Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 66
Текст из файла (страница 66)
е. чем медленнее затухает свор !« бодное напряжение исмо г Отметим аналогию законов из- менения тока !с в цепи «, Ь и иаи в пряжения ис в цепи г, С при вклюврв чении их на постоянное напряжение. Она следует нз сравнения равенств (13-12) и (13-24) и кривых на рис. 13-б и !3-!4.
Аналогично Рис 13-! 4. также изменение величин и! и ! в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения цепей г, Ь и г, С на синусоидальное напряжение. К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные пракгические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи, д Как будет показано ниже энергия переходящая в тепло при включении цепи г, С, не зависит от г.
Пример 13 2 В цеян показанной на рис 13!5 ь сато замыкается рубильник. Найти напрягкения на конден- рак и ток, если конденсаторы были заряжены до "апйажений У„= 100 В, !«ы = 25 В; Сг = 1 мкФ; Рис 13-15. Ва = 2 мкФ; г =- 75 Ом. рл е я и-е Выберем положительные. направления тока 1 и напряжений на анденсаторах и и д, (рис. 1З-15), 341 В установившемся режиме ток будет равен нулю.
Поэтому потеиииалы точек а и Ь сравняются, т. е. ид„ вЂ” иэ„ = О, или д,„„)с,=д,„,гс„ (а) где д) и д), — заряды на конденсаторах. Согддасно зайону сохранения заряда дгдп р + д!дар = !!до + Чае (б) где рш = Сд иге', Ем — — Сд(/ю Решив совместно уравнения (а) и (б), получим; я„= —,' — (с,и,„+ с,и,д) = с,ншр; э=с,+с, Сд оюр — — — '" —, (Сдидэ+ Сдию) = С,ид,р, откуда с,и„+сди ишр —— н,„р — — „'-' —— 50 В. Сд+ С, Тогда ад=пир+Аз !!с=50-1-Ае дгт, т=г — =50 !О е с, с,с, с,+с (в) где поскольку конденсаторы соединены последователыю, По второму закону коммутации при Г = 0 получим и, (0) = иде иизформулы (в) ид (0) = 50+ А, откуда А=од (0) — 50=50 В и ид — — 50+50е дгт В Аналогично находим: и,=50 — 25е д!' В и ток д'=С, — = — Са — '- = — !е А.
д(нд дна д(! д(! 13-8. Включение цепи и, С на синусоидальное напряжение Пусть цепь г, С (рис, 13-13) включается на синусоидальиое на- пряжение и = (у„з(п (шу+ т(д). 11ринужденное напряжение на емкости и = — '' ~гтт=ч==~ гшс 342 Устремляя г к нулю н решая задачу в этом случае, получим, что суммарная энергия ионденсаторов по окончании переходного режима меныпе их суммарной первоначальной энергии.
Это указывает на неточность постановни задачи при г= О. В самом деле, при г -~- 0 ток ! - оо и интеграл ) Пг д(!может быть конечньж. о где *=Втвсгд7»сС', ссв= — в с . Изменение свободного напряжения на емкости по-прежнему определяется соотношением мс св Переходное напряжение на емкости Ов ис = ис. р+ и с .. =- —,— '" з(п (сс(+ ф — ср — и~2) + Ае — ' /'.
Начальные условия дают: ис = 0 прн г =- О. Отсюда А = — — з1 и (ср — р — и!2) гвсС и напряжение на емкости и = — ейп ( ° гс + чс — 4с — и/2) — — з(п ~ф — ср — — '~ е Ив, (13-26) У,в ~вс Г гв с гссс гас 2) вв где постоянная времени цепи т = гС. Ток асс ~'~ г п~ (=С вЂ” „= — (соз ср з(п (сс1+вр — ср) — гпп гр.
з(п ~ф — гр — — ~е — о'~, 2! (13-27) Проверка для г =- 0 дает для напряжения ис значение нуль, а для тока 1(0) =- У ейп вР!г. Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена (ис(0) =- 0] и все напряжение питания д ° ~ приложено к зажимам сопротивления.
Полученное выражение для тока объясняет возникновение больших толчков тока при включении иенагруженной кабельной сети, т. е. сети, в которой распределение энергии происходит по кабелям. На рис. 13-16 приведена эквивалентная схема ненагруженной кабельной сети, где С вЂ” эквивалентная Рис. 1306. емкость, учитывающая емкость каждой фазы на землю и емкость между фазами. Если сеть достаточно мощная, то поперечные сечения кабелсй значительны и сопротивления г малы.
Поэтому при включении сети в момент, когда напряжение одной из фаз проходит через амплитудное значение, наблюдаются весьма значительные толчки тока. Кривая изменения напряжения ис аналогична кривой тока на рис. 13-9, а. Спустя время от Т/4 до 3 Т14 после включения, пряжение ис может достигать значений, превышающих амплиду принужденногп режпхшг Ма, . е- ис -полу= 343 чается, если в момент включения цепи принужденное напряжени равно амплитудному значению (ф — гр = — и или О), а постоянная вае лени цепи т -ь со, Кривая ис для ф — гр =- и аналогична кривои тока на рис.
13-9, б. Примерно через половину периода после вк:и . чсния цепи напряжение на емкости достигает почти удвоеннои амплитуды принужденного режима ис„,„, = 2Е)с „р. Итак, в этом случае переходное напряжение на емкости ни при каких условиях не может превышать удвоенной амплитуды при. нужденного режима. Если в момент включения принужденное напряжение на емкости проходит через нуль, то начальное значение его свободной состав, ляющей также равно нулю, т. е. свободного напряжения на емкости вообще нет и в цепи сразу возникает принужденный режим, Совершенно так же, как и для цепи на рис 13-10, а, но заменяя индуктивность емкостью, могкно показать, что в разветвлеаной цепи из активных сопротивлений с одной емкостью постоянная времени т=(г+гвт) ~. ( иь28) иС(') =иСвр(')+иСев(') ="Сир+"Е "'г где т определяется согласно (!3-28).
При 1= 0 ис (0)=асар-(О) =ис р(0)+А Л=исв (0) иов (0) откуда н окончательно ис (') = ис. (1) + (исв -(0) — исв (0)1 е "'. (13-20) Если до коммутации (1е" 0) режим не был принужденным, то напряжение и (О) нужно заменить напрягкением и (О) предшествующего режима. тогда Сврполучим: ис(')="св (б Р("с-(0) — асв (0))' "'".
(!3-30) Подчеркнем, что приведенные формулы (13-29) н (13-30) дедалмительки только для напряжения на е.нкосгпи. 13-т. Переходные процессы в иервзветвпениой цепи г, Е, С По второму закону Кирхгофз свободные напряжения на всех элементах неразветвленной цепи взаимно уравновешиваются. По этому для цепи (рис.
13-1?), состоящей из последовательно соедн. ненных сопротивления, индуктивности и емкости (цепи г, Е, 0 или последовательного контура), имеем: (13 31) 344 Можно дать простую формулу для непосредственного определения переходного напряжения на емкости для цепи с активными сопротивлениями и одним конденсатором. Напряжение на емкости где (св = — г(ЧсвУг(1 = — С 2(ис св(2((. (13-32) Подставляя значение („в уравнение (13-31), после дифференцирования получим для ис„дифференциальное уравнение второго порядка: срис г кис ! — „;,-+,— „',"+,-, и„,= О.
(13-33) Тождественность дифференциальных уравнений указывает на одинаковый закон йзме- Рис. !3-!7. пения ис . !)св и 1„. Для решения любого из этих дифференциальных уравнений составим характеристическое уравнение (13-34) Характер свободного процесса зависит только от паралтетров цепи г, Е., С, т. е., иначе говоря, от вида корней характеристического уравнения. Так как эти корни определяются равенством г Ггв ! Р2 = — — '+ 2!.
1с 41.2 !.С ' (13-35) то характер свободного процесса зависит от знака подкоренного выражения, который и определяет, буду~ ли корни вещественными или комплексными. 13-! О. Апериодический разряд конденсатора Апериодическнм разрядом конденсатора, заря!асиного до напряжения У„через резистор и катушку индуктив"ости называется разряд, при котором напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения С'в до нуля, т. е. не происходит пере~~РЯдки конденсатора. С энергетической точки зрения это означает, "'о при разряде конденсатора о~даваемая им энергия лишь в малой доле переходит в энергию магнитного поля катушки, а большая ее часть поглощается в резисторе.
Начиная с некоторого момента и "е рсмени, в тепло переходит не только оставшаяся энергия электри- 345 Свободный заряд на конденсаторе удовлетворяет такому же дифференциальному уравнению: с!'Ч с с!Чсв 2С2à — +- — + — ц =О. Шв ! с!Г гг' св Дифференцируя это уравнение по времени, дсэ и с учетом равенства (13-32) получим аналогичное дифференциальное уравнение для („: 21-с с в Г С!2 с в — 2-+-- — -+ —. =О. Ш2 й Ж 2С св ческого поля конденсатора, но и энергия, которая запаслась в ма, нитном поле катушки.
Апериодическое решение однородного дифференциального уран. пения, т. е. в нашем случае апериодический характер свободн~„ процесса (разряда конденсатора), имеет место, если корни характе. ристического уравнения (13-35) вещественны, т. е. если га74Еа 17ЕС или г ) 2 ) ' 1,~С. (13-36) Назовем критическим сопротивлением кон. тура такое наименьшее его сопротивление, когда свободный про цесс имеет еще апериодический характер: г„= 2)/Е7С. (13-37) Корни р, и ра вещественные и различные, если выполняется неравенство г > г,р. Общее решенйе однородного дифференциального уравнения второго порядка и в частности (13-33) при различных корнях представляется в виде ис „= А,ер '+ Азер*', (! 3-38) где прн условии (13-36) А, и А, — вещественные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, а р, и р, — вещественные и различные корни характеристического уравнения.
Заметим, что корни обязательно отрицательны, так как свободный процесс должен быть затухающим во времени. Согласно (13-32) ток "ис а„ = С с " = С(А,р,ер' + А,р,ер 1). (!3-39) При разряде конденсатора принужденное напряжение на емкости и ток равны нулю, поэтому их переходные значения равны свободным: ис=ис„, 'а=а'„. Из начальных условий ис = — Е'„и 1' = О при ! = О определим значения постоянных интегрирования, Подставляя начальные условия в равенства (13-38) и (13-39), получаела: 0а=А1+Аа' О=А1Р1+АаРа откуда РФа . РЛа А,=; Аа= —— Р1 Р1 Ра — Ра При этих значениях постоянных интегрирования напряжена~ (13-38) и ток (13-39) ис=ис..= (раер' — р,ер*'); а' ( = ' (еаи — е'*) Уа Ср,р Г7а Ра Ра — — — р Р1 346 Так как произведение корней р, и р, характеристического уравнения равно его свободному члену, т.
е. Р,р, = 111.С, то (еР' — ел"). (13-40) й(Рк Рд Напряжение на индуктивности иг найдем по формуле иг ==- ит „= Ь г(я Ж = ' (р,е~ ' — р„егк). (13-41) л..— гч Ток и напряжения на емкости и на индуктивности состоят из двух экспоненциальных составляющих, коэффициенты затухания которых равны ~ р, ~ к 1р, ~ и определены равенствами (13-35), Рис. !8-18 Кривые изменения напряжений на емкости и на индуктивности тока и их составляющих приведены на рис. 13-18, а и б. Они показывают, что напряжение на емкости монотонно уменьшается с начального значения Ум а ток, возрастая от нуля, достигает максимума, а затем также уменьшается. Касательная к кривой ис в начале координат горизонтальна, так как напряжение ис имеет максимум в начальный момент. Это следует и из второго, уже отмеченного выше начального условия 1 (0) = О. Поскольку 1 = С йис!й, максимум кривой тока и точка перегиба кривой напряжения ис получаются в один и тот же момент времени 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
