Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 73
Текст из файла (страница 73)
является приближенной. Линеаризованиые или неучтенные нелинейности, сбалансированные модели пониженного порядка и вариация параметров системы в процессе ее функционирования илн при изменении условий окружающей среды могут существенно повлиять на устойчивость или качество системы управления. 6.1. Виды неопределенности 6.1.!.
Неопределенность входных сигналов, Неопределенность входных сигналов отражает различную природу внешних возмущений, действующих на объект и регулятор ! ! 1Д, ! ЗД, 349.[. Неопределенный объект, как говорилось выше. может рассматриваться как множество объектов, Если лля системы управления с объектом выбрать некоторую ее характеристику, например. устойчивость, то регулятор является робастным относительно этой характеристики.
если ею обладает любой из множества объектов. залаваечых неопределенностью. Таким образом, !щнятие робастности подразумевает наличие регулятора. множества объектов и фиксацию опрелеленной характеристики системы. В классических олномерных системах робастность достигалась за счет обеспечения нужного коэффициента усиления и запвсз устойчивости по фазе, Проектирование систем с нужным запасом устойчивости обычно приводит к хорошо лечпфнрованным переходным процессач. т.е. к заданному качеству. Когда такая методика синтеза была приченена к многомерным системам в 1960-х гг., то было установлено, что достижение заланного качества не гарантирует робастности систечы [!ЗД[. В рамках стохастического полхола были рззрзботаны метолы.
основанные на линейно-квадратичном критерии качества и гауссовских шумах. Они показали высокую эффективность во мно~их аэрокосмических приложениях, где может быть получена достаточно точная математическая модель объекта, а внешнис шуми (возмугцения) близки к белому шуму, Однако применение этих методов, называемых обычно линейно-квадратичными гауссовскими (ЩСг) методами, к другим системам промышленного назначения показали низкую робастность ЩСг-регуляторов.
Это стало основой для развития новых теорий, которые могли бы позволить получать регуляторы, обеспечивающие робастное качество в системе. В современной теории управления сушествуют постановки и метолы решения задач синтеза рег'уляторов с учетом неопределенности в характеристиках возмушаюшнх воздействий, основанные на шгпарате г( -теории управления.
Проблема минимальной чувствительности, мннимнзируюшзя энергию ВОзмушакягего воздействия на ВыхОд си стемы для наихудшего случая внешнего Возмушения, явлхется одной из э~да~, р~ш~~мы~ этой ~~ори~й. 'Н~.-норма перед~~~~ной функции замкнутой системы определяет энергию выхода системы при подаче на вход воздействия с единичной энергией. При минимизации "г( -нормы передаточной функции от Возмушаюшего воздействия к управляемо. му выходу — Ошибке слежения — миничизируется энергия ошибки для наихудшего случая входного возмущения. г( -норма передаточной функции является мерой усиления системы; данный факт служит осно- ВОЙ дла использования Й~ "нормы В качестве критерия ОптнггальнОсти при синтезе многомерных систем.
В работе «7Д«была сформулирована конгьтпция, получившая ~а~~~н~~ 2-Рнккзти подхода, ~~~~р~~ В наставшее время является основой стандартной процедуры решения задачи гт' -оптимизации «5Д«. Синтезированный регулятор обеспечивает устойчивость замкнутой системы н минимальную чувствительность к внешним Возмушениям.
Другим методом решения задачи синтеза "г( .-субоптимальных регуляторов является подход. основанный на ре. шенин линейных матричных неравенств. Этот подход получил развитие на основе результатов, изложенных в работах «8Д, 9Д, 348«В данном случае субоптимальный регулятор в форме наблюдателя определяется путем решения задачи минимизации выпуклой целевой функции при ограничениях в виде линейных матричных неравенств. Решение задачи стохастической )г( .-оптимизации, являкхцейся развитием теории классической г(„-оптиыизаггии, приводится в работах «4Д, 5Д.
6Д«. В данной постановке задачи входные возмушения являются стацнонарнымн гауссовскими случайными последовательностями, средняя анизотропия (с определением понятия анизотропин можно познакомиться в работах «2Д. 3Д«) ограничена сверху известным параметром а > О. Это предположение хотя и Ограничивает класс рассматриваемых входных воздействий. являющихся гауссовскими возмушениями„тем не менее в указанных условиях позволяет построить регулятор, который является менее консервативным, чем г( --регулятор.
)(ро- ме того, рассматриваемый класс суншственно шире, чем класс входных сигналов типа»белый гнум, которые можно»подавить» с номошью ! Об.регулятора. б.!,2, Неопределенность математической модели объекта. Сушествует несколько основных типов неопределенностей мзтсчатиче. ской модели объекта управления, которые рассматриваются в современной теории управления: параметрическая и частотная виды неопределеннОстн, псстацнонзрные и нелинейные Возмушения и другис. Рассмотрим подробнее понятия. связанные с параметрической неопределенностью.
и ее виды «348«. Если модель описывает физический объект (механический, элек. трический, экономический н т. и,). то, как правило, его параметры не известны точно, при гем ао многих случаях их значения могут меняться в процессе эксплуатации. Например. при управлении автомобилем его масса может меняться в зависимости От загрузки, параметры стандарт иьх элементов электрических цепей, таких кзк резисторы, кОнденсзтО- ры. имеют допустимые отклонения от номинальных значений.
Рассмотрим простейгпий случай, когда объект описывается скаляр. ной передаточной фуггкггиег), звеневшей от неопределенных параметров «348«: В(л,б) 6»»(д,»)а '+ . тбг(бг)а+6о(бо) ! !' (ад) = — ' .4(з,д) а„(д,)а" +...+аг(А)а+ао(до) ' где ш. и — порядок полиномов числителя и знаменателя соответственно, а сами коэффициенты полнномов зависят от параметрое д б .з, которые принадлежат заданному допустимому множеству бг с Кг (множеству неопределенности). В таком случае говорят о неопределенном объекте И'(а,б).
Прнвелем пример «348«, Звено САУ имеет передаточную функцию )!'(. Т К)— (Тга+ !) (Таз+ !) .„(Тга+ !)' где Тг н Кг — неопределенные постоянные времени Тг и коэффициенты усиления Кг. В рассматриваемой ПФ числитель и знаменатель зависят каждый от своего вектора параметров: Т= (Тг,...,Тг) е г)т, К =(Кг,....Кг) ~ Ьк, Вводя в рассмотрение вектор д = (ТК) б )хаг, можно записать общую МОДЕЛЬ )4'(а.б) = — ', д ~ л. В(а,о) Я(з,д) Прн описании линейной системы в пространстве состояний где все матрицы А, В, С, ЗУ», 0з зависят от параметров 8 ~ »з, говорят О семействе систем, нли нео~ред~~енноЙ снстеме.
Су»цествуют рззлнчные виды ограннченнй на неопределенные параметры, т.е. на форму мно»кества А Допустимое множество может нметь произвольный внд нли совпадать с»к», но зачастую, напрнмер неопределенные физические параметры, имеют некоторые допуски н в этОм случае нмеет местО пзрзл телепипед кОГдз каждый из параметров меняется незавнснмо В соответствуюц»ем диапазоне — интервале неопределенности; Ь == (8 6 !»(»: 4» < л„< 7,, » = 1, 1 ~ .
Однако параметры могут не быть незавнснмымн, а иметь некоторые сОвместные ограничения, Простейц»ий нз таких случаев: допустимое множество является варом; Ь = (б ~ В»» )!8(4 < 1) . Также су»цествуют разлнчные типы функциональной завнснмостн от параметра 8 — структуры неопределенностн. Для случая линей. ной неопределенности, когда коэффнцненты неопределенного полннома а»(8). либо элементы а„(8)матрицы А(б) являются линейными функ- ЦНЯМН ОТ О, ВЫДЕЛЯЮТ СЛЕДУЮ»ЦНЕ ОСНОВНЫЕ ВИДЫ. $ ..Ннгнерзальнал неон(зеделеннос»нз 1348).
Интервальный полнном задается так: 'Р(з) = (Р( ) = а„з" + ... + О», + ао: а» < а, < а„а„> О, » = б; п~; (6.1) в нем коэффнциенты являются неопределеннымн пзрзметрамн, которые могут независимо принимать значении в свонх интервалах неопределе~Ностн (й„»»,], Интервальное семейство матриц определяется следуюшнм образом (348): А = ((а„)): оц ~ ~ам ~~ Ь'О, », ) = 1,п. (6.2) 2. А4(»4знннал неонредеденноснгь 1348!. Ситуация. описанная Выгце, когда неопределеннымн параметрами являются коэффнциенты полиномов, достаточно редкая, ибо обыч- НО козффнциенты хзрзктеристическОГО полнномз не имеют непосредственного Физического смысла н зависят от»»араметрз 8 более сложным образом.
Аффннная неопределенность является простейц»сй моделью такой зависимой структуры неопределениостн. Аффннное семейство полиномов задается так: Р(З.Ь) = (Р(э,б):= б»Р»( )+ . +Й»Р»(з)+ Ро(э!. 8 6.Ъ), (63) где полнномы Р»(з), » = О,!. фиксированы н известны (Р(з, О) = »(»(л) также называют номннальным полиномом семейства). В этом случае коэффициенты а, (8) полннома Р(л.д) зависит аффннным образом от парамет!юв 8." »»,(»)) = 2 л»а,', + а,, »ж» где о', — коэффнцнент Р,(з) прн э'. Инымн словами, коэффициенты а,(д) не могут меняться независимо друг от друга прн нзмененнн 8 Аналогнчным образом задается н матрнчное аффинное семейство: гле А„» =- 0,1, — известные матрицы. Помимо линейной эзвнснмостн от неопределенных параметров, которая является самой простой н удобной моделью параметрической неопределеннОстн. Выделяют рззлнчные анды нелинейной заВисимо сти: мультилинейную, пОлинОмиальную и др.
Б задачах робастного синтеза все неопределенности в системе. как немоделнруемая динамика, так и Вариация параметров. Могу~ быть выделены в отдельный блок. Все неопределенности могут быть вынесены нз дннамнческой модели снстемы н представлены В аиде стандартной конфнгурацни В форме верхнего дробно-линейного преобразовання Г(И;, »д). Блок неопределенностей при этом примет следую»цнй вид: »Ъ = гйай (»»»1»,...,»»,1„,,»у»,...,»ЪГ), о, ~ С, »л 6 С"' ""', И (» И "»т И'»з И»п И'э» И'тз 1(.э» И'м !(;„ И„(э) = где 2' г, + 2 и.
=:'т'. где % — размерность блока»л, ~®»»м» Такие неопределенностн называются структурнрованными, Структурированные неопределенности могут содержать в себе как парамстрнческие неопределенности передаточной функции системы, так н частотные»»еопределенностн, Такое структурированное опнсанне неопределенностей необходимо прн реюенни задачи»»-синтеза, центральную роль в которой играет теорема о слабом усиленни (12Д, (ЗД), которая вводит некоторью ограниченна на Ь. Стандартный объект Имеет трн Входа (вход с блока неопределенности, Ви»днов возмушеннс н управляю»ций сигнал) н трн выхода (выход на блок возму»пений, упра~~яе~~Й В~ход, наблюдземы(! Выход), а передаточная функция объекта управления в данном случае может быть разбнта на блоки (подробнее можно ознакомиться и [12Д, !ЗД)): Тогда передаточная функция замкнутой системы И',(з) будет опреде- ЛЯТЬСЯ ПО фпрнуЛЕ ~ И."е~ )4'зз ~ ~ Игзз ~ В ланной постановке задача синтеза оптимального робастного регулятора Игаэ(з) может быть сформулирована следующим образом; ш( Вцрил, (И', ( )м)) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
