Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. будут справедливы законы коммутации (13-91), сформулиро ванные выше, в ч 13-1. Интересно отметить, что при учете сопротивлений катушек закон коммутации для токов получается из более оби1сао закона о непамяти ности в молент ка41мутаиии патокосцеллеиий контуров. Покажем это па примере схемы рис. 13-40. 374 интегралы от этих импульсов (13-94) имеют конечные значения равны приращениям ЛЧ", и ЛЧ", потокосцеплений каждой из ия н шек. На том же рис.
13-39 показано, что токи в катушках при ! кату. изменяются скачком и ток ~', протекающий в обеих катушках по „ после отключения ветви с сопротивлением г„ изменяется в соответстви твин с постоянной времени т и стремится к величине ! (со) = У,'(г, ! Подчеркнем, что разность энергий, запасенных в магнитных „2о лях обеих катушек до коммутации, 'роки до коммутации: Е, (Π— ) =- Е, (Π— ) = — —; Еа (Π— ) = О. (13-103) Потокосцепления первого контура: а) до коммутации Ч" (Π— )=ЕчЕ~(0 — )+Е.ага(0 — )=(Е.~+Е,г), +, ', (13-104) б) в момент коммутации Ч"„(О+ ) == Е, Е, (О -1-) +- Е.,Е, (О -(- ). (13-105) Приравнивая их, получаем: Чм (Π— ) = Чм (О+ ) = Е~ и (О+ ) + Щ, (О+ ) = — (Е, + Е.,) У (13-106) Потокосцепления второго контура: а) до коммутации (полагаем, что в состав второго контура до коммутации входит рубильник, сопротивление которого равно бесконечности, а индуктивность равна О нулю) л Ч ~з (О ) = — Е.аЕз (Π— ) + + Е.з(з (Π— ) = — Е.а — ', (13-107) и и ~Ез О+ 'я б) в момент коммутации Ч'„(О+) = — Ею~а (О+)+Е гз(0+).
(13-106) Рис. 13-40. Приравнивая их, получаем: Ч",, (Π— ) = Ч'„(О+) =- — Е,,г',„(О+)+ Еагз (О+) = — Е,,— (13-109) Первый закон Кирхгофа для узла Л в момент коммутации Е, (О+)=Е,(0+)+Е,(0+). (13-110) Решаем совместно уравнения (13-106), (13-109) и (13-110) отно.'ительно токов Е, (О+), ю', (О +) и Еа (О +): Е, (О+ ) = Е., (О+ ) =ЕЕ((г, + г,); га (О+) =-0; (13-111) Учитывая (13-103), получаем: Е~(0+) —.=Е,(0 — ); 1,(0+).=Ц(0 — ); Еа(0.+)=-=Еа(0 — ), (13-112) ' е.
именно те же соотношения, которые дал бы закон коммутации 13-91), сформулированный выше, в 9 13-1. Легко проверить (рекомендуется читателю), что тот же резульат получается для схемы рнс. 13-41 и для любых схем с ветвями г, . при подключении к нпм новых ветвей г, Е., Понимая под потокосцеплеипем контура алгебраическую сумму токосцеплений всех входящих в него катушек, первый закон мму(ации' будем формулировагь как обобщенныи закон комм)- 375 тации: потокосцепление любого замкнутого контура в момен!и комму тации (1 =- О+) равно алгебраической сумме потокосцеплений вс .
входяи<их в него катушек, которые последние имели непосредспсвен до коммутации (1 = 0 — ). Некоторые иэ этих катушек перед комм, . тацией могли одного замкнутого контура и не составлтпь, а обри завали его лишь после коммутации. Например, если в рассмотренной выше схеме рис. 13-40 счита~~ что в катушке г„Ез до коммутации был ток, то при подключени)' ее в момент! = О к контуру, образованному катушками г, с.с и гз)., нужно считать, что в этот момент рубильник Р, мгновенно вклк). чается, рубильник Р, мгновенно отключается (рис. 13-42). сс сс Рис. !3-4!.
Рис. !3-42. Докажем применительно к рассматриваемой схеме (рис. 13-42) первый обобщенный закон коммутации. Для этого рассмотрим кон- тУР 2, обРазованный катУшками 1'.! и ~з в момент 0 — ( ! з- О+, т. е. в момент его образования. Так как второй закон Кирхгофа справедлив для любого момента врсменй, то имеем: Й! Й! <1! 2 ссгс+ 1ау<+ Мм В<Э+- Л4)з ВС + сзс'з+ ~-з —,11 + Мзс —,11 + "4зз —,11 = ес или В!4 си Йз Йз Й! <1<з е< — ссгс — сзсз =~с -1,-+Мсз —,с+Мсз вс+1з в,-+Мз),— „+Мзз с Интегрируя последнее равенство от с = 0 — до ! = О+, на осно ванин сказанного выше получаем: с=-о+ !=о+ Й! Йз Всз (ес ссгс 'згз) <11=0= ~ [(сс — +Ми +Мы,и + Й вс с=о- с=о- в! <о+) Й, Й, Й,) +~з-„;4+Мзс вс+Мзз-„-,'1<(1=~) ~ йсс+ с,<о — ) , <о-ы с„<о+) !, <о+) с, <о+) +Мы ~ «сз+Мсз ~ йсз+~з ~ Жз+Мзс ~ йсз+ с, <'о — ) с, <'б — ) с,<о — ) с,<3-) с, со+) + Мзз ~ ацс = (Ес+ Мм) [сс(0+) — сс (Π— )1+ !, <о — ) + (Мсз+ Мзз) [сз (О+) — сз (Π— )1+ (11!и+ ~о) [сз (О+) — сз (О 376 Перенося все токи для момента ( =- 0 — в левую часть равенства „учитывая, что (а(0 — ) = ~,(0 — ), будем иметь: 7,1, (Π— ) + Мм(~ (Π— ) + Ммгд (Π— ) + Ез1з (Π— ) + Мз, 1, (Π— ) -1- (-М„г'„(Π— ) =-Е,1, (О+)+М„(а (О+)+М„1,(0-)-)-).
+~ '.(+)+~.)' (О+)+~"'.( +) Ч~ (Π— ) =- (Ц~ + Цз+ 2Мм) 1~ (Π— ) + (Мзз+ Мм) (з (Π— ) ' (13-113) Ч а (Π— ) = (Еа + М м + Мм) ю~ (Π— ) + ((з + М м) ~з (Π— ) + Мза~ ~ (Π— ) . (13-114) Токи 1, (Π— ) и (, (Π— ) в случае любых э. д. с. е, и е, (постоянных, гармонических и т. д.) находятся из уравнений второго закона Кирхгофа: 1, (», +»з) -+ (Ц + 7,, + 2М „) — „'+ (М,а+ М,,) — „' = е„(13-115) (а»з+7з Ш + (Мм+Мза) ну=аз. '~'з Й~ (13-116) Далее запишем потокосцепления контуров 7 и 2 в момент коммугции (( = 0 +), учитывая, что для узла А по первому закону Кирх)фа (г = 1~ 1з Ч'х (О+ ) = У. 1, (О + ) + М „((, (О + ) — г з (О + )) + Мм(з (О+ ) + +Уз ((д (О+) сз (О+))+ Мзда(~ (О+) + Мазюз (О+)~ (13 1 17) з (О + ) = 7~1ъ (О+ ) + Ми (Ед (О+ ) — 1з (О + )1+ Мыл (О+ ) + +7.,(, (О+)+ М„(, (О+)+ М„(1, (О+) —,(О+)1, (13-113) 377 Легко видеть, что левая часть последнего равенства представяет собой результирующее потокосцепление рассматриваемого конура 2 до коммутации, как если бы в этот контур входила катушка , Т.м что и доказывает приведенный выше первый обобщенный закон коммутации.
решим задачу об определении значений токов в катушках в момент коммутации (» = О+), учитывая в общем случае, что все они связаны взаимными индуктивностями (рис. 13-42). Запишем потокосцепления 1-го и 2-го контуров перед коммутацией (1 =- 0 — ), считая, как обычно, М;; = Мл и понимая под Ч~, (Π— ) в соответствии с данным выше определением алгебраическую сумму потокосцеплений катушек 1 и 3, которые непосредственно образуют замкнутый контур 2 после коммутации: Токи 1, (О+) и 1, (О +) находятся из уравнения 2-го закона Кпрхгофа: Й1 Н Й~ д (,г, + 7., „- + Мы -Й (1, — 1,) + М„+ (1, — (а) г, + 1,, — О, — ~а) ! Й~ '~~з +М,„— +̄— „=е,; (13-119) ~~~а 11г1+ Е1 .3 — + Мы ~~ О1 ~а) + Мм Й + ~згз+ Й1 Й, + 1, — + Ма, — + М„- - (с, — ~,) = е,.
(13-120) 7-Ма (О ) (Ми+ Ма1) О (О ) та (О+) — У-д (ц (О+) — га (О+)1+ М21|1 (О+) + + М„с, (О-;) — У,с, (О+) — М„ю, (О+)— — М„(~, (О+) — 1, (О+)!. (13-122) Теперь придется для определения ~, (О +) и 1, (О 1-) решить совместно два следующих уравнения: тт (О+) = Ч", (Π— ); '1', (О+) = Ч"а (Π— ). (13-123) Легко видеть, что на основании (13-122), (13-117) и (13-!18) получаем: Ч, (О+) = т, (О+) — та (О+) (13-124) и соответственно на основании (!3-122), (13-113) и (13-114) имеем ч"„(о ) = ч, (о-) - т, (о — ), (13-125) так что система уравнений (13-123) приводится к системе уравнений ч',(о+)=т,(о — ); т, (о+) — ч; (о+) =т, (о — ) — т, (о — ), )' (13-12б) которая в силу первого из уравнений (13-126) тождественна системе уравнений (13-12!), что и доказывает сделанное выше утверждение рассмотрим процессы, возникающие прн одновременном включении двух заряженных до разных напряжений конденсаторов С~ и С, к заряженному до напряжения Е/ конденсатору С, (рис.
!3.43) 373 Приравнивая потокосцеплення Ч", (О+) =Ч', (Π— ), чч, (О+) =Ч",(Π— ), (13-121) получаем два уравнения для определения 1, (О+) и 1, (О +). Отметим, что значения ~, (О +) и к, (О +), которые получаются решением уравнений (13-121), ~~ не изменятся, если вместо контура 2 взять контур 3, образованный катушками 2 и 3. Для доказательства запишем потокосцепления третьего контура (рис. !3-42) до и в момент коммутации.
та (Π— ) = 7-2О (Π— ) г М21ю1 (Π— ) + Мяз~з (Π— ) — 1 ((слагаем, что сопротивления г„г.„г, проводов, соединяющих консисаторы Сг, Суи С„пренебрежимо малы. Поэтому постоянные меня, обусловленные ими, также ничтожны. При этих условиях цапряжения на всех трех конденсаторах в момент включения руб,льнцка могут изменяться скачком и через них могут проходить конечно большие токи. Все три конденсатора до включения рубильника были заряжены до различных напряжений ис,(0 †) = (/ исе (Π— ); иса (Π— ) и имели а яды ус)(0 — ) = Сгисг (Π— ); г е зр — и (Π— ) =- С2)гс2 (О ) г)сз )О ) = у. — С,ис, (Π— ). Токи конденсатоу бу~* ущ ° „,.„с(, ! с, ! в течение бесконечно малого промежутка времени от ( = 0 — до яже 0+.
Так как напр ние ис точника () и сопротивление по- Рас. !3.43. следовательного участка цепи г конечны, то суммарный ток г должен оставаться конечным и импульсы токов в трех параллельно соединенных конденсаторах должны взаимно уравновешиваться, т. е, Интегрируя это равенство по времени от 1 = 0 — до 1 = 0 + У=-О+ )=О+ У--ОЧ „ С, ~ — '"„' й(+С, ~ — '"„",й1+Сз ~ "; — д(=О, с=-О— /-.~— У='О- илн иог )О+) иу 2)О+) "сз !' )-) Сг ~ йисг + СЗ ~ г(ис2+ Сз ~ г(поз= О, иог)Π— ) сг)О ОСЗ гΠ— ) илн Сг ~исг (О+) — и с) (Π— )] + С, (и си (О+) — иса (Π— )]+ + Сз сгисз (О+) — исг (О )] — — О, (13-128) илц Сг Дггсг+ СЗ Дисг+ Сз Диез =О, (13-129) приходим к равенству Д)71 + Д)72+ Дтз 0' (13-130) 0тсюда следует, что изменение зарядов на всех параллельно ~~~юченных конденсаторах за время комму)нации равно нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
