Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Как видно, решение задачи оценки вероятности устойчивости состоит нз двух этапов: генерации выборки и оценки вероятности по частоте Л//:Т. Например, если допустимое множество т — куб: Ь = (д 6 Е': О < д; < 1, ( = 1.1), то генерация равномерно распределенного вектора д осуществляется командой МАТ1 АВ хапб(1,1». Для оценки вероятности по частоте удобно использовать границы Чернова. Для полнномнального семейства Р(ж д), д 6 Ь, с равномерно распределенной иа Ь выборкой д" »,..., Ф» при Л( устойчивых полииомах из т' выборочных справедлива следующая оценка вероятности по частоте; где Р— истинная ~~р~~~~~~~~ у~~~й~~~~с~~. Ииымн словами. отношение Л///т' отклоняется от Р больше, чем иа е с вероятностью. не превосходящей с"з" '. Таким образом, если прн достаточно большой выборке число устончивых полиномов И близко к гч', то полипом можно считать робастно устойчивым.
Нетрудно заметить, что данный подход также применим и к исследованию устойчивости матричного семейства А(дгп), А(д'~'). Пример 6.1. Пусть имеетсн система, передаточная функция которой определяется зависимостью при этом все параметры знаменателя имеют допуск +8%. Номиналь- ные значения коэффициентов знаменателя; аз=3,44 ГО з, аз=7.10 з, аз=8,8 !О з, а~ =1, ао=9,9. Исследуем устойчивость интервального полинома с помощью теоремы Харитонова и вероятностного подхода. В качестве критерия устойчивости будем использовать критерий Гурвица. Для системы 4-го порядка определитель Гурвнца имеет следующий внд: аз а~ О О аэ аз ао 0 0 аз а~ О 1 О аэ ат ао Приведем необходимые н достаточные условия устойчивости: а1 (азат — аэа~) — азад > О.
2 По известным отклонениям от номинальных значений легко получить крайние значения коэффициентов. необходимые для исследования устойчивости полинома с помощью теоремы Харитонова (6.5), В результате получаем, что один нз четырех полиномов неустойчив. а значит неустойчиво все семейство. Оценим вероятность устойчивости интервального семеиства. Длн этого зададимся = 0.01 н выборкой Х = 100000 равномерно распределенных элементов.
Тогда е э"- гс = 2,061 . 10, Полученные результаты — э говорят о том, что оценка вероятности устойчивости отклоняется от истинной болыце чем на 0,01 с вероятностью ие более 2,06! 1О Полученная после исследования устойчивости всех полииомов частота М/)э' = 0.97799. Следовательно. легко сделать вывод: если считать неопределенность случайной, то полученное значение Му;э говорит о сохранении устойчивости систечои с ве)юятиостью, близкой к !.
Таким образом, использование теоремы Хари~онана является наиболее простым крнтериеч в вычислительиоч плане для анализа устойчиво«ти интервального семейства полиномов и дает качественный результат. Использование же вероятностного подхода позволяет количе. ственно оценить процент неустойчивых полиномов в семействе. Кроме того. применение вероятностного подхода возможно для анализа устойчивости семейства матриц. 6.3. Синтез робастиыд регуляторов Задача синтеза рооастных регуляторов.
в широком смысле, заключается в определении структуры регулятора и его параметров, места включения. исходя нз условия удовлетворения заданному хочплсксу технических требований при наличии неопределенности в математической ьюдели объекта. В случае параметрической неопределенности это означает, что требования должны быть выполнены длн всех допустимых значений неопределенного параметра б из множества неопределенности Ь. Эти требования многоплановы н разнохарактерны: от всевозможных показателей качества. в зависимости от класса систем. до весовых.
габаритных и энергетических характеристик (например, требования в отношении быстродействия должны соответствовать мощности исполнительного элемента регулятора), у~навий изготовления (техноло. гичсскнс проблемы) и требований к эксплуатационночу обслуживанию и др. Необходимо также отметить. что параметры регулнтора принадлежат некоторочу допустимому множеству. ооуслонленному природой регулятора. В проблеме синтеза робастных регуляторов болыпое значение имеет теории оптимизации. С се помощью решаетсн запаса нахождения такого закона управления, который оптимизирует процесс по заданному критерию. учитывая информацию о неопределенности.
Данная задача по существу явлнетсн вариационной, поскольку требустсн отыскание экстремума функционала, который выбран в качестве критерия оптимальности снстсчь1. В постановке задачи синтеза робастных регуляторов, рассчатриваечой ниже. предполагается, что структура регулятора выбираетсн проектировщиком.
а целевой функционал строитсн как квадрат (,-'.нормы от функции ошибки па конечном интервал~ времени. В качестве функции ошибки выбирается иекоторан невязка между известным эталонным выходным снгналоч системы и реальным выходом, зависящим как от неизвестных параметров (параметров регулнтора). так и от вектора неопределенных папаметров д. Из существуюцгих подходов к реп1ению задачи оптимизации при неопределенности наиболее широко примсннютсн чинимаксный н вероятностный. Суть первого подхода заключается в минимизации по допустимым параметрам регулятора максимально возможной ошиоки, порожденной неопределенным параметром, С другой стороны, можно рассматривать данную задачу с позиций вероятностного подхода к робастиостн, В этом ~~у~~~ предполагаетсн, что па множестве неопределенности Ь задано вероятностное распределение неопределенного параметра д и ищетсн решение, доставляющее минимум математическому ожиданию целевой функции.
Обе эти задачи являются гэ" Р-сложными в общем случае, однако в случае применения вероятностного подхода возможно вычисление аппроксимации математического ожидания и построение оценки сходимости. 6.3.1. Сцнтез робастных регуляторов методом наименьших квадратов: рандомизнрованный подход. При синтезе регуляторов проблема оптимизации целевой функции часто сводится к решению задачи с помощью линейного метода наименьших квадратов (МНК). Излагаемые ниже положения позволяют получить близкое к Оптимальному решение проблемы синтеза робастного регулятора МНК при параметрической неопределенности на основе вероятностного подхода к робастности.
Здесь необходимо указать, что вероятностный подход имеет лостаточно глубокое теоретическое обоснование, относительно просто реализуемое в и~~е~ер~ой ~ра~~~ке. В данной постановке решается задача минимизации математического Ожидания невязкн зависимости, которая следует нз математической формулировки метода наименьших квадратов, по неопределенному параметру.
Известно, что для общего случая нелинейной зависимости данных от неопределенности нахождение точного решения этой задачи затруднительно. В данном параграфе рассматривается вероятностный подход и определяется вероятное близкое к оптимальному в известном смысле реп~ение путем минимизации эмпирического среднего невязки. Оценка сходимостн конечных выборок рассматриваемого метода строится с помощью статистических методов обучения. В частности.
показано„ что если построить эмпирическую аппроксимацию математического ожидания с помощью конечного числа Х элементов выборки. то минимум этого эмпирического приближения с высокой степенью вероятности есть е-субоптимальиое решение исходной зшшчи. Кроме того, это приближенное решение может быть эффективно определено численно с помощью стандартного рекурсивного алгоритма. В стандартной постановке решением задачи МНК является нахождение решения — вектора р уравнения с матричным оператором Ар =у, (б. 7) такого, что квадрат евклидовой нормы невязки 11Ар — у)" системы линейных алгебраических уравнений принимает минимальное значение, Здесь сразу же надо обратить внимание иа обстоятельство, содержание ~втор~го ~остои~ в том.
чтобы ~ада~у синтеза ре~у~я~~ра свести к задаче, связанной с минимизацией нормы невязки (1Ар — у11 . В общем случае это касается широкого класса снстелп линейных. нелинейных систем с переменными параметрами. Некоторые подходы к решению этой задачи будут рассмотрены в примерах 6.3 и 6.4. Во многих практических приложениях матрицы А и у извес.ны неточно, Эта неопределенность в данных может быть учтена, предполагая, что А и у — в Общем случае нелинейные функции вектора неопределенных вещественных параметров А(д) б В""", у(б) 6 В"', д = (дыдт, ....д|), (6.8) где предполагается, что неопределенный параметр принадлежит заданному ограниченному множеству!з С Я'. Для регцения задачи методом наименыцих квадратов в случае неопределенности возможны два основных подхода.
В детерминированном подходе. нли подходе наихудшего случая, находится миннмаксное решение. Пусть 7 (р, д) =' )1 А(д) р - у (д Ц . тогда решением робастного МНК является такое решение р,„. которое доставляет минимум невязке наихудшего случая при неопределенности, т.с. р,'„= нгй пйп шах ( (р. д ) . (6,10) Р ЛЕЬ С другой стороны, можно рассматривать задачу МНК с неопреде.
ленностью с позиций вероятностного подхода к робастности, принимая во внимание стохастическую природу неопределенности. В этом случае предполагается, что на множестве Ь определено вероятностное распределение )а(д)„и ищется решение, доставляющее минимум математическому ожиданию невязки ры = агд пйп Из (з (р, д)1 . Р Следует отметить, что задачи (6.10) и (6.11) вычислительно трудоемки (в общем случае А )т-сложные». В данном параграфе рассматривается метод решения„основаиныи на вероятностном под~од~. В ()ОД) ~о~~зли~, что Решение, по~у~~~~~~ прн минимизации эмпирической версии математического ожидания с использованием конечного числа йГ элементов в выборке является --субоптимальным с высокой вероятностью решением для мннимиза. цин неизвестного математнческОТО ожидания.
Для заданных отображений д(б): Ь В и плотности распределе. ния вероятности га (б) оператор ~ат~матического Ожидания, действу. ющий на д(б), определятся следующим образом: Пусть имеются гт' независимых одинаково распределенных элементов (выборка б~ '....,б~' ~), полученных в соответствии с ДЗР .гж„(б~'), тогда оператор эмпирического среднего, действующий иа д (д), определяется формулой Рассмотрим следующую функцию: ФР) =' ййа И (Р. 6)) . .т(Р) -,~ ~ 1г, 'ГР 6 'Р. Предположим далее, что гг, = Мз, К1 ° 1 =" ( )- где 1(р,б) = йА(б) Р— у(Ю)(), и пусть Л С м' — ограниченное множе.
ство. Кроме того. обозначим через Р решение, доставляющее минимум функции эт(Р), т.е, Р* = а 8 щгп тт(Р)- яе я Предполагается наличие априорной информации — рещение Р находится а шаре Р с И" с центром в Ро и радиуса Н < зс: и при указанном условии обозначим достижимый минимум через т..' —— = пнп~(р) рея Пусть Г(д) =' пйп г' (Р, б) н предположим, что изменение 1 ограни. еду чено константой Р > О. т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
