Е произвольной цепи, содержашен истое ники э д с любого вида и кроме индуктивности Š— толью активные сопротивления (например, цепи по рис 13.10, а) Ток ге (г) = г„„(() -1-1„„(г) = „„(()+ Аз-0', где т определяется согласно (13-16) прн г = 0 ве(0)=юг„, (0)=сева(0)+А.
откуда ~Е п -(0) ~е и (0)' Следовательно, ток в индуктивности --- —,0)==,,—, Тц,.г,„„-(0) г, (0)1 =и--,— -- — — (зз-Л-— 338 Если до коммутации (!с О) режим был не п()инуждеиный, то ток ! (О) спрвужно заменить током ~с (О) предшествующего режима, т е. ,(О=, (!)+(!, (0)-, (0)1 -ч (! 3.13) Подчеркнем, что приведенные формулы (!3-17) и (13-18) применимы только 3лл ветви с индук~ппвпостью 13-6. Короткое замыкание цепи г, С Предположим, что конденсатор емкостью С был заряжен от источника постоянного напряжения (рис. 13-1!) до напряжения ()в = Е, а затем замыкается рубильник и конденсатор разряжается через сопротивление г. Ветвь с сопротивлением и емкостью в дальнейшем будем называть сокращенно цепью г, С.
Исследуем возникающий переходный процесс. Принужденное напряжение на емкости (п ь 1 с и принужденный ток в цепи равны нулю. Найдем свободные составляющие тока и напряжения. Выберем положительные направления напряжения на емкости и тока совпадающими (как и при расчете установившихся режимов в цепях переменного тока). Тогда 1,„= с(!),„/с(! =- С с(и,„! с(1. (13-19) Запишем уравнение второго закона Кирхгофа для свободных составляющих: Рис 13-11 гь„+ ис =-О. (13-20) На основании выражений (13-19) и (13-20) составим однородное дифференциальное уравнение (первого порядка) для свободного напряжения: (13-21) Общее решение последнего уравнения с исс,=ис=Ае 'с =ис„(0)е — Ы'=ис(0)е — ', 339 где ис„(0) = Л вЂ” начальное значение свободного напряжения на емкости.
Величина т = гС, имеющая размерность времени, называется постояннои времени цепи г, С. Обратная ей величина сс = 1/т = = 1!гС называется коэффициентом затухания цепи г, С. Постояная времени т тем больше, чем больше емкость и сопротивление. ледовательно, чем больше емкость С и сопротивление г, тем меденнее в цепи затухают свободные токи и напряжения, тем медленг'ее происходит разряд конденсатора. Значение ис (О) (т. е.
постоянной интегрирования А) определим из начальных условий. Для любой ветви с емкостью они сводятся к тому, что напряжение на емкости в момент коммутации (т, е. при г = О) не может измениться скачком. Поэтому при г = 0 ис(0)=А=ис.. (0)=Е=((о Для напряжения на конденсаторе получим: ис = ив — ц', и ток согласно (13-20) и, 1=( = — — = — — е с/т, св (13-22) (13-23) !зги= — "~е ' Й= — '. т 2 0 Отметим, что практически ветвь с сопротивлением и емкостью всегда имеет и какую-то индуктивность, хотя бы и очень Рис. 13-!2. малую.
Поэтому и в данном случае ток начнется с нуля (т. е. ие изменится скачком), на очень быстро достигнет значения, весьма близкого к ((враг, и затем будет уменьшаться практически экспо. ненциально (13-23). Если конденсатор в цепи рис. 13-11 до включения рубильника питался от источника синусоидальной э. д. с., то ис (О) будет значением напряжения на емкости в момент коммутации. Если положительное направление тока ! (рис. 13-11) выбрать противоположным положительному направлению напряжения ис, то знаки в формулах (13-19) и (13-23) изменятся на обратные. 13-7. Включение цепи г, С на постоянное напряжение Рассмотрим переходный процесс при включении цепи г, С на постоянное напряжение (1 (рис. 13-13).
Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для сво бодного процесса, совпадает с (13-21). Поэтому свободное напра жение на емкости ис „= Ай — "и'с"=' Ае- цв . 340 Кривые измеяения ис и 1 приведены на рис. 13-12. С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи г, С характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло в сопротивлении г: Переходное напряжение на емкости ис = ис ар+ ис са = Ь«+ Ае — цт. Так как конденсатор не был заряжен, т.
е. при ! = 0 напряжение ис (0) = О, то А:= — Ьг и ис=Ь«(1 — е-Ц'). (13-24) я«ся)~ )1ля тока получим: ц бггс У г=с г, - т.-'г'. ггз.ззг Начальное значение тока ! (0) может быть Р с 1313 получено и непосредственно. Так как ис (0) = О, то все напряжение источника Ь«прн ! = 0 оказывается приложенным к сопротивлению г. Кривые изменения ис, ис„р, ис н 1 (рис. 13-14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгно- венно. Напряжение возрастает и в в ас и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи т, дв т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
